密度矩陣1

03-19

假設有兩個系統A和B。

設 $|psi angle$ 是 $Aotimes B$ 空間中的態。

將 $|psi angle$ 對B中的一組正交基 $|b_i angle$ 進行分解:

$|psi angle=sum_ic_i|phi_i angle|b_i angle$ ,其中 $|phi_i angle$ 是A空間中的態。

設 $|a_k angle$ 是A空間中的一組非簡併基（簡併的情況類似）。對這組基進行測量。

則測得 $|a_k angle$ 的概率為：

$sum_i|c_i^2|langlephi_i|a_k anglelangle a_k|phi_i angle$

這就好像，系統以 $|c_i|^2$ 的概率處在 $|phi_i angle$ 態一樣。

定義算符 $ho=sum_i|c_i^2||phi_i anglelangle phi_i|$

那麼測得 $|a_k angle$ 的概率為 $langle a_k| ho|a_k angle$

假設 $|a_k angle$ 對應的本徵值為 $A_k$

定義算符 $O=A_k|a_k anglelangle a_k|$

則對 $O$ 進行測量的期望值為 $langle a_k| ho|a_k angle A_k=Tr( ho O)$

舉個例子，對於 $frac{sqrt{2}}{2}|0 angle_1|0 angle_2+frac{sqrt{2}}{2}|1 angle_1|1 angle_2$ 態，如果只對粒子1進行測量。

那麼就等價於 $1/2$ 概率位於 $|0 angle$ 態， $1/2$ 概率位於 $|1 angle$ 態。

如果對2粒子採用一組不同的基 $|x angle,|y angle$ ，比如

$|0 angle_2=frac{sqrt 2}{2}(|x angle+i |y angle), |1 angle_2=frac{sqrt 2}{2}(|x angle-i |y angle)$

那麼 $frac{sqrt{2}}{2}|0 angle_1|0 angle_2+frac{sqrt{2}}{2}|1 angle_1|1 angle_2 =frac{sqrt 2}{2}frac{sqrt 2}{2}(|0 angle_1+|1 angle)|x angle_1+ frac{sqrt 2}{2}frac{sqrt 2}{2}i(|0 angle_1-|1 angle_1)|y angle$

也就是說，也可以理解為粒子1以 $frac{1}{2}$ 概率處於 $frac{sqrt 2}{2}(|0 angle+|1 angle)$ 態，以 $frac{1}{2}$ 概率處於 $frac{sqrt 2}{2}(|0 angle-|1 angle)$ 態。

這兩種理解是一致的，因為對應的密度算符是一致的，即：

$frac{1}{2}frac{sqrt 2}{2}(|0 angle+|1 angle)frac{sqrt 2}{2}(langle 0|+langle 1|)+ frac{1}{2}frac{sqrt 2}{2}(|0 angle-|1 angle)frac{sqrt 2}{2}(langle 0|-langle 1|) =frac{1}{2}|0 angle langle 0|+frac{1}{2}|1 anglelangle 1|$

另外，也可以通過部分跡的方法求得子系統的密度矩陣。

具體就是先把整個系統的態寫成密度矩陣形式：

$(frac{sqrt{2}}{2}|0 angle_1|0 angle_2+frac{sqrt{2}}{2}|1 angle_1|1 angle_2) (frac{sqrt{2}}{2}langle0|_1langle 0|_2+frac{sqrt{2}}{2}langle1|_1langle1|_2)$

然後再對粒子2取跡

就得到和之前一樣的結果： $frac{1}{2}|0 angle langle 0|+frac{1}{2}|1 anglelangle 1|$

一般也把這個方法得到的密度矩陣叫做約化密度矩陣。