量子力學假設二

02-17

2.1 Quantum measurement

封閉量子系統的演變遵從酉演變。但如果實驗物理學家利用實驗設備（另外的物理系統）來觀察本來封閉的量子系統，這樣兩個系統的交互使得本來封閉的、遵從酉演變的量子系統不再封閉，這個時候該系統發生了什麼？Postulate 3提供一種描述對量子系統測量的方法。

Postulate 3: Quantum measurements are described by a collection $left{ M_m ight}$ of measurement operators. These are operators acting on the state space of the system being measured. The index m refers to the measurement outcomes that may occur in the experiment. If the state of the quantum system is $|psi>$ immediately before the measurement then the probability that result m occurs is given by $p(m)=<psi|M_m^dagger M_m|psi>$ , and the state of the system after the measurement is
$frac {M_m |psi>}{sqrt{<psi| M^dagger_m M_m|psi>}}$ . The measurement operators satisfy the completeness equation, $sum_m M^dagger_m M_m=I$ .The completeness equation expresses the fact that probabilities sum to one: $1=sum_m p(m)=sum_m <psi|M^dagger_m M_m|psi>$ . This equation being satisfied for all $|psi>$ is equivalent to the completeness equation.

舉例：在計算基失上對Qubit測量是最簡單的測量形式，會有兩個測量算符對應的兩個測量結果。 $M_0=|0><0|,M_1=|1><1|.$ 觀察可發現，兩個測量算符均是厄米算符( $M_0^dagger=M_0$ ),且 $M_0^2=M_0,M_1^2=M_1$ .並遵從完備性方程: $I=sum_m M_m^dagger M_m =M_0^dagger M_0+M_1^dagger M_1=M_0^2+M_1^2=M_0+M_1=sum_i |i><i|=I$

設被測量態為 $|psi>=a|0>+b|1>$ .

被 $M_0$ 測量後態 $|psi>$ 變為： $frac{M_0 |psi>}{left| a ight|}=frac{|0><0|(a|0>+b|1>)}{left| a ight|}=frac{a}{left| a ight|}|0>=|0>$

被 $M_1$ 測量後態 $|psi>$ 變為： $frac{M_1 |psi>}{left| b ight|}=frac{|1><1|(a|0>+b|1>)}{left| b ight|}=frac{b}{left| b ight|}|0>=|1>$

其中係數 $frac{a}{left| a ight|},frac{b}{left| b ight|}$ 都是模為1的， $left| frac{a}{left| a ight|} ight|^2=frac{a^*}{left| a ight|}cdot frac{a}{left| a ight|}=frac{left| a ight|^2}{left| a ight|^2}=1$ .

分析

測量設備是量子力學系統，被測量子系統與測量設備一起構成一個大的、封閉的量子系統（宇宙）的一部分，根據假設2酉運算元繪景，這個大的、封閉的量子系統遵從酉演化。

應用： apply Postulate 3 to elementary but important measurement scenario.

2.2 Distinguishing quantum states

經典世界中物體的各種態是很容易區分的，比如一枚硬幣的兩個面。但在量子力學情境下確複雜的多。

非正交的量子態不可區分！

假設情景如下：有Alice, Bob雙方共知的一個態集 $left{ |psi _i> ight}$ , $(1 leq ileq n)$ Alice 從態集中取一個量子態 $|psi_i>$ 並將之發送給Bob,在接到這個態之後Bob的任務是識別出這個態下標i.

一、如果態集中所有態 $<psi_i|psi_j>=delta_{ij}$ ,即都是單位正交的。Bob可以這麼來做：

對每一個可能的取值 $i$ 定義一個測量算符 $M_iequiv|psi_i><psi_i|$ ，故為厄米算符
再定義一個額外的測量算符 $M_0= sqrt{I-sum_{i e0}|psi_i><psi_i|}$ ,其中根號下為正定算符。
$M_0,M_i 滿足 sum_i M^dagger _i M_i =I$ ,即滿足完備方程。
用 $M_i$ 去測量態 $|psi_i>$ 得到 $p(i)=<psi_i|M_i|psi_i>=1$

