打破學霸權威之量子力學
某人：量子力學……
非理工大眾：哇，好高深啊，一聽就很牛逼……
百毒小便：「震驚，量子力學證明神的存在！」「量子力學證明我們的世界是外星人操控的，太可怕了！」「中醫符合量子力學基本原理，不轉不是中國人！」（觀眾評價：遇事不決，量子力學）
江湖騙子：我公司發明了量子治療儀，可以治療小到脫髮，雀斑，便秘，白癜風大到精神病，癌症，艾滋病，白血病所有疾病，且還可以美白，把單眼皮自動變成雙眼皮，把大餅臉自動變成網紅臉…… 老教授：我覺得你這個儀器太棒啦，治療一下你的大腦絕對很有效！
絕大多數物理本科生（包含某些研究生甚至老師）：呵，不就是列一個薛定諤方程根據它推導出量子力學所有內容，只要把它背會把勢能套進去不就行了…… 學渣：有道理啊，但是薛定諤方程是個什麼東西，還有為什麼動能是個那個玩意不是數值，那個虛數是個啥子東西？ 絕大多數物理本科生（包含某些研究生甚至老師）：呃，我們也不太清楚，據說薛定諤當年做夢夢出來了這個公式，他自己都不知道是什麼意思…… 學渣：TAT
關於這篇文章，我和大家討論薛定諤方程、諧振子、厄米算符、角動量階梯算符、球諧函數、原子軌道、粒子自旋、波色費米統計、自旋軌道耦合、狄拉克方程、全同粒子、絕熱定理、原子相對論效應修正、正則量子化、路徑積分量子化、量子格林函數、量子場論、自能修正、費曼圖、頂角相互作用、重整化、粒子螺旋度、元激發、粒子散射截面、量子輸運模型、量子計算機、量子衛星、量子信息、量子糾纏、量子佛學…… 是不可能的！（不可能，一輩子都不可能，想都別想）。
我首先與大家分享以下本人如何從傻不拉幾的背公式一步步走向完全理解至少是量子電動力學之內的幾乎所有知識的途徑：
本人第一次接觸量子力學課程，是大二一個很牛逼的L老師講的，他意識到了我們課本的缺陷，於是運用自己的理解講。其實講的特別好，但就是聽不懂啊！
為什麼聽不懂，無論是平面波函數還是厄米算符這些東西其實是數學物理方法課講的，而我們的數學物理課，真的可以說是失敗。其實也怪學校，本來兩個學期的東西硬生生合併一個學期，當時講課的W老師也是無奈之至，於是上課就是過ppt，啥也不講，說很多玩意下課自己看，有道理，但是看什麼呢？百度（當時還不會科學上網），查了一下，本來就一臉懵逼現在懵逼值隨著翻閱百度網頁指數上升。連傅里葉變換都不知道就學薛定諤方程你TM逗我玩呢！
最終，量子力學隨著學習的結束雖然及格了但是不知道自己學的是個啥，就像數理方法影響量子力學，量子力學也同樣影響之後的核物理，量子場論，固體物理，群論的學習，好，我認了。
後來經歷了兩次科學實踐活動，我深切的意識到了不理解僅僅死記硬背無腦刷題就是死路一條，尤其是第二次科學實踐活動去東莞學習，深切感受到了不理解所帶來的巨大痛苦。
當時我遇到了一個同組的學長，他經常討論一些很簡單的問題，我覺得很奇怪。他後來告訴我他自己的人生：帶著對世界的憧憬走出世代生存的大山，憑藉自己努力走到今天這一步，為了生存搬過夏天滾燙冬天劇冷的大理石，去廠里給手機線穿過線，甚至下過煤窯。這個時候他在我心目中幾乎是神一般的存在，他自己知識了解不多完全不是他自身問題，就是因為教育資源的缺失，他的學習方式完全無誤，他就是考上二本院校也比某些小學初中學霸考上北京985更加令人佩服！（順便說一下，目前他成為了抽象代數大神）
之後我便運用大三大四一直到博士開學這兩年的時間，從分析力學到量子力學再到量子場論，從數學分析到複變函數再到微分流形，從有機化學到無機化學再到高等有機……
為了更好的書籍，從本科大學圖書館、中科院圖書館甚至北京國家圖書館借書，目的就是獲得這些理論創造者他們的邏輯，而並非這個理論本身！
之所以和大家分享以上經歷，是提前說一下本人的動機，不是為了裝13而學！
現在開始步入正題！
數學篇：
在此我不一定按照所謂從普朗克到波爾再到薛定諤狄拉克的發展歷史，我打算先介紹一下量子力學的基礎數學工具！
傅里葉變換
過程：
