在量子力學中時間具有特殊性嗎？

最近在一個問題如何理解路徑積分（path integral）？中，有人提問到說

在量子力學

中時間相對其他空間維度是否具有特殊性？

我在回答「如何理解路徑積分（path integral）？「中做了簡單的闡述。這裡給一些稍微詳細一些的介紹。

動力學演化

我們知道，在非相對論量子力學中時間是具有特殊性的，具體體現在非相對論的薛定諤方程上：

。薛定諤方程告訴我們，不同時刻的波函數不是獨立的。而且只有同一時刻的波函數才能作為概率幅滿足疊加原理和歸一性。當然，由於時間在非相對論理論中具有特殊性，這裡的特殊性也無足為奇。

在相對論量子力學中（如量子場論），我們希望有洛倫茲不變形式的動力學演化方程。最簡單的方法是用原時 來取代時間 。相應的動力學演化方程為：

當然，這個方程有兩個問題：

1. 所有的動量分量 都包含相互作用，因此所有時空方向 都是動態向前推進的；
2. 原時的定義在 時具有奇異性；

鑒於這兩個問題，實際上我們可以取洛倫茲協變形式的薛定諤方程：

當然，這個方程意味著，等時薛定諤方程雖然仍然成立，卻不再唯一決定態的演化。

本徵方程

不同動力學演化還可以從本徵方程上看出來，這裡的本徵方程是指不含時薛定諤方程。本徵方程決定了波函數在初始曲面上（或 ）的分布。考慮平面波方程解。不含時的非相對論薛定諤方程作：

這個方程的相對論版本為：

當然，在相對論中其他分量也存在相應的方程，即：

此時需要同時對角化4個算符，用動量來標記態是困難的。比較好的一個辦法是把相互作用放在質量算符中，而用4-速度 來標記態。這樣以來，本徵方程可以寫作：

結論：

在量子力學中，時間不具有特殊性，它只是標記了動力學演化的方向。但洛倫茲協變形式的動力學演化具有一定的複雜性。

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