20、量子糾纏、定域現實、自由意志
「Bell』s theorem is the most profound discovery of science.」
「貝爾定理是最具深遠意義的科學發現。」 – Stapp
註：本文從本人如下專欄文章合併簡化而來：
賈明子：未竟稿之二、量子糾纏
賈明子：未竟稿之三：實在性、定域性、以及自由意志
玻姆力學在現代量子力學的發展中可算是一個異類，它幾乎是唯一一個並不遵守裸量子力學 – 也就是狄拉克和馮諾依曼總結的五大公設 – 形式體系的的量子理論。它為大家提供了一個新的視角：我們不必為量子理論打上「革命」、「怪異」、「震驚」等標籤，在保留了絕大多數經典視角的情況下，仍然可以得到一個符合實證的物理理論。
然而，在保留了決定論和實在論之後，玻姆力學對經典理論的最後一個觀念，定域性，卻無能為力了。這是因為，引導波並非是一個在真實空間中的一個可以觀測的波動，而是在所謂的「位形空間」（configuration space），的抽象波，這裡的術語你大概不懂，指的是粒子的所有可能狀態的波動。它的後果就是在多粒子系統中，一個粒子的變化就不可避免地瞬間影響空間中的所有其它粒子 – 無論多遠。這就是「非定域性」。
物理學家為何對「非定域性」如此敏感？因為物理學中，任何影響都是局部的，有傳播速度的。A的變化不是不可以影響到遠方的B，但是這個影響是以一定的速度傳播過去的，而不是瞬間跨過千山萬水。這個傳播的速度有一個上限，就是光速。比如說，你在遠方喊我，必須是你先喊，過一點時間後，我才能聽到。再比如，我們看到的遠方的星星，其實是它們以前的樣子，因為光通過如此遙遠的距離傳播過來花了一段的時間。還有，如果現在我們的太陽突然發生了大爆炸毀滅掉了，我們是不會立即知道的，直到8分鐘以後我們才知道，因為那是光從太陽跑到地球所用的時間。
在我們前面的章節我們提到過，在相對論中，沒有一個普適的時鐘，每個人的時間都是不同的。因而所謂的「瞬時影響」也就不會存在。因為我們提到「瞬時」的時候必然要問：「相對於哪一個觀察者是瞬時的？」例如Alice看到A瞬時影響到了B – 也就是說AB同時發生，但是在Bob看來，它們就可能不是瞬時發生的，而是A先發生而B後發生；但是在第三個人，例如Cathy看來，就又可能是B先發生而A後發生了。這樣一來就會引起因果關係的錯亂，一件事的起因還沒發生，可是它的後果卻可能已經出現了；或者說一個人穿越時空回到過去殺掉自己的外祖母阻止自己出生，如此等等，天下大亂。因此科學家們是不會容忍這種超光速的瞬時影響發生的。
不滿足定域性，這就是愛因斯坦對玻姆力學最不滿意的地方。隨後，愛因斯坦意識到，更加嚴重的問題出現了：並僅僅不是玻姆力學非定域，而是整個量子力學都是非定域的。玻姆力學的非定域性其實就是起源於量子力學本身的非定域性。
其實在我們前面談到波函數和波函數坍縮的時候，這種非定域性的影響就已經隨處可見了，只不過你可能還沒有注意到。一個波函數在坍縮時，會同時改變它在整個空間的概率分布，這本身就是一個非定域性的源泉。比如說，我們有一個位置不確定度很高的電子，它的波函數在空間分布很寬，也就是說它在一個廣袤空間中隨處都有出現的可能。當我們對它進行觀測的時候，它各個位置的疊加態迅速坍縮，變成空間中的某一個點（我們把它叫做A點）。那麼這時我們立刻知道，這一瞬間，這個電子在空間其餘的任何地方，無論距離有多遠多近，都不可能出現。此時，如果空間中有另外一個電子，那麼兩個電子之間就會互相影響。比如說，因為相互之間的斥力，一個電子出現概率高的地方，另外一個就不大會出現在附近。此時，如果我們觀測了其中一個電子A，就會瞬時改變它的量子態，使其在空間的分布清零。那麼，另一個電子B的分布也就會瞬時受到影響。因為B的概率是受到A的概率影響的，觀察之後，A坍縮了，變成了確定值，那麼此時B的概率就會受到這個確定值的影響，所以分布就不可避免地因此變化：也就是說，對A的觀測瞬間就影響遠方的B。
