附錄 A 量子力學基礎 A.4 角動量

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本文由熱心網友翻譯自《An Introduction to Thermal Physics》，版權歸原書作者Daniel V. Schroeder 以及 Addison Wesley出版社所有。

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? Addison Wesley

? @Charge ， @Hey&amp;amp;amp;amp;amp;#39;u and @胡大師

除了位置，動量和能量外，我們可能還想知道一個粒子（相對於某個原點）的角動量。更具體地來講，我們可能想知道它的角動量矢量的大小 $|vec{L}|$ ，或等價的，角動量矢量大小的平方 $|vec{L}|^2$ 。此外，我們可能想知道三個角動量矢量的三個分量， $L_x$ ， $L_y$ 和 $L_z$ 。

與之前類似的，存在一些特殊的波函數，他們的一些特定變數是明確定義的。但是，不存在一個波函數，超過一個的 $L_x$ ， $L_y$ 或 $L_z$ 是明確定義的（除了所有三個組分都是0的平庸情況）。對於任何特定的波函數，我們最多只能指明 $|vec{L}|^2$ 的值，以及 $vec{L}$ 中的一個分量；通常我們把它稱作 $z$ 分量。

粒子的角動量僅決定了其波函數在球坐標中的角度依賴性，也即與角度變數 $heta$ 和 $phi$ 的依賴關係。具有確定角動量的波函數是依賴於這些變數的正弦函數。為了讓波函數是單值函數，當你沿著任何圓周走一圈時，這些正弦函數必須經過整數次的振蕩【1】。因此，只有某些「波長」的振蕩才被允許，這對應於角動量量化值。允許的 $|vec{L}|^2$ 值為 $l(l+1)hbar^2$ ，其中 $l$ 是任何的非負整數， $hbar$ 是 $h/2pi$ 的縮寫。對於任意的給定 $l$ ，允許的 $L_z$ 值（或 $L_x$ 或 $L_y$ ）為 $mhbar$ ，其中 $m$ 是 $-l$ 到 $l$ 的任何整數。圖A.13給出了一種可視化這些態的方法。

圖A.13 一個|vec{L}|和L_z良好定義的粒子擁有完全沒有沒有確定的L_x與L_y，因此我們可以用圓錐來表示角動量適量，這個圓錐表達了所有可能的L_x與L_y。圖中顯示了對於l=1和l=2所有可能的態。

對於有旋轉對稱性的問題，角動量是最重要的。經典情況下，角動量是守恆的。在量子力學中，旋轉對稱性意味著我們可以在找到確定能量波函數的基礎上，還可以讓這些波函數擁有確定的角動量。氫原子是一個重要的例子，其基態必定有 $|vec{L}|^2=0$ ，第一激發態（ $n = 2$ ）可以有 $|vec{L}|^2=0$ 或 $|vec{L}|^2=2hbar^2$ （也即 $l=0$ 或 $l=1$ ），依此類推。（氫原子的一般規則是 $l$ 必須小於決定能量的整數 $n$ 。便說說一句，我們把 $n$ ， $l$ 以及 $m$ 這樣的整數稱為量子數（quantum number）。）

分子的旋轉

角動量在熱物理中的一個重要應用是氣體中分子的旋轉。對該問題的分析可以方便地分為三種情況：單原子，雙原子和多原子分子。

單原子分子（即單個原子）實際上沒有任何旋轉態。原子中的電子的確可以攜帶角動量，並且這個角動量可以有各種取向（如果原子被隔離，則所有取向都具有相同的能量）。但如果要改變電子角動量的大小，則需要將它們置於激發態，這通常需要幾個電子伏特的能量，多於常溫下原子可獲得的能量。在任何情況下，這些激發態被分類為電子態，而不是分子旋轉態。此外，原子核也可以擁有內稟的角動量（「自旋」），它可以有不同的方向，但改變其大小通常需要巨大的能量，通常為100,000 eV。

更一般地說，當我們談論分子的旋轉狀態時，我們既不對單個原子核的旋轉感興趣，也不對激發的電子態感興趣。因此，將原子核當做質點，並完全忽略僅僅「湊湊熱鬧」的電子是合適的。在整個討論過程中，我將採用這兩個簡化。

在雙原子分子中，將兩個原子結合在一起的鍵通常非常強，所以我們可以認為兩個原子核由一個剛性無質量棒連接在一起。讓我們假設這個「啞鈴」的質心處於靜止狀態（也就是說，我們忽略任何平移運動）。在經典的角度，這個系統在空間中僅取決於兩個在球坐標中指向其中一個原子核的角度， $heta$ 和 $phi$ 。（第二個原子核的位置也隨之確定，在於第一個核相對的一側。）分子的能量由角動量矢量確定，此時通常稱為 $vec{J}$ （而不是 $vec{L}$ ）。更確切地說，能量只是通常的旋轉動能，

$E_{mathrm{rot}}=frac{|vec{J}|^2}{2I} \`mathrm{A}.20$

這裡的 $I$ 是關於質心的轉動慣量（也即， $I=m_1 r_1^2+m_2r_2^2$ ，這裡的 $m_i$ 和 $r_i$ 分別是第 $i$ 個原子的質量和到旋轉軸的距離）。

站在量子力學的角度，這個系統的波函??數只是 $heta$ 和 $phi$ 的函數。因此，指定角動量狀態（ $|vec{J}|^2$ 和 $J_z$ ）足以確定整個波函數，並且對分子而言，獨立波函數的數目與不同的角動量態數目完全一致。此外，根據公式A.20， $|vec{J}|^2$ 的值確定了分子的旋轉能量，允許的能量為：

