無限深勢箱中粒子的定態薛定諤方程

02-09

提要：解個粒子，箱中粒子。

雖然說呢，薛定諤方程解析出來也不見得有什麼用，但是解一解還是挺有意思的。

一個微觀粒子的運動狀態可以由一個關於位置 $q$ 和時間 $t$ 的波函數 $psi(q,t)$ 來描述。波函數通常是一個複函數（形如 $f+ig$ ），粒子在某一時刻出現在空間中的概率密度由波函數模的平方 $||psi||^2$ 或共軛波函數和原波函數的乘積 $ar{psi}psi$ 來描述。

下文提到的情況波函數都是實函數。

一個波函數滿足三個條件：

單值，就是一個自變數對應一個函數值。
連續，就是不間斷。
平方可積，就是說在區域 $D$ 內， $int_{D}||psi||^2dq=P$ ，且 $P$ 是有限常數。

通常要求波函數歸一化，即 $int_{D}||psi||^2dq=1$ 。通俗一點地說，就是概率和為1。

我們研究定態波函數，這樣， $psi(q,t)$ 可以分解為兩個獨立的函數 $psi(q,t)=psi(q)psi(t)$ 。代入一般形式的薛定諤方程，變一下形，就會成為定態薛定諤方程：

$-frac{h^2}{8pi^2m} abla^2psi+Vpsi=Epsi$

其中的 $abla^2$ 是拉普拉斯運算元， $V$ 是勢能，勢能函數基本上決定了方程怎麼解。

一、一維無限深勢箱

一維情況下，拉普拉斯算符非常簡單（就是求二階導）：

$abla^2=frac{d^2}{dx^2}$

一維定態薛方：

$-frac{h^2}{8pi^2m}frac{d^2psi}{dx^2}+Vpsi=Epsi$

不要被「一維無限深勢阱」這個詞嚇到了，它只是表示一個如圖所示的勢能函數而已，看看是不是挺形象的？關注一下 $V$ 的形式：

$V=egin{equation} left{ egin{array}{lr} 0&,0leq xleq L\ ∞&,else end{array} ight. end{equation}$

方程列好了，下面開始解。

當 $x<0 vee x>L$ 時， $V=∞$ ，粒子出現的概率為0，即 $psi=0$

考慮 $0leq xleq L$ ，方程為

$-frac{h^2}{8pi^2m}frac{d^2psi}{dx^2}=Epsi$

或

$frac{d^2psi}{dx^2}=-frac{8pi^2mE}{h^2}psi$

設 $alpha^2=frac{8pi^2mE}{h^2}$ ,代入得到

$frac{d^2psi}{dx^2}=-alpha^2psi$

很簡單的方程，解得

$psi=Asin(alpha x+varphi)$

因為在 $x<0$ 處， $psi=0$ ，根據波函數的連續性，當 $x=0$ 時， $psi=0$ 也成立，於是代入，得

$sinvarphi=0 Rightarrow varphi=npi$

方便起見，這裡取 $n=0$ ，即 $psi=Asinalpha x$

要注意的是，能量 $E$ 還是未知數，是要解出來的。現在 $E$ 在 $alpha$ 里，我們還有一個邊值條件 $psi(L)=0$ ，直接代入得

$sinalpha L=0 Rightarrowalpha L=npiRightarrow alpha=frac{npi}{L}$

即 $sqrt{frac{8pi^2mE}{h^2}}=frac{npi}{L}$

能量就出來啦：

$E=frac{n^2h^2}{8mL^2}$

這裡的 $nin N_{+}$ ，也就是 $n=1,2,3...$ 最小能量就是 $n=1$ 時的 $E=frac{h^2}{8mL^2}$ ，也就是基態能量，叫做零點能。不能取0，否則這個波函數就恆為0，沒有意義了。

下面繼續解波函數。還剩下一個歸一化係數 $A$ 要解。現在波函數長這樣：

$psi=Asinfrac{npi}{L} x$

為了解 $A$ ，搬出最後一個條件：一個品優波函數，必然滿足

$int_{D}ar{psi}psi dx=1$

波函數是概率波嘛， $psi^2$ 就是概率分布，這個條件說成人話就是概率和為1。換到這裡的情景，可以寫成：

$int_{0}^{L}psi^2dx=1$

代入得

$A^2int_{0}^{L}sin^2frac{npi}{L} xdx=1$

即

$left[ frac{x}{2}-frac{L}{4npi}sinfrac{2npi}{L}x ight]_{0}^{L}=frac{1}{A^2}$

即

$frac{L}{2}=frac{1}{A^2}Rightarrow A=sqrt{frac{2}{L}}$

代回去，就完成了哦：

$psi=sqrt{frac{2}{L}}sinfrac{npi}{L} x ,0leq xleq L$

完整的形式：

$psi=egin{equation} left{ egin{array}{lr} sqrt{frac{2}{L}}sinfrac{npi}{L} x &,0leq xleq L\ 0&,Otherwise end{array} ight. end{equation}(nin N_{+})$

以及對應的能量：

$E=frac{n^2h^2}{8mL^2}(nin N_{+})$

畫圖（左邊是 $psi$ ，右邊是 $psi^2$ ，注意橫坐標，0之前，L之後波函數值都是0）：

L=1,n=1

L=1,n=3

L=1,n=10

二、二維無限深勢箱

話不多說，上勢能：

$V=egin{equation} left{ egin{array}{lr} 0&,(0leq xleq L,0leq yleq L)\ ∞&,Otherwise end{array} ight. end{equation}$

二維拉普拉斯算符為

$abla^2=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}$

薛方就是

$-frac{h^2}{8pi^2m}left( frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2} ight)psi+Vpsi=Epsi$

或

$-frac{h^2}{8pi^2m}left( frac{partial^2psi}{partial x^2}+frac{partial^2psi}{partial y^2} ight)+Vpsi=Epsi$

把勢能代進去，

同樣地，當 $egin{equation} left{ egin{array}{lr} x<0vee x>L\ y<0vee y>L\ end{array}<br /> ight. end{equation}$ 時 $psi=0$ 。

當 $egin{equation} left{ egin{array}{lr} 0leq xleq L\ 0leq yleq L\ end{array} ight. end{equation}$ 時，薛定諤方程為

$-frac{h^2}{8pi^2m}left( frac{partial^2psi}{partial x^2}+frac{partial^2psi}{partial y^2} ight)=Epsi$

這裡的 $psi=psi(x,y)$ ，要處理好它，必須分離變數。還記得開頭我們把時間和坐標分離的操作嗎？（ $psi(q,t)=psi(q)psi(t)$ ）類似地，我們可以將 $psi(x,y)$ 因式分解為 $psi(x)psi(y)$ 。

肯定會有人疑惑，為什麼能這樣操作？

我們從物理意義上考慮一下。

我們要分離一個波函數，可以有幾種方法： $+,-, imes,div$ 。當然也可以是什麼 $sinfrac{psi_1}{lnpsi_2}$ 之類奇怪的東西，但是這太不自然，完全不必考慮。既然波函數可以描述概率密度，那麼把它看成一個概率函數 $P(q)=psi^2(q)$ 。對於這個粒子，它在不同方向的運動情況是互相獨立的。又因為不同方向的運動必然是同時發生的，那麼根據獨立事件概率公式：