按照經典圖景的看法，這個過程是沒有任何「瞬間影響」的。原因是，兩個電子在空間概率性的分布，只是因為我們的無知造成的：兩個電子都有確定的位置，只是我們不知道而已，並不是它們真的在空間中彌散開的。我們測量A，得到A的位置信息後，同時改變了B的空間概率，但是，這個瞬間發生變化的只是我們對B的知識，而不是B的狀態。而按照量子力學的看法，兩個電子的量子態就是它們運動狀態的全部，當A坍縮時，B的改變，是其量子態實實在在的改變。因而，我們對A的改變，實實在在地瞬間改變了B的狀態。
真正把這種非定域性的效應明顯地呈現在我們眼前的，是所謂的EPR佯謬，在石破天驚的1935年，愛因斯坦以他超凡的洞察力，對量子力學發起了最為致命的最後一擊。這一擊，把量子力學最為尖銳的矛盾，也是最為奇葩的一面暴露在了物理學家的面前。就是非定域性和實在性之間的矛盾。
下面我們一起看一看著名的EPR佯謬以及它所引出的量子力學最為獨特的現象：量子糾纏。在這裡，量子糾纏有史以來第一次明確地展現在世人面前。
EPR三個單詞，是三個人名字的組合，愛因斯坦（Einstein）和他的兩位博士後助理，Boris Podolsky 和 Nathan Rosen。在1935年，三人發表了一篇論文，題目叫 「量子力學對物理現實的描述是完備的嗎？」（Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?） 對於波函數（態矢量）對物理實在描述的完備性，提出了強有力的質疑。值得一提的是，EPR中的另外兩位，雖然在這個話題中不幸掩蓋於愛因斯坦的巨大陰影中，也都不是凡人。其中Rosen 很著名的貢獻就是提出了「蟲洞」理論（這無論放在物理學史的哪一個階段，都是一個了不起的發現）；而Podolsky，據證實是前蘇聯的克格勃。
當然眾所周知，這篇論文中的核心思想全部出自愛因斯坦。但是因為當時愛因斯坦的英文水平還很不行，文章是Podolsky執筆寫的，並且在提交之前，愛因斯坦並沒有閱讀過。事後愛因斯坦對論文的表述表示了一些不滿意，認為它畫蛇添足地討論了一些無關主題的東西，使得真正的主題反而有些模糊。後來，直至1951年，玻姆提出了他的版本的EPR佯謬，用「自旋1/2」系統，簡單明了，成為我們現在最廣為人知的一種版本。這裡我們略過最初的EPR版本，直接談論玻姆版的EPR佯謬。
「自旋」是微觀粒子的一個獨特現象，這在我們宏觀世界中是不存在的，並且很難以用宏觀現象來直觀想像。最接近的類比，就是一個旋轉的小球，雖然它和微觀粒子的自旋有著種種顯著的不同，但是現在我們暫時用它來類比還是可以的。一個旋轉的小球，它可以有不同的旋轉方向，比如從一個方向上看去，它可能是順時針旋轉，也可能是逆時針旋轉。因為順時針和逆時針從不同的方向看過去是不同的，因而物理學裡面不用這種稱謂來區別旋轉方向，而是用一個叫做「右手規則」的方式來規定自旋的方向為「向上」或「向下」。
EPR佯謬是一個思想實驗，著這裡，我們設想一個靜止的、沒有自旋的粒子突然發生了一個爆裂，分成了兩個相同的粒子A和B，然後這兩個粒子向著兩個相反的方向離去。整個過程我們對它不進行觀測。直至A跑到宇宙的邊緣，而B跑到宇宙的另一端。這時候有兩個人，分別在兩端等著，A這邊是Alice，B這邊是Bob[1]。然後他們都在同一個方向上對這兩個粒子分別作出觀測，結果會是怎樣？
物理學中有一個普適的基本定律，叫做角動量守恆定律[2]，這個定律指出，孤立系統的總角動量保持不變。角動量是一個旋轉的「強度」的度量。既然一開始的粒子沒有自旋，那麼它分裂成兩個粒子之後，兩個粒子就必然會把整體的自旋抵消掉，也就是說，A和B的自旋方向必然是相反的。這件事可以說是非常古怪了。
你可能會覺得，這簡單得很啊，哪裡來的古怪？且聽我細細道來。
