單變數微積分-第5講-指數與對數函數求導

1. 指數函數

觀察上式，可以看到指數函數的導數是其自身再乘以一個極限值。

問題轉化成求M(a)。

這裡需要一個巧妙的假設，定義某個底為e，是的M(e)=1.這樣，

此時還不知道e的大小，先解釋e為什麼是存在的？

即無論底從何值取，都可以找到x=0處導數為1的底e,因此e是合理存在的。

2. 自然對數

為了解決指數函數的導數，首先引入自然對數。

下面是自然指數與自然對數的圖像，關於y=x是對稱的，指數函數恆大於0，對數函數定義域自然要求恆大於0。

2.1對數微分

要求自然對數微分，用隱函數求導，因為已經知道了自然指數函數的導數。

3求導任意指數函數的導數

方法一：

用e做底，

方法二：對數微分法

其實方法一和方法二原理是一致的。

舉例1：

舉例2：

上式提供了一個求e值的方式，當n取足夠大，這個極限值足夠接近e。