「乘」與「積」是一個意思嗎？

（封面來源於 象形字典）

從小學學乘法運算時，就說到「乘」與「積」的概念。

那時候只接觸過單純的數字。

後來，高中時就碰到過 內積、外積、積分的概念。當時，我就覺得不對勁：為什麼不叫內乘、外乘？既然小時候說乘和積是一樣的，但是為何卻有不同用法？而且對於階乘，為啥不叫階積？

限於時代上的限制（網路、教育等等），我就當作是一種固定搭配了。

然而，當我接觸到了一些代數學的知識（特指抽象代數）。我就立馬發現不對勁了：因為「乘」和「加」變成了形式意義上的運算了，在不同代數結構中，起到作用不一樣了。尤其是在「代數」這個結構下，「乘」和「乘」貌似不能看作是一回事了。儘管周圍「德高望重」的教授們告訴我思考這些「意義不大」，鑒於他們也不能給我想要的答案時，我本打算自己搜羅搜羅的，由於個人能力問題，確實沒有搞清楚。後來，我打算從語源（etymology）的角度來分析分析這個問題。

從說文解字上來看：

乘，覆也。積，聚也。

說文解字乘的解釋|說文解字乘的意思|漢典「乘」字的說文解字?

www.zdic.net說文解字積的解釋|說文解字積的意思|漢典「積」字的說文解字?

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（相應自形演變也能夠在該網站上找到）

這樣看就比較明顯了，結合數學對其定義，能夠發現：「乘」往往是刻畫事物的量變，而「積」是刻畫事物質變。

分別拿「乘」跟「積」分別組詞，就能發現端倪（這裡忽略了一些像姓氏、量詞的用法）：

• 乘車
• 乘機
• 厚積薄發
• 積澱

像「數乘」，就是說域上的個元素乘上模中某個向量。不論乘的結果如何，它都與原先的向量線性相關。但是，找兩個向量，讓他們積一下，可能就不一定線性相關了（外積），甚至連「相關」都談不上（內積、積分）。

對於「乘」所刻畫的數學概念，目前我所了解到的，都是 的形式，

而對於「積」所刻畫的，是 注意，空間可以是向量空間，也可以是實數、複數，甚至是有限集等等。

像我最近寫的李代數中的括積（bracket product），也是這個樣子。

當然，這又不得不說說關於英文中乘和積的對應含義。

對應有 multiply ——乘；product——積。

像數乘，scalar multiplication；笛卡兒積，Cartesian product；內積，inner product；外積，outer product。

但是，對於積分（integral）來說，這個在英文中感覺不如中文來的本質。這個單詞integral倒有點是說「求和」，也許可能跟當時歷史背景有關了。而且，階乘（factorial）當初最開始也是從音樂領域過來的。

wiki-階乘的歷史部分

就以上這些了，都是我簡單搜羅到的資料得到的。如果誰有更好的想法，歡迎討論。