按照經典圖景來理解，這件事當然沒有什麼可奇怪的：粒子分裂成為兩個自旋相反的粒子，然後這兩個粒子就保持著自旋的狀態一直到了Alice和Bob那兒，這沒毛病。你只需要把粒子當做經典的小球就可以了：兩個人觀察到的結果總是相反的，是因為這兩個粒子本來就是以相反的自旋產生的啊，它們從在一個粒子分裂出來的時候起一直就是相反的啊。在我們觀察它們之前，我們只是不知道它們各自是什麼狀態罷了，但是我知道，即使我不觀察，它們的自旋也總是相反的啊。
但是按照量子力學的思維，古怪之處就來了：按照哥本哈根的思想，當我們沒有觀察粒子的自旋態時，它們沒有確定的自旋方向，它們一直保持著一種上旋和下旋相互疊加的疊加態！直到它們分別到達Alice和Bob身邊，兩個人對它進行觀察的時候，它們才被坍縮，因而獲得了確定的自旋方向，是觀察這個行為造就了它們的確定狀態。當Alice觀察A的時候，A從疊加態坍縮到了一個狀態，比如說，上旋。那麼在同時，宇宙另一端的B就會立刻從疊加態坍縮到下旋態。也就是說，在宇宙的一端對一個粒子的觀察，瞬間導致了宇宙另一端的另一個粒子獲得了一個狀態！
有一個常用的例子來更加直觀地說明這個問題：比如說有一副手套。我們現在隨機地用兩個盒子分別把兩隻手套放進去，這個過程誰也沒有偷看，因此誰也不知道兩副手套各自在哪一個盒子里。然後Alice和Bob分別保管一隻盒子，乘坐飛機，Alice來到北京，而Bob到了地球另一端的紐約。兩個人約好，明天中午同時打開盒子，看看各自盒子裡面的到底是左手還是右手。在這之前，兩人誰也不知道打開會是什麼結果，於是就他們自然而然地認為結果將是隨機的，得到左右手的概率各是50%。而這種隨機性，就像是我們在第一部分，
賈明子：4、拋硬幣和概率性
中所說的，表現的是我們對這副手套認知的不確定性，而不是手套狀態本身的不確定。我們雖然用概率來描述我們的觀察結果（「左手」還是「右手」概率各佔50%），並不是因為手套的問題，而是我們的問題 – 我們沒有能力發現那個「隱變數」（盒子中所藏的手套真實的「左右」狀態）。
到了約定的時間，Alice打開盒子，發現裡面是左手，那麼她即使是只用腳後跟考慮也會瞬間知道，在紐約的那一隻是右手。Bob也是同理。這是我們日常生活中非常常見的畫面，一點都不奇怪。反過來如果兩邊得到的結果不總是相反，那樣才會奇怪呢！這裡瞬間發生變化的，是Alice對紐約手套的認知，而不是紐約手套的狀態，因為它從一開始就是右手，從來就沒變過。
但是如果我們的手套是一副「量子手套」，在量子力學看來，一直到約定的那一刻之前，兩個盒子里裝的，不是確定的哪一隻，而分別是兩隻手套的疊加態，左手+右手！這一雙手套的量子態可以這樣描述：
這個公式的含義就是，這兩個手套的複合系統（composite system）由兩個狀態的疊加：其中一個狀態是A是左手B是右手，另一個狀態是A是右手B是左手。那麼，當Alice看到北京的手套時，她的觀察「賦予」了北京的手套一個坍縮的狀態（比如說，左手），而在這一瞬間，她也同時決定了紐約的那隻手套從疊加態向著另一個狀態（右手）坍縮。
這，就是量子糾纏，是愛因斯坦打死都不相信的「幽靈般的遠距離作用」（「spooky action at a distance」）。
因此，愛因斯坦說，既然量子力學必然導致這種超光速的瞬時作用，那麼說明它必然是有問題的，問題就在於，它忽略了「隱變數」，也就是說，疊加態的背後其實是「真實」確定的狀態，我們用疊加態來描述粒子是不完備的，它不能夠告訴我們，比量子態更加基本的、「真實」的狀態。
EPR思想實驗是愛因斯坦對量子力學的深刻洞察力的一次大表演，足以讓世人震驚。很多人被大眾科普所誤導，認為愛因斯坦一直不能理解量子力學，其實不是的，愛因斯坦恐怕是當世對量子力學理解最為深刻的人了。這個思想實驗一針見血，直接把量子力學的終極特徵（薛定諤說的，「THE characteristics」）暴露給世人。而在同時，玻爾在相當長的一段時間內卻無法get到愛因斯坦的深刻之處。但是理解歸理解，愛因斯坦卻至死不能相信它。