二、如果態集中 $left{ |psi _i> ight}$ 的態並非單位正交的

The different classes of measurement

2.3 Projective measurements投影測量: an special case of the general measurement Postulate 3.

Projective measurements: A projective measurement is described by an observable(投影測量用可觀測量來描繪), a Hermitian operator on the state space of the system being observed(此可觀測量是作用在被觀測量子物理系統態空間上的厄米算符)。The observable has a spectral decomposition, $M=sum_m mP_m$ ,其中 $P_m$ is projector onto the eigenspace of M with eigenvalue m. The possible outcomes of the measurement correspond to the eigenvalues, m, of the observable. Upon measuring the state $|psi>$ , the probability of getting result m is given by $p(m) =<psi|P_m|psi>$ . given that outcome m occurred, the state of the quantum system immediately after the measurement is $frac{P_m|psi>}{sqrt{p(m)}}=frac{P_m|psi>}{sqrt{<psi|P_m|psi>}}=frac{P_m|psi>}{sqrt{<psi|P_M^dagger P_m|psi>}}$ .
投影算符(projector)是比較重要的一類厄米算符
$P equiv sum_i^k{|i><i|}$ is a projector on to the subspace W. 設W是k維子空間（d維向量空間V的），|1>,...,|k>,...,|d>是V的單位正交基，故|1>,...,|k>是W的單位正交基。|i><i|是厄米的，故P也是厄米的。 $P^dagger equiv P$ ;經常用向量空間P來簡稱向量空間上的投影子空間P。
orthogonal complement(投影算符的正交補)
$Q equiv I-P$ ,It is easy to see that Q is a projector onto the vector space spanned by |k+1>,...|d>;

投影測量可以作為Postulate 3的特例來理解。假如假設3中的測量算符 $M$ 滿足下面的兩條附加限制，則假設3定義的一般測量變為上面的投影測量。

算符完備性關係: $sum_m M_m^dagger M_m=I$
$M_m$ 是正交投影算符(orthogonal projector)，也即 $M_m$ 是厄米算符 $M_mM_{m}=delta_{m,m}M_m$

投影算符的重要性質

1.投影測量的平均值

The expectation, average, or mean of a random variable X is defined by $E(X) equiv sum_m p(m)m=sum_mm<psi|P_m|psi>=<psi| sum_mmP_m|psi>=<psi|M|psi>$

可觀測量 $M$ 的平均值經常被簡寫為 $<M>equiv<psi|M|psi>$ .

2.投影測量的方差The variance of a random variable X is defined by the expression: $var(X)equiv E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-E(X)^2$ .

$Delta(M) equiv sqrt{var(X)}$ 是為標準差，即: $[Delta (X)]^2= var(X)equiv E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-E(X)^2=<M^2>-<M>^2$ 刻畫隨機變數在其中心位置附近散布程度的數字特徵。

設隨機變數 $X$ 有均值 $a=E(X)$ .實驗中， $X$ 取的值當然不一定恰好是 $a$ ,而會有所偏離。偏離的量 $X-a$ 本身也是隨機的（因為 $X$ 是隨機的）.我們要取這個偏離 $X-a$ 的某種有代表性的數字，來刻畫這個偏離即散布的程度大小。我們不能就取 $X-a$ 的平均值，因為 $E(X-a)=E(X)-a=a-a=0$ ,正負偏離彼此抵消了。一種解決辦法是取 $X-a$ 的絕對值 $left| X-a ight|$ 以消除符號，再取其均值 $E(left| X-a ight|)$ ,作為變數 $X$ 取值的散布程度的數字特徵之一。但是，由於絕對值在數學上處理甚不方便，人們就考慮了另一種做法：先把 $X-a$ 平方以消去符號，然後取其均值得 $E(X-a)^2$ ,把它作為 $X$ 取值散布度的衡量.這個量就叫 $X$ 的「方差」（「差」的「方」） $Var(X)=E(X-E(X))^2=E[X^2-2XE(X)+E(X)^2]=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2$

標準差是在可觀測量M上所能取得的測量值的散布程度的衡量。特別的，如果執行大量的實驗，在態失 $|psi>$ 上執行可觀測量M，觀測值的標準差 $Delta(M)$ 由公式 $Delta (M)=sqrt{<M^2>-<M>^2}$ 決定。

舉例：當在相應本徵值為m的可觀測量 $M$ 的本徵態 $|psi>$ 上進行測量M，那麼可觀測量 $M$ 的平均觀測值是多少？可觀測量 $M$ 的觀測值的標準差又是多少？

$Delta(M)^2=<M^2>-<M>^2=m^2-m^2=0$

除了使用一個可觀測量M來描繪一個投影測量，日常中更常見的是下面兩種說法：

列出一個正交投影運算元 $P_m$ 完全集: $sum_mP_m=I$ 且 $P_mP_{m}=delta_{mm}P_m$ ,其實這個方程中隱含了可觀測量 $M=sum_mmP_m$

