張拉整體結構簡介（三）

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這一篇中我們說說張拉整體結構的靜力平衡。

我們需要作一些假設：

1. 有兩種桿件，bar和cable；
2. 不考慮彎矩和剪力，內力只有軸力；
3. member之間全部都是鉸接；
4. 外力只作用在member連接的節點上。

有了這些假設，平衡的基本道理其實很簡單，就是每個節點的來自內力的合力與作用其上的外力大小相等，方向相反。要做的就是把內力按它在空間中的位置方向，分解到 , 和 方向上。

圖1. 節點 與其他三個節點 , , 相連，並有外力 作用其上

假設三維空間中有4個節點，節點 與其他三個節點 , , 相連，並有外力 作用其上，如圖1所示。我們把它當作一個張拉整體結構的一小部分來分析。連接節點的桿件是什麼類型不重要。

因為平衡時候節點 受到的合力應該為 ，所以我們有

（1）

其中 表示從節點 指向節點 的內力，其他符號類似。公式（1）可以用這些節點在空間中的坐標表示。如果我們用節點 的坐標減去節點 的坐標，就會得到一個從節點 指向節點 的向量，大小是兩個節點的距離。這個向量的方向剛好與 一致，只是大小不同， 的大小是Member 的內力大小。所以如果我們把坐標差向量normalize成長度為1，再乘以內力的大小，就會得到 ：

這裡我們用 來表示一個列向量， 代表Member 的內力大小， 是Member 的長度。我們把它代入公式（1），得到

通常我們對內力的大小還有個符號規定：拉力用正號，壓力用負號。現在假設圖1中都是cable，所有都是拉力。但是如果節點 是受拉力，那麼這個力是從節點 指向節點 的，剛好與我們現在的方向相反。所以根據符號規定，我們需要把上式添加負號：

接下來我們把上式整理成矩陣的形式。有兩種方式可以走。第一種是把桿件長與坐標差放在一起，就會得到：

我們看到矩陣里的元素就是各個桿件向不同坐標軸投影的角度的cos值。矩陣的每一行代表連接到節點 的桿件向某一方向的投影，矩陣的每一列是某一個桿件的所有方向的投影角。如果考慮整個 維空間中的張拉整體結構，有 個節點， 個桿件，那麼我們就會得到一個 的矩陣，其中每個節點都對應著 行，這個矩陣長這樣：

這個式子顯示了對Member 的情況。對應Member 的這一列上，只有那些對應節點 和 的行才有可能有非零值。我們把它抽象地寫成：

（3）

其中 叫equilibrium matrix， 是所有內力構成的向量， 是外力在各方向分量的向量。公式（3）就是張拉整體結構的平衡方程。

對第二種整理方式，我們把內力除以桿件長看作一個量，整理到一起，這個量起名叫力密度（force density）：

類似上面，我們可以把所有的節點和桿件都考慮進來，得到下面的方程：

（4）

其中， 與 的結構是一樣的，只是值不同，它叫geometric matrix， 是所有桿件的force densities構成的向量。力密度法是tension structures找型（form-finding）的一種重要方法。數學離散幾何有個分支叫rigidity theory，它主要研究給定一些幾何約束，滿足這些約束的解是否唯一的問題。張拉整體是其中的一個重要研究對象。在rigidity theory里，force density叫stress，平衡方程通常表示成：

（5）

其中 叫rigidity matrix，它是geometric matrix的轉置。