平心而論，愛因斯坦用超光速作用來質疑量子力學，未免苛求。因為量子力學從一開始，就不是一個相對論性的理論，它不滿足洛倫茲變換（直到後來，狄拉克發現了相對論量子力學的基本方程，狄拉克方程，再後來發展了量子場論，才是真正的相對論量子力學）。因而要求它和相對論兼容，就有些雞蛋裡挑骨頭的意思。
但是，有趣的是，量子糾纏其實並沒有與相對論衝突。沒錯，它確實意味著遠距離的瞬間影響，但是這種影響是完全隨機的。相對論所不允許的超光速，指的是信息的傳遞速度，或者說因果關係的傳遞不能超光速。但是，當Alice觀察A的時候，她是完全不可能控制觀測結果的。現在她想利用量子糾纏給宇宙另一頭的Bob發一條簡訊，她用上旋代表1，下旋代表0的話，如果她可以控制每次的結果，那麼當她觀測得到0的時候，Bob必然就得到1，她就可以用這種方式發出一串數字串，把想發出的信息編碼到其中，Bob就可以立刻得到簡訊了。但是，我們知道，她每次的觀測結果都是完全隨機的，她自己對此毫無控制能力，她想發0的時候，可能觀測結果卻是個1。因此，Bob那邊得到的編碼只能是毫無信息負載的白噪音，除此之外什麼都得不到！我們唯一知道的，是Alice和Bob觀測結果之間的相關性：它們必然是相反的。而這個信息，並不需要觀測時才揭示出來，在兩個粒子產生的時候，我們就早已經知道了，觀測結果並沒有給我們帶來任何新的信息。因而，超光速的信息傳遞是無法實現的。
還有，Alice和Bob同時做出觀測，這個「同時性」在相對論中是相對的。這時在地球的人可能看到，Alice先做出觀測，導致了A的坍縮，進而導致B的坍縮，因而容易得出結論：Alice觀測是因，而B的坍縮是果。而在一個快速飛船的人可能看到的正相反，是Bob先看到了B的狀態，而後Alice對A才進行觀測，那麼這是不是結果先於起因產生了呢？其實， Alice觀測導致了B的隨機坍縮，還是Bob先觀測導致了A的隨機坍縮，這兩者之間是完全無法分辨的，因為不論是誰先誰後，Alice和Bob的觀測結果都是一串無意義的隨機結果而已，他們都沒有辦法分辨，自己所觀測的這個粒子，是已經被對方坍縮過的，還是沒有被坍縮過的？而這時，地球上的人和飛船上的人只是互相對誰先誰後產生了分歧，但是卻絲毫不影響因果關係。
因此，量子糾纏雖然產生了遠距離的瞬時關聯，卻從嚴格的操作層面上並沒有違背相對論。
但是這也足以引起很多科學家的極度不舒服。讓他們急於想得到一個答案：愛因斯坦說，客觀現實是獨立的，物理是定域的（沒有「幽靈作用」）；而量子力學則說，只有依賴於觀察者的外部世界，沒有所謂的「客觀」實在，並且物理是非定域的。這兩者之間，怎麼看都是前者容易讓人接受，而後者更像是夢話。我們為何要拋棄一個順理成章的思想，非要去認可一個如此怪異的想法呢？
愛因斯坦是正確的嗎？量子力學真的不完備嗎？我們需要用事實說話。
好了，現在我們有兩種說法：
1. 「經典觀」：愛因斯坦說，兩個盒子里的手套分別有明確狀態，當我們知道了一隻手套的狀態時，我們立刻就知道了另外一隻手套的狀態。
2. 「量子觀」：兩個盒子里的手套沒有確定狀態，都是左手和右手的疊加態，直到觀察其中一隻，它才能獲得一個狀態。在它獲得一個確定的狀態後，另一隻手套同時獲得了另外一個狀態，然後我們同時知道兩隻手套的狀態。
我們現在需要設計一個實驗，讓事實說話，來看看哪一種說法才是正確的。乍看上去，這兩種說法的區別僅僅在於說法而已，它們的核心區別，指向的是「尚未觀察時」是否存在一個確定的的狀態？然而，在尚未獲得觀察結果的時候，粒子發生了了什麼，在實證中是不可能加以判定的。只有在我們觀察它之後，我們才知道它是否正確。但是一旦我們觀察了，我們得到的結果就必然是一樣的：它們必然是相反的。而我們需要的是這樣一種實驗，讓這兩種說法的區別能夠體現在它們所導致的不同的觀測結果上。
從實證的角度講，上面的這兩種說法可以分辨嗎？它們的說法雖然不同，但是最終表現給我們的，難道不是一模一樣，無法區分的嗎？實驗對兩種說法會有不同的結果嗎？如果兩者的結論在實驗上真無法區分，那麼它們的區別就不是一個物理問題，而變成了一個哲學問題。
