數學學習方法（3）數學「知識點」的掌握
本周我們的主題是：數學學習方法，今天是第三講。
讓孩子成為自己、愛上學習、提高分數，你好，這裡是正確父母的家庭教育課。
這篇文章，你可以直接點給孩子聽、也可以在自己聽完後，分享給孩子。
昨天我們講了學習數學的重要意義，今天，我們進入數學學習方法的學習。
在正式講授學習方法之前，我先分享給你一個知識點：數學的十大領域。
它們分別包括：
- 數論（算數）
- 幾何
- 代數
- 分析數學（微積分、複變函數）
- 元數學（數學邏輯、數學哲學）
- 結構數學
- 離散數學
- 隨機數學
- 計算數學
- 統計數學
可見數學是一個非常龐大的體系，但我們學了那麼久，也只是停留在對數論、幾何、代數，淺層次的分析數學、隨機數學、計算數學、統計數學的學習上，都只是初等數學的內容。而且這些內容中，稍有難度的部分，也都是集中在大學才會學到的。
這也就說明了一點 —— 高考前的數學知識，遠沒有我們想像得那麼難。只是數學的推理和證明比較多，又不屬於現實生活中常能看到的現象，所以被一傳十、十傳百給傳「難」了，搞得很多人都不相信自己能學好。但事實是，只要我們能牢固掌握數學的基本知識和概念，150 分滿分的高考數學卷，答個 120-130 分，是沒有問題的。所以我們要調整好心態：
（一）不要畏懼數學，它的核心不在解難題（難題僅占 10%），而在理解基礎知識；
（二）只要能抓住數學的學習方法，它學起來，真的沒有什麼難度。
接下來我就來給你講一講，數學到底該怎麼學，讓你看看 —— 只要掌握了方法，它是不是「很簡單」。
其實，學數學的核心方法，只有兩大塊：
（1）搞懂概念 —— 核心
（2）做題 —— 鞏固概念 & 養成數學思維
今天我先來幫你搞懂該如何「學概念」，明天我為你講數學的「做題方法」。
搞懂概念是學習數學的第一步，也是最核心的一步。很多同學以為學數學的重點在於做題，其實重點並不在做題，而是在理解概念 —— 做題的目的也是為了加深對概念的理解、查漏補缺。
在「搞懂概念」這個版塊，共有四步驟 ——
- 讀教材
- 搞懂四定（定義、定理、定理的證明過程、證明新定理用了哪些舊定理）
- 框架式學習
- 背誦
1. 讀教材。
讀教材的方法我在前面已經為你講過，你可以翻看前面的文章進行複習（文章我也已鏈接在文章下方，供你學習）。它的核心就是讀「說明文」，有兩個重點：1、要讀懂：要理解、整明白書中所講的內容；2、要掌握：按照知識架構背誦所有知識點，並不斷總結回憶形成框架、變成永久記憶。
2. 搞懂四定。
- 定義
- 定理
- 定理證明過程
- 證明新定理用了哪些舊定理
（1）先搞懂定義。
什麼是定義？就是數學概念。它定義了某種數量現象或圖形現象，叫數學定義（概念）。
例如，質數的定義是：在大於 1 的自然中，除了 1 和它本身以外，不能再被其他數整除。平行線的概念是：在同一平面內，永不相交（也永不重合）的兩條直線叫做平行線。
顯然，定義都是數學家給下的、給定義出來的，是不需要證明的東西。
同樣，公理也無需證明，是不證自明的「基本事實」，亦不能被其他定理所證明。它是人類經過反覆實踐得出的結論，可以拿來直接使用，很多定理就是由亘古不變的公理推證出來的。例如：任意一點到另外任意一點可以畫直線。這就是一個無需證明的公理。
那搞懂是什麼意思呢？絕不僅僅是停留在字面上的意思，而是能透過字面符號，把文字背後所闡述的「數量現象」與「圖形現象」給整明白了，能搞懂它的邏輯、把它想清楚。
例如，你可能只記住了質數的字面意思 —— 大於 1 的自然數，只能被1和它自己整除。但是你沒理解這是什麼意思，只是把文字給死記硬背下來了，這是不行的。真正掌握搞懂的意思，是能透過字面符號，理解它背後闡述的是一個什麼原理、講的是一個什麼東西。還是以質數為例，搞懂了它的定義，你就能通過這個原理推導出 100 以內、1000 以內甚至 10000 以內都有哪些質數，你能計算出來，而不僅僅是記住了文字。
（2）再搞懂定理。
定理是啥？定理就是人類根據定義與公理，證明出來的某種「固定數量關係」或「固定圖形關係」。
