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MIT—微分方程筆記01 圖解法

03-08

第01講 常微分方程的圖解法：方向場、積分曲線

Geometric Methods：Direction Fields, Integral Curves

[微分方程][MIT]麻省理工公開課 (1)?

v.youku.com圖標

這是MIT公開課微分方程（2003）的課程筆記，儘管比較老了，但是還是非常經典的，至少其它學校的課程或者教材中，很少從圖解法開始講起。我覺得這依舊反應了MIT給工科開設數學課秉持的「一定要讓娃學會使用數學工具」的理念，絕對不從反直覺的抽象層面入手，一定是怎麼實用怎麼來。

Arthur Mattuck教授是MIT數學系的前系主任，授課風格風趣幽默，有很多人通過公開課認識並喜歡上了這個老頭。之前很多人詢問他出版的書，到目前為止我只看到過一本《Introduction to Analysis》。至於課本，貌似MIT用的教材是C. Henry Edwards和David E. Penney編寫的《Elementary Differential Equations》，2008年出到第六版了，他們還出過內容接近的另一本書，就是《Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling》，相較之下，後者進入數值計算非常早，其實兩書內容相互覆蓋地方還是挺多的，清華大學出版社出過後一本書的翻譯版。老外寫的書給人感覺就是講得特別細，前幾章恨不得跳著看，應用例題也覺得巨容易，但是越到後面不但難度加深，而且延伸甚廣，能保質保量地全部啃下來肯定獲益匪淺。此外，Edwards和Penney也出過一本《Differential Equations and Linear Algebra》，08年出到第三版，和Gilbert Strang在14年出版的書同名，基本內容也有些類似，只是G.Strang在矩陣方面運轉得更圓熟一些，總有天外飛仙般的理解側漏出來，不過不知道是不是用離散目光看世界的時間太長了，G.Strang做的圖都非常渣，這點上完全沒法跟前面提到的書相比，有時候一張圖也勝過千言萬語。

個人整理，水平有限，如有謬誤，還請指正。

  • 圖解法

大家在高中、大學微積分課程和助教的預習課完成之後，應該已經具備了建模和微積分的基本知識，了解了什麼是微分方程，並且學會了求解變數分離型的微分方程。

這裡要介紹的是一階常微分方程，其一般形式是： [y = f(x,y)] 。例如 [y = frac{x}{y}] ， [y = x - {y^2}] ， [y = y - {x^2}] ，第一個方程可以通過分離變數的方法求解，第二個和第三個則不行，而後兩者儘管看起來很類似，但是也是完全不同的類型，第三個方程很容易解，但是第二個方程（ [y = x - {y^2}] ）無法用初等函數表示，即在某種程度上來說是不可解的。

第一講介紹幾何法（圖解法），而幾何法可以處理這類不可解的微分方程。通常，我們熟悉的是解析法，即對方程 [y = f(x,y)] ，求出其表達式 [{y_1}(x)] 。而圖解法或者幾何法是通過微分方程繪製出「方向場」，而得到的解為「積分曲線」。

圖解法就是在坐標平面上的每一點用「線素」來標示出該點的斜率，而（x，y）點的斜率值就是 [y = f(x,y)] 。而積分曲線在其曲線的每個點上都和「線素」相切，它也就是微分方程解函數的圖像。

解析法中寫出微分方程等價於幾何法中畫出方向場，而解析法中求出微分方程的解等價於幾何法中作出積分曲線圖像。解函數滿足微分方程，即將該函數代入微分方程而等式成立， [y(x) = f(x,{y_1}(x))] ，而積分曲線在（x1，y1）點的斜率就是方向場的斜率 [f({x_1},{y_1}({x_1}))]。因此解析和圖解是等價的。

  • 方向場，積分曲線

計算機繪製方向場，首先等距的設定一系列點，然後計算每一點的斜率，最後在每一點繪製「線素」。

而人工繪製方向場，首先取某個固定斜率值C，然後計算並繪製 [f(x,y) = C] ，這就是所謂的等值線，或者在微分方程中稱之為等斜線（isocline）。隨後在等斜線上畫出「線素」，線素的斜率即為C。

例1： [y = - frac{x}{y}] 。

求得等斜線為 [y = - frac{1}{C}x] 。注意到每個線素的斜率C和等斜線的斜率 [ - frac{1}{C}] 為負倒數關係，而在坐標平面上斜率互為負倒數意味著兩者垂直，因此這裡線素始終垂直於等斜線。本例中能夠處處和線素相切的積分曲線是圓。

應用分離變數法可以求得該微分方程的解為 [{x^2} + {y^2} = C_1^2] 。而所得的解函數應為 [y = sqrt {C_1^2 - {x^2}} ] 。這只是一半的解，而另一半是根號前符號取負。注意到這個函數的定義域只有很小的一部分，而不是整個X軸，而這一點並不是觀察微分方程就可以得到的，只有得到表達式才能知曉。

例2： [y = 1 + x - y] 。

求得等斜線為 [y = x + (1 - C)] 。這是斜率相同，但截距不同的一組平行線。其中比較特別的就是 [y = x] ，它既是等斜線，同時又滿足線素的斜率與此直線的斜率相等，因此每一點上線素和等斜線重合，所以[y = x]也是積分曲線。

注意到在C=2和C=0兩條之間的區域，當解曲線進入這個區域後就再也出不去了，解函數無法逃逸。另一個需要注意的要點是，積分曲線永遠不會相交。如果兩曲線相交的話，則在交點處就會有兩條切線、兩個斜率，這與微分方程不符。因此進入此區域的曲線，無法逃逸也無法相交，只能夠互相靠近，朝向y=x的直線靠攏。因此，即使沒有解析式也可以通過圖像法了解到解函數的發展趨勢，即隨著x趨向於無窮，y趨向於x，而y=x本身也是微分方程的解。實際上，積分曲線不止不會相交，連相切都不會。這就是「存在與唯一性定理」的範疇，若f（x，y）在（x0，y0）的鄰域為連續函數，則通過點（x0，y0），微分方程 [y = f(x,y)] 有且僅有一個解。

例3： [xy = y - 1] 。

[ Rightarrow frac{1}{{y - 1}}dy = frac{1}{x}dx Rightarrow ln (y - 1) = ln x + c Rightarrow y = Cx + 1]

教授這裡馬虎了一下，他原來寫的方程是 [xy = 1 - y] ，這樣積分的時候就會差一個符號，而解函數就從~x變為了~ x^{-1} 。

解函數圖像是截距一定，但是斜率任意的一族直線。

看起來解曲線似乎相交於一點，但實際上，存在與唯一性定理要求微分方程寫成標準形式，即 [frac{{dy}}{{dx}} = frac{{y - 1}}{x}] ，該方程在x=0時無意義，即存在及唯一性定理不保證在x=0時成立（而事實上也是不成立的）。該定理不成立通常不是因為問題本身的複雜性，而是f(x,y)在空間中存在一些「壞點」，在該點上函數f(x,y)無意義。

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