但是，令人欣慰的，也是令人驚奇的是，我們確實有辦法做實驗對這兩種說法加以分辨。這就是貝爾不等式。
要知道，我們所糾結的，在於兩個事件之間的相關性，以及發生這種相關性的機理。當我們談到相關性的時候，我們必須要明白，有兩種不同的情況。
1、 兩個事件之間存在著相互影響，因而導致一個事件的發生會直接影響另外一個事件。比如說，你和我各自在自己的房間里，這時候午飯時間到了，我喊你一聲「開飯了」，然後我們兩人同時出門走向餐廳。這時候我們之間的這種同步行為 – 這種關聯性 – 就是因為我們之間的直接相互影響。
2、 兩個事件之間不存在互相影響，但是它們的發生都同時決定於同樣的一個第三者事件，因而兩個事件如何發生都是由這個第三者事件決定的。這樣這兩個事件之間也會表現出相互關聯。比如說，你和我各自都在自己的房間里待著，這時，媽媽在廚房裡喊了一聲「開飯了」，於是我們兩個同時從自己的房間走出，然後一起到達餐廳。這時候我們之間雖然沒有直接相互影響，但是仍然表現出行為上的相關性。
按照「經典觀」，兩個粒子在誕生之後，就各有相互獨立的狀態[3]。當兩個粒子遠遠地分開後，A的任何事件，都不會再影響到B了[4]。A和B兩者在被觀察時的行為必然都是相互獨立的，兩個粒子之間的相關性由它們誕生的事件決定的，而與後續一切事件無關。這時候，無論我們對A做什麼，B的行為都不會受到影響。我們觀測B時，其觀測結果僅取決於它的產生時那一刻，與A不再有任何關係。
而按照「量子觀」，兩個粒子在誕生後就共同處在一種糾纏的疊加態，相互不獨立。其中任何不管哪一個發生了任何一個事件，必然會同時影響到兩個。所以對兩者的觀察所產生的結果就不再是獨立的事件，而是互相影響的。在這裡，如果我們先觀察了A，由於不同的觀察行為會產生不同的影響，因而B的觀察結果會根據先前A採取了什麼樣觀察行為而相應地表現出不同的結果。也就是說，如果我們先觀測A，那麼B的觀測結果就不再取決於它誕生時刻了，而是取決於對A的觀測行為。
也就是說，在一開始，A和B存在著某種關聯，這種關聯取決於它們的誕生事件。按照經典觀，這是前面說的第二類相關性，不論我們作何觀測，這種相關性將完全保持不變，如果我們一次次地重複實驗，就可以看到兩邊觀測結果的關聯性保持著前後的一致；但是按照量子觀，對AB任何一方的觀測都同時影響兩邊，所以A所經歷的不同觀察行為，會以不同的方式干擾B的觀察結果，因而B的觀察結果會根據A採取了何種觀察行為而有所不同[5]，從而AB的觀察結果的相關性就不僅僅取決於它們的誕生事件，而且還取決於我們採取了什麼樣不同的觀測組合。因而在重複多次的實驗中，我們隨機地變換觀測組合，我們就會發現觀測結果的相關性不再保持一致。按照這種邏輯，我們就可以設計我們的實驗，來判斷經典觀和量子觀之間的區別。如果我們的測試手段足夠多，這種相關性的變化就能體現出來。
現在我們準備了3種不同的觀測實驗手段（分別記做實驗a、實驗b、實驗c），每個實驗都會產生兩種結果，「通過」和「不通過」。然後我們用一個發射器，發射一對互相糾纏的粒子。我們的發射器可以設計成這樣：它所發射的一對糾纏粒子，用同一種測試手段，必然會產生相同的實驗結果（互相正關聯）。它們可以同時通過a，也可以同時通過b、c，而決不會發生一個通過而另一個不通過的情況。現在我們不停地產生很多對相互糾纏的粒子，一一發給Alice和Bob，然後他們每次都各自做隨機地從這三種實驗手段中取其一來對收到的粒子進行測試。那麼我們看看，他們的實驗結果會是如何。
按照經典觀，每一對粒子都各自有著「隱變數」，當它們在誕生的時候，它們的狀態就已經被這些隱變數唯一確定了。而不論這些隱變數遵從何種規則、它們的具體狀態是什麼，它們都是不依賴於觀察者而唯一確定的。這些粒子的產生是隨機的，在產生它們的過程中唯一的約束就是前面提到的關聯性：它們在同樣的實驗中得到同樣的結果。而對於一個有著某種確定狀態的粒子，進行3種測試的任何一種，必然會產生某一種確定的結果。比如說，對於一對確定的A和B，它們可能會同時通過實驗a，而不通過b和c；而對於另一對確定的A和B，它們可能會同時通過實驗b，而不通過a和c。這3個測試結果一共有幾種不同的可能性呢？每一種實驗都有通過和不通過兩種可能，那麼三種實驗，一共就會有2×2×2=8種可能，我們很容易列表把所有的可能都列出來：