例如，三角形內角和等於 180°；如果 a/b=c/d，那麼 a*d=b*c 等等，這就是闡述的某種固定數量關係或固定圖形關係。
那麼這些固定關係都是怎麼來的呢？是被數學家證出來的。怎麼證的？在公理假設的前提下，在基本定義的規定下，用人類的思維邏輯把它推演、證明出來的。
那搞懂定理是什麼意思呢？和定義一樣，不是簡單背完字面上的意思就 OK 了，而是要理解定理符號背後講的邏輯、原理到底是什麼，這樣你才能靈活應用與變形。以勾股定理為例：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，即 a2+b2=c2，如果你只背了字面意思，那就只會套公式 a2+b2=c2，可能換個字母、或已知一條直角邊和斜邊讓你求另一條直角邊你就不會求了，這是不行的。
（3）搞懂定理的證明過程（此步驟非常重要，是理解知識點的核心，也是提升數學能力的關鍵）
搞懂定理的證明過程，也就是要搞懂這個定理是用什麼方法思路（輔助線，延長線）、用什麼定理定義（內角和定理，平角定理）給證出來的。
這個過程非常重要，卻常被我們忽視。深入理解、或自己證一遍定理的證明過程，是訓練數學思維非常好的方式 —— 它能讓我們進入數學家的思維，因為當年數學家就是這麼把它給證出來的。數學家用了什麼方法、什麼招數、用了什麼定理，你就在模仿他的思維和解題過程，這也就具備了基本的解題能力、具備了數學思維。
而且還有一點，一旦你把定理的證明過程搞懂了，你做題肯定就沒有問題了。題目的難度一定不會增加，最多是定理的變形應用或組合應用，幫助你深化理解定理的內容。它的前提一定是基於定理的，讓你從不同的角度去把它證出來、去應用它。
如果你做的題比定理都難，而且還讓你給證出來了 —— 那你不也成為了發明「新定理」的數學家了？？況且我們今天所學的定義定理公式，都是 300 多年前就被數學家證過的了，都屬於初等數學的內容，沒什麼難度。尤其是卷面上的基礎題和中等題 —— 你不會做，100%是基礎知識的掌握出了問題。
（4）搞懂在證明新定理時，用了哪些舊定理？
很多同學不理解這一步的意義，其實它是幫助我們形成「知識框架」非常重要的一步。我們總談「框架式學習法」，說的就是要把學習的所有內容都在頭腦中形成框架、形成關聯，這樣才能更方便理解和記憶。
搞懂新定理在證明時都用了哪些舊定理，其實就是把知識點形成關聯與框架的過程。它像是把知識用鐵鏈給連接起來了，彼此間有了關聯，形成了框架、形成了體系，想到這個就能想起那個，記起這個就知道是從那個來的，這才是關聯式學習框架式學習，好理解，也好記憶。
例如，證明正餘弦平方和等於 1，其實就是從勾股定理那裡來的。
3. 框架式學習。
把所學的知識點，不斷總結成「框架」進行理解、背誦、記憶。
例如，哪幾個知識點（定義定理公式）是幾何的，當然又分為平面幾何、立體幾何、解析幾何；哪幾個知識點又是函數的，包括基本概念、一次函數二次函數、指數函數冪函數對數函數三角函數等等。
這樣把知識點歸好類形成框架，並能記住它們之間的關聯，知識也就形成了一張網，好理解也不易被遺漏，想忘都忘不掉。
4. 背誦。
總結完框架，就要背誦框架和其中的知識點了 —— 最終要背到什麼程度呢？就是拿出一張 A3 紙，能用筆在這張紙上默寫畫出已學所有知識點的結構和關聯，不用翻書。
背誦的方法，就是要不斷重複、回憶這個框架，最終形成永久記憶。
總之，將所學知識點能吃透、搞懂，並形成體系、框架，將它們牢牢記住 —— 整個數學的「知識大廈」就建立起來了，這時，即使不會做難題，80% 以上的分數你也就能得到了，這樣看，學習數學是不是沒那麼難呢？
好了，以上就是今天全部的課程內容，如果你覺得有所收穫，也希望你將它轉發給更多需要的人。明天，我來為你講解數學學習方法二 —— 做數學題的思路。
當然，每天的文章篇幅畢竟有限，科學的學習方法也不可能說到絕對詳細 —— 如果你想系統、詳細地學習培養優秀孩子的方法、掌握幫孩子提高學習的系統方法論，可以下單購買我們的《正確父母育兒工具箱》，它會細到每一步地、手把手地教你培養優秀孩子，讓他愛上學習，提高分數。
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