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Quantum Information 2

03-14

接下來我們來講講量子力學衍生出有趣而又重要的性質，他們是：

  1. 不確定性原理
  2. 量子糾纏理論
  3. 量子不可克隆定理

Heisenberg Uncertainty principle

1927年海森堡在玻爾等人建立的量子理論下求解諧振子模型，他發現這個模型的坐標與動量有一個特別的關係，即他們對易關係是不恆為0的。根據量子力學的原理可知，如果要同時測量兩個物理量，就必須需要考慮兩個量測量的不確定度為多少。

對於測量算符A與B

egin{equation} leftlangle Delta A ight angle^2 =leftlanglepsi| A^2|psi ight angle-leftlangle psi| A|psi ight angle^2 end{equation}

若我們定義對易

egin{equation} left[A,B ight]=AB-BA end{equation}

便可以容易推出

egin{equation} leftlangle Delta A ight angle^2leftlangle Delta B ight angle^2geleft(frac{1}{2i}leftlangleleft[A,B ight] ight angle ight) ^2 end{equation}

也就是說只要A與B不對易便不能同時準確測量。

不確定性定理是一個非常有趣的現象，但也導致許多物理測量受到理論上的限制。所以為了提高它在一個物理量上的準確度，實驗室製備了壓縮態。

壓縮態在XY相圖上的的Wigner 概率密度分布

如果態可以表示為

egin{equation} |alpha,xi angle=S(xi)D(alpha)|0 angle end{equation}

其中 xi=re^{i heta} 是耦合因子

壓縮算符 S(xi)=exp[frac{1}{2}(xi^*a^2-xi(a^dagger)^2)]

真空態位移算符 D(alpha)=exp[alpha a^dagger-alpha^*a]

以及

egin{equation} leftlangle a ight angle= langle alpha,xi|a|alpha,xi angle=langle 0|D^dagger(alpha)S^dagger(xi)aS(xi)D(alpha)|0 angle=alphacosh r-alpha^ast e^{i heta}sinh r end{equation}

和

egin{equation} leftlangle a^2 ight angle=alpha^2cosh^2 r-(alpha^ast)^2 e^{2i heta}sinh^2 r-2|alpha|^2e^{i heta}sinh rcosh r-e^{i heta}sinh rcosh r end{equation}

我們可以推導得

egin{equation} Delta Y_1^2=leftlangle Y_1^2 ight angle-leftlangle Y_1 ight angle^2quad Y_1=frac{1}{2}(ae^{-i heta/2}+a^dagger e^{i heta/2})quad Y_2=frac{1}{2i}(ae^{-i heta/2}-a^dagger e^{i heta/2}) end{equation}

egin{equation} Delta Y_1^2=frac{1}{4}leftlangle (ae^{-i heta/2}+a^dagger e^{i heta/2})^2 ight angle -frac{1}{4}(langle ae^{-i heta/2}+a^dagger e^{i heta/2} angle )^2=frac{1}{4}e^{-2r} end{equation}

和

egin{equation} Delta Y_2^2=frac{1}{4}e^{2r} end{equation}

壓縮態也是量子光學與原子與分子學中重要的概念，通過壓縮態的製備，還可以製備各種量子計算所用的量子門以及各種糾纏態。壓縮態是由光子數為0的數態演化而來，具有非經典效應，所以檢測壓縮態是間接測量的。

壓縮態泵浦光應用在LIGO光學示意圖

壓縮態的利用非常廣泛，甚至在 LIGO ^{[1]} 引力波的測量上都有其身影。引力波由於其信號微弱，有極大的環境干擾，所以在用激光臂長變化測量上都非常注重儀器本身的誤差，所以這種固有的不確定性要盡量消除，所以需要在所需測量的量上壓縮，以此減少不確定度。

Quantum Entanglement

量子糾纏理論作為量子隱形傳態和量子測量都有巨大意義。量子糾纏在量子力學成立之初就已經被提出研究。最著名便是1935年愛因斯坦與其同事提出了EPR佯謬，本作為超光速傳態的悖論卻成為了量子力學重要性質之一。量子糾纏是量子態相互關聯，是不同於經典理論最神奇的量子性質，薛定諤貓態的測量一般也是通過對一個態的測量來進行另一個態的預測來說明的。

我們知道，如果兩粒子關聯以後可以寫成這樣的直積態

egin{equation} |psi angle =frac{1}{sqrt{2}}(|0,0 angle +|1,1 angle) end{equation}

這說明如果我們測的第一個粒子的態為0，那麼不管另外一個粒子在多遠處都能夠在測得第一個粒子的同時也坍縮。也就是說我們可以超光速且不通過媒介的方式決定一個粒子的態。雖然當我們在遠處再次測量會再次影響糾纏態，所以超光速傳輸信息仍然不可受用。然而這種無媒介的傳輸都使得信息傳輸更加的安全保密。而對於薛定諤的貓態，如果用 |alpha angle 表示活貓， |-alpha angle 表示死貓，然後通過與粒子自旋糾纏，這樣當我們測得自旋方向便可知道貓的死活態。

egin{equation} |psi angle =frac{1}{sqrt{2}}left( |uparrow angleigotimes|alpha angle +|downarrow angleigotimes|-alpha angle ight) end{equation}

通過這種方式我們可以測量一個態間接測量出另外一個態，還可以拓展到宏觀可觀測的物體上去，以此我們能夠將微觀的特性投影宏觀以此直觀測量。

Quantum No-Cloning Theorem

克隆就是複製的意思，也就是說量子體系下無法將一個量子態完完全全的複製一遍卻不改變原先的量子態。量子不可克隆定理是量子加密的重要原理。其內容是一個未知的量子態不能夠被完全拷貝，其可以簡單反證。

假設 |alpha angle 是未知的量子態，有個物理過程可以完全拷貝它們，即

egin{equation} U(|alpha angle|0 angle)=|alpha angle|alpha angle end{equation}

egin{equation} U(|eta angle|0 angle)=|eta angle|eta angle end{equation}

那麼，對未知量子態 |gamma angle=|alpha angle+|eta angle

一方面

egin{equation} U(|gamma angle|0 angle)=U[|alpha angle+|eta angle]|0 angle=|alpha angle|alpha angle+|eta angle|eta angle end{equation}

另一方面

egin{equation} |gamma angle|gamma angle=|alpha angle|alpha angle+|eta angle|eta angle+|alpha angle|eta angle+|eta angle|alpha angle end{equation}

可見矛盾。這也就表明這樣的物理過程是不存在的。也就是說量子態是不可克隆的。

竊聽者竊聽的過程本質上就是對信息的測量過程，由於量子的特性，這種測量本身會導致信息重新打亂，導致不能夠攜帶任何信息。

Reference

【1】Abbott B P, Abbott R, Abbott T D, et al. Observation of gravitational waves from a binary black hole merger[J]. Physical review letters, 2016, 116(6): 061102.


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