量子力學雜談——Stone定理

04-07

1.單參數酉群

物理上經常需要討論對系統的變換，量子力學

對變換有一個基本要求就是幺正性，也就是說描述變換的必須是個酉運算元 $|Ux|=|U^dag x|=|x|$ 。

我們知道有「假的」自伴運算元，即對稱運算元，實際上也有「假的」酉運算元，稱為等距運算元，這種運算元滿足 $langle Ux,Uy angle=langle x,y angle$ 但是它的伴運算元卻並不是等距同構 $langle U^dag x,U^dag y angle elangle x,y angle$ ，因為它的值域實際上是全空間的一個閉子空間。顯然有限維空間不可能與自己的真子空間同構，所以非酉等距運算元只存在於無窮維空間。

所謂單參數酉群，是一個實數加群 $(mathbb{R},+)$ 到酉運算元乘積群 $(mathscr{U},cdot)$ 的連續同態，即 $U(t+s)=U(t)U(s)$ ，而連續性涉及到運算元群的拓撲，我們當然可以直接用運算元範數 $|A|=sup_{|x|=1}|Ax|$ ，但通常來說這個太強了，我們可以用所謂強極限， $A_n$ 強收斂於 $A$ 是指 $forall xinmathscr{H}$ ， $|(A_n-A)x| ightarrow0$ 。

這個收斂性比運算元範數收斂 $|A_n-A| ightarrow0$ 弱，但比弱極限 $forall x,yinmathscr{H}$ ， $langle y,(A_n-A)x angle ightarrow0$ 更強，所以稱為強極限。

而強連續就是說 $forall xinmathscr{H}$ ， $lim_{t ightarrow t_0}|(U(t)-U(t_0))x|=0$ ，這等價於 $forall xinmathscr{H}$ ， $lim_{t ightarrow 0}|(U(t)-I))x|=0$ 。

2.Stone定理

對於一個單參數酉群，我們定義它的無窮小生成元是 $A=lim_{t ightarrow0}frac{i}{t}(U(t)-I)$ ,注意到 $U^dag(t)=U(-t)$ ，容易驗證 $A$ 是自伴運算元。而要證明 $A$ 是稠定運算元，即使得極限

$Ax=lim_{t ightarrow0}frac{i}{t}(U(t)-I)x$ 存在的子空間稠密，需要一些並不複雜的構造，這裡就不多說了，可以參考北京大學出版社《泛函分析》第二冊。

我們可以通過兩種方式定義運算元的指數映射，一是通過級數

$e^A=sum_{n=0}^{infty}frac{A^n}{n!}$

而特別對於正規運算元 $AA^dag=A^dag A$ 還可以通過譜分解定理

$e^A=int_{sigma(A)}e^adE_A(a)$

無論通過哪種方式，我們都容易得出 $U(t)=e^{-itA}$ 是一個單參數酉群，而它的無窮小生成元就是 $A$ ，這就是著名的Stone定理。

在物理上我們還會看到這種操作，對於很小的 $Delta t$ ，可以有 $U(t)approx I-iDelta tA$ ,並由此推出一系列結論，這些當然是因為 $U(t)$ 有強連續性作為保證的。

考慮系統具有哈密頓量 $H$ ，如果單參數酉群滿足 $U^dag(s)HU(s)=H$ ，我們就稱系統具有 $U(s)$ 所描述的對稱性。對於無窮小生成元 $A=lim_{s ightarrow0}frac{i}{s}(U(s)-I)$ ,由 $[U(s),H]=0$ 必有 $[frac{i}{s}(U(s)-I),H]=0$ ，從而 $[A,H]=0$ ,在量子力學中我們用自伴運算元表徵一個力學量，而力學量與哈密頓量對易則代表它守恆，從而我們可以得出經典力學中著名的Noether定理：

如果系統的哈密頓量 $H$ 在單參數酉群 $U(s)$ 的作用下不變，即 $U^dag(s)HU(s)=H$ ，那麼 $U(s)$ 的無窮小生成元 $A=lim_{s ightarrow0}frac{i}{s}(U(s)-I)$ 是一個守恆量，即 $[A,H]=0$ 。

3.李群表示的誘導表示

我們考慮更複雜的李群的表示，考慮李群 $G$ 在希爾伯特空間的強連續表示 $U:G ightarrowmathscr{U}$ ，也就說它是一個同態，即 $U(gh)=U(g)U(h)$ ，且它是強連續的，即 $forall xinmathscr{H}$ , $lim_{g ightarrow e}|(U(g)-I)x|=0$ 。

對於李群 $G$ ，我們知道它的左不變（這裡的左也可以都換成右），即左平移的切映射不變的切向量場，依照向量場的對易子構成一個李代數 $mathscr{G}$ ，而微分幾何告訴我們流形上的光滑切向量場和任意一點，可以確定唯一的積分曲線，使得積分曲線上任一點的切向量都等於原有的切向量場在此點的取值。

設 $Xinmathscr{G}$ ，過單位元點 $e$ 的積分曲線記作 $exp(tX)$ ，這是一個 $mathbb{R} imesmathscr{G} ightarrow G$ 的映射，稱為指數映射，它滿足 $exp((t+s)X)=exp(tX)exp(sX)$ ，也就是說過單位元的積分曲線實際上是李群的1維子群。

對於強連續酉表示 $U$ ，我們考慮複合 $U_X(t)=U(exp(tX))$ 。由於指數映射是光滑的，必然有 $U_X(t)$ 是單參數強連續酉群，它存在無窮小生成元，記

$A(X)=lim_{t ightarrow0}frac{i}{t}(U(exp(tX))-I)$

那麼 $A(X)=-iA(X)$ 就構成了李代數 $mathscr{G}$ 在希爾伯特空間中的表示，它是一個從李群的李代數 $mathscr{G}$ 到反自伴運算元 $A=-A^dag$ 由運算元對易子 $[A,B]=AB-BA$ 構成的李代數的同態，即 $[A(X),A(Y)]=A([X,Y])$ ，這個李代數的表示稱為李群表示 $U(g)$ 誘導的李代數表示。

從微分幾何的角度看，同態可以看作兩個流形間的光滑映射（當然由於希爾伯特空間上的可逆運算元群是無窮維的，這不同於通常說的流形），而誘導表示可以看作李群表示的切映射，即 $A=U_*$ 。

由於反自伴運算元沒有物理意義，且它與自伴運算元只差了一個係數 $i$ ，所以我們更願意用自伴運算元來表示李代數，但這會產生一個係數 $i$ ，即 $[A(X),A(Y)]=iA([X,Y])$ 。

我們知道李代數和李群的維數是相等的，從而李群可以提供 $n$ 個獨立的單參數子群作為系統的對稱性，就必然在它誘導的李代數的表示中產生 $n$ 個線性無關的自伴運算元，成為系統的守恆量。