2.在單位正交基上進行測量, "measure in a basis $|m>$ ,where $|m>$ form an orthonormal basis"這句話意味著用投影算符 $P_m=|m><m|$ 執行投影測量。

舉例：在單量子比特執行投影測量

1.可觀測量 $E$ 的測量: $E$ has eigenvalues +1 and -1 with corresponding eigenvectors $|0>, |1>$ .例如在態 $|psi>=(|0>+|1>)/sqrt{2}$ 上執行 $Z$ 的測量。得到+1的概率為 $p(+1)=<psi|0><0|psi>=1/2$ ; $p(-1)=<psi|1><1|psi>=1/2$ ;

2.更一般的情況， $vec v cdot vec sigma=v_1sigma_1+v_2sigma_2+v_3sigma_3$ 為可觀測量，其物理意義為測量 $vec v$ 軸的自旋。試推導此可觀測量 $vec v cdot vec sigma$ (繞 $vec v$ 軸自旋)的本徵值和對應的本徵空間。 $lambda_1=1 ,lambda_2=-1$ ; $P_1=(I+vec v cdot vec sigma)/2; P_2=(I-vec v cdot vec sigma)/2$

The Heisenberg uncertainty principle

2.4 POVM測量

定義：a positive-operator valued measure (POVM) is a measure whose values are non-negative self-adjoint operators on a Hilbert space, and whose integral is the identity operator.

假設3涉及兩部分內容，首先是定義了各個可能測量輸出的概率，第二個是規定了測量之後系統的態。

A POVM(Positive Operator Valued Measure):假設一個由測量算符 $E_m$ 表示的測量作用於處在 $|psi>$ 態的量子系統上,得到結果 $m$ 的概率由公式 $p(m)=<psi|M_m^dagger M_m|psi>$ 給出。假設定義 $E_m equiv M_m^dagger M_m$ ,則 $E_m$ 為正定算符(P71練習2.25 Show that for any operator $A, A^dagger A$ is positive)；且 $sum_m E_m =I$ (由假設3 $sum_m M^dagger_m M_m=I$ ); $p(m)=<psi|E_m|psi>$ ;算符 $E_m$ 既是與測量相關的POVM元，完全集 $left{ E_m ight}$ 即為
a POVM

舉例：考慮一個由測量算符 $P_m$ 描述的投影測量，其中 $P_m$ 為投影運算元且滿足 $P_mP_{m}=delta_{mm}P_m$ and $sum_m P_m =I$ ; 此時的POVM元即為測量算符自身，因為 $E_m equiv P_m^dagger P_m=P_m$ ;可以作為一個定理，即: Any measurement where the measurement operators and the POVM elements coincide is a projective measurement.

設 $left{ E_m ight}$ 是隨便一個正定算符集合且積分為單位算符（ $sum_m E_m =I$ ）,則一定存在一個由算符集 $left{ M_m ight}$ 定義的測量，該測量由POVM表示。令 $M_m equiv sqrt{E_m}$ ，可推知定義了一個測量，該測量由POVM表示。 $sum_m M_m^dagger M_m=sum_m E_m=I$ ；

一般測量的算符 $M_m$ （假設3）:只需滿足一個條件 $sum _m M_m=I$
投影測量的運算元 $P_m$ (2.2.5):只需滿足兩個條件 $P_mP_{m}=delta_{mm}P_m$ and $sum_m P_m=I$
POVM測量的算符 $E_m$ :正定算符且積分為單位算符；

舉例：POVM用於區分非正交態.

$|psi_1>,|psi_2>$ , a POVM 包含三個元， $E_1,E_2,E_3$ .巧妙設計使得 $p(E_1)=<psi_1|E_1|psi_1>=0,p(E_2)=<psi_2|E_2|psi_2>=0$ ;施加POVM測量，如果實驗結果為 $E_1$ ，那麼初始態一定是 $|psi_2>$ ,如果實驗結果為 $E_2$ ,那麼初始態一定是 $|psi_1>$

Suppose a measurement is described by measurement operators $M_m$ ,there exist unitary operators $U_m$ such that $M_m =U_msqrt {E_m}$ ,where $E_m$ is the POVM associated to the measurement.

全局相位因子與相對相位因子

global phase factor 無可觀測差別因為 $<psi|e^{-i heta} M_m^dagger M_me^{i heta}|psi>=<psi|M_m^dagger M_m|psi>$ ,故 $e^{i heta}|psi>=|psi>$

relative phase factor: the phase factors may vary from amplitude to amplitude.