不論我們如何變化這個實驗，不論這兩個粒子在發射出來的時候有什麼樣的狀態，它們的測試結果必然是以上的8種之一，而不可能超出這個範圍。
那麼，我們開始不停地給Alice 和Bob發射一對對的糾纏粒子，然後他們各自隨機地從3種實驗手段中任選其一來對收到的粒子進行測試。有時候他們碰巧選擇了相同的測試手段，那麼他們必然獲得相同的測試結果：要麼都通過，要麼都不通過。當他們碰巧選擇了不同的測試手段呢？就會有各種不同的測試組合和相應的測試結果。比如說，從所有的這些實驗結果中，我們從中只抽出三種情況，來看它們發生的頻率：
1、一邊a的實驗通過，而另一邊b的實驗不通過，我們記做
2、一邊b的實驗通過，而另一邊c的實驗不通過，我們記做
3、一邊a的實驗通過，而另一邊c的實驗不通過，我們記做
我們把這幾種情況全部列表出來：
根據上表，我們可以看到，只有在3、4兩種可能性的情況下，會出現a過b不過的結果，只有在2、6兩種可能性下，會出現b過c不過的結果，而只有在2、4兩種可能性下，會出現a過c不過的結果。我們很容易發現，不論我們的糾纏粒子對是以何種狀態發射出來，如果得到了ac的結果，那麼這對粒子對其他的測試組合，必然會得到要麼、要麼
。而反之則不成立。也就是說不論粒子按照哪一種狀態發射，大量實驗結果下來，我們得到a過b不過的頻率P（
）、b過c不過的頻率P（
）、a過c不過的頻率P（
）之間，必然有如下關係：
這裡，如果我們發射的粒子只有2、4兩種情況，上面的不等式就變為等式，否則，它就是不等式。
這，就是貝爾不等式的一個變種。
貝爾不等式，顧名思義，它是由一個叫做貝爾的人最早提出的。他的全名叫做約翰.貝爾。他本人一直是隱變數理論的支持者，因此，他相信，我們做實驗得到的結果，必然會滿足這個不等式。
貝爾不等式的邏輯非常簡單，我們不需要任何高等的數學知識就可以大概理解。但是它所揭示的思想，卻不可謂不深刻。要知道，我們事先並沒有限制某一種特定的隱變數理論，這裡只有一個預設前提：定域性，即相隔足夠遠兩個事件之間不存在瞬時的相互影響，因而兩個事件是獨立的。也就是說：
任何一種可能的定域隱變數理論都滿足貝爾不等式。
這句話說的直觀一點，可以這樣解釋：如果有一種關於粒子運動的理論，不論這種理論具體是什麼樣子，只要它有這樣兩個特徵：
1、 這個理論認為，粒子存在一種獨立與觀察者的狀態；（實在性）
2、 這個理論認為，粒子之間不存在瞬間相互關聯。（定域性）
那麼，它必然滿足貝爾不等式。這兩個條件綜合起來，就叫做定域實在性。
而反觀量子力學，則會有不同，因為它沒有上述的兩個前提。第一、在你沒有測試的時候，它們都處於「通過」和「不通過」的疊加態（而不存在確定的狀態）；第二、a、b、c三種測試互相間是瞬時影響的，但是當你測試一個粒子的a的時候，會立刻改變另一個粒子的b和c的測試結果，所以量子力學會出現不同的實驗結果。因而它就不必滿足貝爾不等式。因而我們就可以通過實驗測試來判定，到底是哪一個才對。
貝爾不等式於是就提出了一個實證的方法，從而可以對人們關於量子力學「本質」的爭論做出一個判決：我們世界的存在，到底是不是像人們傳統認知那樣，是一種「客觀的」、「定域的」，還是像量子力學中那種顛覆性的認知，是依賴於我們的觀察、瞬間影響整個宇宙的？
實驗物理學家們先後做過幾次實驗[6]，這些實驗的過程我就略過不提了。結論非常明確：實驗結果不滿足貝爾不等式，與量子力學的預測完全一致，而與隱變數理論預測不相符。這就宣告了定域隱變數理論的破產，也就是說，定域隱變數理論中的兩個前提：