傅里葉變換可以看作把一個函數（如F（X，Y，……））用不同權重的三角函數（當然也可以是其他）基組來表示，可以用原函數X，Y，……在三角函數波矢部分kx,ky,……來表示。若想具體研究可參考維基百科。
由於exp(ikx)可以同時表達coskx與sinkx信息（歐拉公式）且微分積分運算方便，因而量子力學（其實任何形式波動都可以，如交流電模型）常常運用它做展開基組。
目的：
（1）利用exp函數的微分性質在平面波基下描述廣義坐標與廣義動量最為方便
（2）可以輕鬆解出線性偏微分方程
請注意，選取基組數學形式要滿足體系對稱性，如平移對稱性要選用exp函數，球對稱性選取球諧函數，周期對稱性要選用布拉赫形式等
哈密頓力學
過程：
- 拉格朗日力學
牛頓力學方程運用了坐標，速度，加速度來描述物體運動規律。看似很優美，然而，當限制條件變得錯綜複雜之時，就特別麻煩了。這個時候，拉格朗日力學提供解決思路：將坐標速度x,v轉化成廣義坐標廣義速度q,q』,將廣義坐標系加上約束條件就會轉變為牛頓力學形式！並且拉格朗日力學還提出了一個物理乃至哲學的革命性思維——最小作用量原理。在機械力學中，作用量可以描述成為：
對於此過程本人如此理解（歡迎提供不同的理解方式！）
物體運動永遠朝向能量最低方向（也就是體系最穩定狀態），-V表徵物體所受作用力，作用力（第二項變分）和動量（第一項變分）越小體系愈加穩定。
- 哈密頓力學
既然有了拉格朗日力學為毛還要發展哈密頓力學，本人猜測如下：
首先，許多動力學量是與（廣義）動量直接相關，而並非（廣義）速度。如角動量，動量守恆。並且，運用哈密頓量來表徵體系總能量運用q,p得到的微分方程更加簡潔美觀。
當然還有很多數學工具，上述兩者最為至關重要，你要是不了解上述兩個數學工具那就不要學量子力學了！
正式篇
量子力學基本假設
關於這個，很多中文量子力學書上寫的是五大假設，我們老師寫的是八大假設。
其實，本人覺得只有一個假設，其他的要麼是由這個假設與經典物理結合得到的結論，要麼是數學模型工具。這個假設就是：
量子力學力學量本徵值是離散的，並非連續的！
經典宏觀物理與量子物理的分界線就是普朗克常數?，量子化粒子的能量為?，總體能量為?的整數倍這個可以根據光電效應來驗證（至於為什麼可以問問上帝）
除了能量，角動量亦如此，最小宏觀圓周運動的角動量也是?，至於自旋1/2?我之後會講。
波粒二象性與薛定諤方程
其實量子力學波動理論最初借鑒了光波傅里葉展開理論（如果不信可以翻閱薛定諤演講錄）。光波的傅里葉理論主要步驟有運用exp(ikx)為基函數描述光場。讓後運用exp（ikx）權重的平方（換句話說就是內積表述光強）
最初光電效應展現了光波的粒子性，那麼粒子有波動性嗎？於是，人們做了電子發射實驗，電子打到屏幕上形成了明顯的衍射圖斑！由於電子是一個一個打出去的，不可能是集體行為，所以電子確實有波動性！
那麼，我們可以運用波場的傅里葉分析進行物質概率波模型的建立。
類比光能量與頻率的關係，也可以得到動量與波矢的關係（德布羅意關係）
下面我們來看看薛定諤方程怎麼來的，真的是薛定諤作夢夢到的嗎？薛定諤真的推出來後不知道它是什麼嗎？
其實薛定諤方程（或稱量子力學波函數動力學方程）有一套非常嚴謹的推理方法（可以直接根據正則量子化或路徑積分量子化推出滿足哈密頓雅可比方程任何形式的哈密頓量，這個方法不直觀，感興趣可以維基百科。我介紹一種比較直觀的簡單粗暴方式。
哈密頓力學中總能（哈密頓量）可以表示為H=T+V（相對論情景H=m^2+p^2同理，不過最後得到的是K-G方程，展開為狄拉克方程）。這時，如果把體系運用exp(ikx-iwt)表示，若用x來表徵體系，那麼，k可以寫為-i▽，同理，能量也可以寫成id/dt。帶入上述方程，從而，我們得到了薛定諤方程！如果是多粒子的話可將此方程疊加，但不影響得到結果。之所以運用權重平方描述粒子密度第一是為了滿足數學的形式簡潔（內積），第二可以和光場做一個類比。（關於這個只是個人意見，我並未找到相關資料）
