可觀測宇宙中原子的數目

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附註：本文來自我的這篇回答「請問：宇宙中的所有原子數目是如何計算出來的？」，我可能在後期整理，以適合本專欄風格。

可觀測宇宙中原子數目是 $10^{80}$

計算的大體思路

第一步計算宇宙密度和可觀測宇宙大小

第二步計算可觀測宇宙中普通物質總質量

第三步利用元素丰度計算原子數目

第一步計算宇宙密度和可觀測宇宙大小

需要的數據：

哈勃常數 $H_0=67.66 mathrm{km} mathrm{s}^{-1} mathrm{Mpc}^{-1}$

萬有引力常數 $G=6.67408 imes 10^{-11} mathrm{m}^3 mathrm{kg}^{-1} mathrm{s}^{-2}$

光速 $c=299792458 mathrm{m} mathrm{s}^{-1}$

暗能量密度參數 $Omega_{Lambda}=0.6889$ （這個數據的意思是，暗能量占宇宙總成分的68.89%）

物質密度參數 $Omega_{m}=0.3111$

（詳見2018年普朗克衛星觀測數據）

根據弗里德曼（第一）方程，宇宙的密度由如下方程算出：

$ho=frac{3H_0^2}{8pi G}$

將數據代入公式可算出宇宙的密度 $ho=8.7 imes 10^{-27} mathrm{kg} mathrm{m}^{-3}$

可觀測宇宙半徑的公式是：（推導過程詳見我的這個回答）

$r=frac{c}{H_{0}}int_{0}^{1} frac{mathrm{d} a}{a^2 sqrt{Omega_m a^{-3}+Omega_Lambda}}$

將數據代入公式可算出可觀測宇宙半徑 $r=47 mathrm{Gly}$ （Gly表示十億光年）

可觀測宇宙是球體，因此可觀測宇宙的體積 $V=frac{4}{3}pi r^3=3.6 imes 10^{80} mathrm{m}^3$

需要的數據：

普通物質密度參數 $Omega_{b}=0.0504$

（詳見2018年普朗克衛星觀測數據）

既然我們已經算出密度和體積了，它們乘起來不就是可觀測宇宙的總質量了么：

$M= ho V=3.2 imes 10^{54} mathrm{kg}$ （這個質量還是相當驚人的）

但是，宇宙中的成分並非全部由原子構成。68.89%的成分屬於暗能量，剩餘的31.11%才屬於物質。可在這31.11%中，大部分是暗物質，它們也不是由原子構成的。由原子構成的物質叫普通物質（baryon matter），只佔宇宙總成分的5.04%，所以還要再乘以5.04%才行：

$M_b=0.0504 imes 3.2 imes10^{54} mathrm{kg}=1.6 imes 10^{53} mathrm{kg}$

需要的數據：

氫元素丰度73.9%，氫原子質量 $m_H=1.674 imes 10^{-27} mathrm{kg}$

氦元素丰度24.0%，氦原子質量 $m_{He}=6.646477 imes 10^{-27} mathrm{kg}$

氧元素丰度1.4%，氧原子質量 $m_O=2.6567 imes 10^{-26} mathrm{kg}$

（詳見維基百科詞條_化學元素的丰度）（這裡的丰度是指質量的佔比）

剩下的工作就簡單了。我們先找出宇宙中最豐富的三種元素：氫、氦、氧（其他元素的佔比小於1%，就忽略了，不會影響計算結果），通過觀測宇宙中這些元素的丰度計算原子數目：

$x=M_b(frac{0.739}{m_H}+frac{0.240}{m_{He}}+frac{0.014}{m_O})$

代入數據可得 $x=7 imes 10^{79}approx 10^{80}$

這就是可觀測宇宙中的原子數目了。

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