1、粒子具有確定的狀態（實在性）
2、粒子的相互作用是需要時間傳遞的（定域性）
這兩者不可能同時正確。否則的話貝爾不等式應該是成立的。根據貝爾不等式以及它的實驗驗證結果，人們總結道：
定域性隱變數理論是不存在的。
這就是貝爾定理。
這個結論無疑是令人震驚的：要麼，這個世界不是「實在」的，我們必須放棄實在論；要麼，它不是定域的，我們必須放棄因果論[7]！它對我們的整個世界觀產出了最為顛覆性的衝擊，而它的邏輯卻又極其簡潔明確，令人難以辯駁。
實在論和定域性，這兩者都是我們思維中極其根深蒂固的概念，無論我們放棄哪一個都將是一個十分不爽的選擇。但是，與實證的原則相比，無論是實在論還是定域性都要讓路。一個無論是多麼美妙、多麼邏輯合理的理論，只要是不符合事實，就必須被放棄掉。貝爾本人是一個隱變數理論的支持者。因此他寧願捨棄定域性，而支持實在論，他的選擇是玻姆力學。我們前面看到，玻姆力學是一種非定域的隱變數理論，因而它本身不能被貝爾定理否決 – 事實上，玻姆力學的非定域性的來源和量子力學本質上是一樣的。但是現在絕大多數科學家們都已經乾脆放棄掉所有的隱變數理論了，因而玻姆力學也隨之受到重創。
雖然貝爾定理現在已經是一個被普遍接受的結論，但是，對貝爾定理的驗證過程卻並不簡單，由於邏輯和實驗的複雜性，人們前前後後進行過數次不同的實驗，以排除實驗過程中可能出現的各種漏洞（loopholes）。現在我們基本上可以說，已知的可以堵上的漏洞都已經堵上了。
當然，也有一個我們永遠都不可能堵上的「漏洞」：自由選擇漏洞。我們再回來仔細觀察貝爾不等式的前提：實在性和定域性。但是事實上它有一個更加隱含的前提。當我們談及定域性的時候，我們實際上指的是兩邊的觀察行為的獨立性。因而，貝爾不等式的打破，實質上否定的不是定域性和實在性，而是獨立性和實在性。
比如說，在實驗中我們發現兩個粒子之間存在遠距離同步，這時我們並不能直接下結論說存在著非定域關聯，因為有可能兩個粒子在實驗一開始就已經存在關聯。例如，我們向兩個方向發射了兩顆導彈，並設定它們在1小時後起爆。那麼一小時候我們發現相隔很遠的導彈同時起爆了，我們並不能說兩個導彈之間存在著遠距離瞬時關聯，它們的關聯起始於發射的時刻。因而，實驗中兩個粒子起始的關聯就意味著它們在實驗前就有可能已經「串好供」來欺騙我們，讓我們誤以為它們分開很遠之後可以瞬間「心電感應」，其實它們不過是事先「商量好」了而已。因而實驗中必須要排除這種隱藏的關聯。
也就是說，在對貝爾不等式的驗證實驗中必須要排除這種「隱藏」的關聯。我們對Bob和Alice兩邊的測試必須是完全獨立的、隨機的。於是人們想了一個辦法，叫做「大貝爾實驗」。
這個實驗以遊戲的形式，在全球的網路上發動了10萬多志願參與者，由這些志願者們決定要採取何種實驗方式。這些來自天南海北的參與者顯然不可能事先互相商量好。如果實驗者們可以完全按照自己的意願自由選擇實驗方式，這樣就可以保證實驗方式的隨機性，因而粒子就不存在「事先串供」的空間，因為它們事先不知道我們要做何實驗。
結果仍然是一樣的，貝爾不等式不成立。
但是，這裡仍然有一個原則上不可消除的漏洞。因為大貝爾實驗中的假設就是，所有的志願者之間是沒有關聯的，他們都是「自由」的。但是如果我們較真起來，我們沒有100%的依據認為這些志願者之間沒有事先關聯。比如說，如果我們所有的人類，和被實驗的粒子一起，都是都是同一個決定論演化的產物，那麼無論多少人參加了實驗，人們自以為「自由地」、「隨機地」選擇了實驗方式，其實都是假的。我們的「做何種實驗」的決定也是事先註定的，既不自由也不隨機。這種事先的關聯甚至遠遠早於實驗開始之前，來自大爆炸初始狀態。也就是說，早在實驗開始之前，我們就已經和粒子一起串好供準備來欺騙我們自己了。