3、角動量與自旋
很多老師說量子力學角動量與宏觀不是一個東西，其實，本人覺得就是一個東西，只是一個連續一個離散。
先說說運動角動量，其表達形式就是L=r×p，只是運用exp（或者柱諧球諧函數）作為本徵函數進行計算得到了本徵值?，經典運動角動量最小就是?。
現在來說說自旋。
自旋本身與L=r×p形成角動量有本質區別，無論如何用L=r×p都不可能得到自旋角動量。
大家都知道，帶點粒子運動一般會形成磁矩，比如L=r×p便形成運動磁矩，可是，即使某些粒子不運動，它也是有磁矩的，這一部分磁矩來源於粒子內部運動形式，這些運動給予了粒子一個自旋。
對應於自旋我們會發現所有情況靜止粒子的狀態數n與自旋成n=2s+1關係，比如電子有兩個狀態（極化），自旋為一玻色子有三個狀態（偏振）（光子是例外，因為光速最大找不到合適坐標系表述縱向極化，因而只有兩種）。其實，對於狀態為n的量子態，我們可以運用球對稱群的生成元得到本徵函數（公式過於複雜，詳細參考高等量子力學，s為整數的話就是球諧函數），我們得到了n=2s+1關係。
目前有些做粒子加速器的科學家試圖轟開微觀粒子觀察其中的非半整數倍粒子，如1/6?角動量，這時上述定律完全失效，需要新的定律。
4、量子力學統計
首先，粒子是不可分辨的，因為粒子是以概率波形式分布，你無法分辨出哪個是哪個。
這時候，可以得到一個守恆律，任何一對粒子交換兩次得到與原來一樣的波函數，這時候，如果交換一次，波函數相位不變，則為玻色子；若相位增加半波長（也就是波函數加一個負號），則為費米子。
為什麼費米子這麼特殊？要徹底解決這個問題需要了解相對論量子力學。
相對論量子力學的動力學方程是H=p^2+m^2（自然單位制），這時，如果將其展開，我們可以得到狄拉克方程，且此方程為四維矩陣方程，因而有四個解，正能解與負能解以及各自的自旋狀態。（可以看出這是一個描述自旋1/2粒子的方程）
為了解決負能解的問題，引入了反交換對易子（具體步驟不再贅述，好奇可以看量子場論），而反交換對易子導致泡利不相容，因而波函數交換加一負號，滿足費米狄拉克統計。
關於波色子，由於其動力學方程哈密頓量（或拉格朗日量）為二階，因而不會導出負能解，從而滿足對易子形式，因而滿足玻色愛因斯坦統計。
凝聚態物理中量子場論方法
我本人研究生研究方向是凝聚態物理，所以對於量子場論在凝聚態物理中還是有一定了解的，至於高能物理以及宇宙學中的運用涉獵略淺，歡迎一起交流！
凝聚態物理可以根據研究對象分為兩個大部分，一個是以熱力學為基礎的宏觀介觀物質動力學（如高分子，膠體等），一個是以非相對論量子力學為基礎的固體電子理論（如半導體，金屬等）。我本人曾經研究過後者（主要為二維納米材料方向），目前研究前者（主要為大分子粗粒化模擬）。
關於後者，在晶體時可以運用布洛赫波加原子軌道描述整個波函數。但是，當考慮到一些作用（如聲電耦合，光電耦合，粒子極化，鐵磁性等等），可以將相互作用場進行量子化，即使是熱振動這種與量子力學八竿子打不著的運動形式也可以進行量子化，目的是便於計算。於是，倘若作用不大可以看作微擾，運用格林函數（就是作用發生的概率振幅）便可解決此類問題。
關於前者，也是可以運用量子場論的，這個時候我們可以把熵看作哈密頓量，之後可以根據高分子擴散運動得到一個微分形式方程，將本徵函數寫做exp形式也可以精確解析此方程，這個時候可以不考慮?。
結語
關於量子力學乃至所有科學研究領域，仁者見仁智者見智，我非常欣賞費恩曼的物理學觀點，可以總結為對複雜理論理解與描述簡單、粗暴。只有這樣，才會引領更多的人去探索這個世界而並不是坐在教室里裝模做樣讀書背書，死記硬背無腦刷題。邏輯思維造就正常人，死記硬背造就機器人。只記住一個方程往裡面帶數字、僅僅背誦卻不理解、僅僅做題卻不運用，學的不是知識，學的是辣雞！
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