$E_{mathrm{rot}}=frac{j(j+1)hbar^2}{2I} \`mathrm{A}.21$

這裡的 $j$ 基本上與上面提到的量子數 $l$ 一致，所允許的值為0，1，2，....。每一個能級簡併度等於這個 $j$ 值允許的不同 $J_z$ 值的數量，即 $2j + 1$ 。圖6.6顯示了一個旋轉雙原子分子的能級圖。

然而，我剛才說的內容僅適用於由可區分的原子組成的雙原子分子：CO，或CN，或甚至兩個氫原子由不同的同位素組成的 $mathrm{H_2}$ 。如果兩個原子不可區分，那麼只有一半的不同狀態，因為兩個原子互相交換不會改變最終的狀態。基本上這意味著方程A.21中的一半j值是允許的，一半不是;；習題6.30解釋了如何確定哪一半是允許的，哪一半是不被允許的。

對任何雙原子分子，旋轉能級之間的間距與 $hbar^2/2I$ 成正比。當轉動慣量很小時，這個數量會很大，但即使是最小的分子，它也會小於1/100 eV。因此，一般來說，分子的旋轉能級的間距比振動能級的間距要密集得多（如圖A.14所示）。由於 $kT gg hbar^2/2I$ ，因此室溫時，對於幾乎全部的分子，旋轉「自由度」通常會蘊含大量的熱能。

圖A.14 圖A.11顯示的N2光譜在波長近似為370-390nm範圍的放大圖。對每一個震動能級，都對應許多兼并的旋轉能級，因此每一個寬線其實是由許多窄線形成的一個「帶」。

線性多原子分子，如 $mathrm{CO_2}$ ，類似於雙原子分子，因為其空間的依賴關係可以僅用兩個角度來指定。因此，這種分子的旋轉能量再次公式A.21給出。

然而，大多數多原子分子更加複雜。例如， $mathrm{H_2O}$ 分子的取向並不能僅由一個氫原子相對於質心的位置來確定；即使保持氫原子固定，氧原子仍然可以在一個小圓圈中移動。因此，要指定非線性多原子分子的方向，我們需要第三個角度。這意味著，旋轉波函數現在依賴於三個變數而不是兩個變數，因此允許的所有可能狀態的總數大於雙原子分子的總數。能級結構通常非常複雜，因為相對於三個可能的旋轉軸的轉動慣量通常是互不相同的。在仍有許多旋轉態可用的較高溫度下，這些態的數量可以看做三個「自由度」。在這一重要事實之外的針對多原子分子的詳細討論超越了本書的範圍*。

自旋

除了粒子由於空間運動產生的角動量之外，在量子力學中，粒子還可以具有內部或「內稟」的角動量，稱為自旋（spin）。有時，如果你觀察的足夠仔細，你會發現粒子具有內部結構，以及其自旋僅僅是其組分的運動結果。但對於像電子和光子這樣的「基本」粒子，最好直接將自旋視為一種無法用內部結構描述的內稟角動量。

與其他形式的角動量一樣，自旋角動量的大小只能有一些特定的值： $sqrt{s(s+1)}hbar$ ，這裡的 $s$ 是一個與 $l$ 類似的量子數。然而，事實證明 $s$ 不必是整數；它也可以是是半整數，即1/2或3/2或5/2等。每種基本粒子有它自己的 $s$ 值，且一勞永逸地固定。對於電子，質子，中子和中微子，s = 1/2；對於光子，s = 1。對於複合粒子，有各種規則來從組分的自旋和軌道角動量確定總自旋；例如，基態的氦-4原子 s=0，因為其組成成分的自旋相互抵消。

（順便說一句，當系統的角動量來自軌道運動和自旋的組合時，或者當我們不想知道哪一個是哪一個的時候，我們通常稱它為 $J$ ，並使用量子數 $j$ 而不是 $l$ 或 $s$ 。）

給定一個粒子的 $s$ 值，其自旋角動量沿z軸的分量（或任意軸）依然有幾個可能的不同值。與軌道角動量一樣，這些值的以整數的間隔從 $s hbar$ 下降到 $-s hbar$ 。例如，如果s = 1/2，角動量的z分量可以是 $+ hbar/2$ 或 $- hbar/2$ 。如果s = 3/2，z分量則有四個可能的值： $+3 hbar/2$ ， $+ hbar/2$ ， $- hbar/2$ 以及 $-3 hbar/2$ 。對於無質量粒子，對這個規則有一個修正：只有取極值的z分量是被允許的，例如，光子為 $pm hbar$ （s = 1），引力子為 $pm2 hbar$ （s = 2）。

旋轉的帶電粒子就像一個小磁棒，它的強度和朝向由磁矩矢量 $vec{mu}$ 刻畫。對於宏觀的電流迴路， $|vec{mu}|$ 等於電流與迴路包圍區域面積的乘積，而 $vec{mu}$ 的方向由右手定則確定。但是，這個定義對於微觀磁體來說並不是很有用，所以最好直接根據粒子在磁場中扭曲所需的能量來定義 $vec{mu}$ 。外部磁場 $vec{B}$ 與 $vec{mu}$ 平行時，能量最低，反平行時最高；如果我們令 $vec{mu}$ 和 $vec{B}$ 垂直時的能量為零，那麼通用公式為：