於是，我們就回到了決定論。拉普拉斯之妖這個難纏的怪物再一次出來困擾我們了：如果一切行為都是由一個決定論的宇宙定律決定的，那麼我們對粒子的觀測行為分別都是事先註定的。這個宇宙本來就已經決定了，我們分別在這個特定的時刻，要對這個特定的粒子，做出一個特定的觀測！這是兩個相關的但是互不影響的兩個觀測行為。粒子B也不必在瞬間「知道」粒子A做出了何種觀察，並且瞬間「感受到」這種觀測的影響，事實上，早在A的觀測行為發生之前，B就已經「知道」要知道A將要發生何種觀測行為了。因而這裡根本就沒有瞬時影響，只有同步行動，如此而已。
因而，對於貝爾不等式的違背，我們其實不必得到結論要必須拋棄定域實在性。可是，為了同時保留實在性和定域性，我們所要付出的代價似乎也不輕。因為我們必須要捨棄自由意志。Alice和Bob兩個可憐的傢伙只是宇宙的兩個提線木偶，而絲毫沒有任何自主的能力來做出一個何時觀測、如何觀察的決定。這意味著超級決定論：不僅僅宇宙中的各個粒子都是事先註定的，而且每個人的思想和主觀決定也是事先註定的！我們在研究量子糾纏的過程中所表現出的興趣和好奇，都是假的。而物理學家Michael Hall曾經建立了一個定域實在的解釋，他說其實不必有真的有超級決定論，人們只需要把我們的「完全自由意志」降低14%，我們就可以合理解釋貝爾實驗而不必拋棄定域現實。
因此，一個不那麼為人所知、為人所接受的擴展版本的貝爾定理可以這樣說：
定域性、實在性、自由意志三者不可得兼。
對此，貝爾本人說道：
「有一種方式可以避免超光速影響和遠距離的幽靈作用。但是這種方式假定了絕對的決定論，以及自由意志的完全喪失。如果假設這個世界是超級決定論的……我們所堅信的，我們可以自由選擇來做這個實驗而不是另一個實驗，這些都是絕對事先註定的。包括實驗者從若干測試方法中選擇其一的『自主決定』也是如此。這樣一來，我們面臨的困難就消失了，根本就不需要超光速的影響，來『通知』粒子A到底粒子B發生了什麼，因為整個宇宙，包括粒子A，事先就已經『知道』B將要發生了什麼了。」
[1] Alice 和 Bob 是兩個在現代物理學中的傳奇人物，幾乎每一個思想實驗中需要有人做出觀測，都會把他倆請出來干這件事，因而他們在理論物理界大名鼎鼎，他們的地位，就相當於你們數學應用題中的「小紅」和「小明」。離開了小紅和小明，你們的數學課就沒法上了。同樣地，離開了Alice和Bob，科學家們就不會思考了……
[2] 在觀看花樣滑冰的時候，角動量守恆體現的最完全了，我們一起曾經討論過好幾次了，這裡我不再詳細說明。 [3] 這裡的「獨立」，和兩個粒子狀態的相關性是不同的意思。顯然，這兩個粒子的狀態是相關的（互相相反），它們的相關性是在產生它們的事件中決定的。但是我們說它們是獨立的，意思是指兩個粒子一旦產生，就各自不受對方影響，它們後面的狀態變化是獨立的，不會再對另外一個粒子產生影響。 [4] 嚴格說，A和B之間可以存在各種相互影響，但是這種影響的傳播速度是有限的，當它們距離足夠遠，那麼我們在測量的時候，它們的的作用就需要很長的時間才能被對方「感受」到，因而實際上不存在影響。 [5] 這裡的不同，會在AB兩者本別觀察一對不對易量的時候表現出來：比如說觀察A的某個力學量a，然後觀察B的某個與a不對易的力學量b。如果我們先觀察A的力學量a，A的觀察導致雙方同時坍縮至a的一個本徵態，而a的本徵態卻意味著完全不確定的b。此時我們再觀察B的b時，其相關性就完全變了。 [6] 應該指出的是，做這樣的實驗並不簡單。如何製造一對糾纏粒子並且保持它們的糾纏狀態不被破壞直至觀測，這是一件要求很高的事情。同時如何保證實驗過程中不存在任何的漏洞也並不簡單，這就是為何經歷了好幾次實驗，人們才逐漸相信實驗結論的有效性。 [7]我們知道，量子力學中的非定域影響並不能傳遞任何信息，因而它並不違背相對論，也不違背因果律。但是非定域的實在論卻可以實實在在產生了瞬時的信息傳遞，因為一個有效的隱變數理論是應該能夠描述粒子的確定狀態的，由於兩個粒子間的瞬時影響，可以通過粒子的狀態變化，進行信息傳遞。這種信息的瞬時傳遞在相對論中就可以導致結果先於原因發生、穿越到過去阻止自己出生的荒謬情況。推薦閱讀：