工程光學（五）——幾何光學（基礎）

01-12

前言

前幾篇文章的內容都屬於物理光學（波動光學）的範疇，從這篇文章開始，介紹應用光學部分，這一部分在本系列文章中主要包含三部分：幾何光學、像差理論和典型光學系統的分析.本文介紹幾何光學的基礎部分，主要是球面系統和平面系統.

幾何光學在探究光的傳播時一定程度上忽略光的波動性，將光在均勻介質中的傳播用直線表示，稱之為光線，並通常忽略光的干涉、衍射和偏振現象，但在討論不同顏色的光和不同折射率的介質時，又常以波長為線索考慮其差異，且在分析系統解析度時也要根據艾里斑來分析.

本文結構如下：

首先就是從波動光學到幾何光學的過渡，介紹光線、光束的概念，以及與相應的光波之間的關係，並介紹幾何光學的四個基本定律，並簡單介紹費馬原理.最後介紹關於成像的一些概念.
然後就通過單個折射球面介紹近軸光學系統，並在這部分說明符號的使用規則.
接著專門對球面系統進行分析，包括單個反射球面以及由多個球面組成的共軸球面系統.分析的內容主要就是物像位置關係和三種放大率.
最後介紹平面系統，包括利用反射光成像的平面鏡和雙平面鏡系統，以及利用透射光成像的平行平板.最後詳細介紹稜鏡，包括反射稜鏡，折射稜鏡，並介紹光楔的特性，最後簡單介紹稜鏡色散.

1. 基礎知識

1.1 基本概念和定律

在波動光學部分，提到了電磁波的波長和頻率，但並沒進行具體的分析，不同的波長的差異在應用光學中是不可忽略的.為描述方便，對於各種波長的電磁波要有名稱，具體分布如下圖所示：

圖1

但用於劃分的具體數字在不同的文獻中有不同的記錄，這裡就不寫具體數字了，只表示出大致範圍.

在波動光學中，又提到了各種波面，例如平面波，球面波.那麼在幾何光學中，就藉助光線和光束來描述這些：

本質上，光線指的是能量流動方向所在的直線，即坡印廷矢量 $vec S$ 所指的方向，而在各向同性均勻介質中， $vec S$ 與波法線 $vec k$ 的方向是相同的，因此在這裡對光線進行描述的時候，一般指波法線的方向.

光束是由光線構成的，對於平面波，在幾何光學中用平行光束來表示，對於球面波，用同心光束來表示.而對於光學系統像差（後面會講到）的作用非球面的光波，與之對應的是像散光束.如下圖所示.

圖2

幾何光學對光的傳播問題總結了四個基本定律，分別是直線傳播定律、獨立傳播定律、折射定律、反射定律.

直線傳播定律是指光在各向同性的均勻介質中沿直線傳播.
獨立傳播定律是指不同光源發出的光在空間某點相遇時，彼此互不影響，各光束獨立傳播，認為當光交會於一點時，光強簡單疊加（不像波動光學那樣發生干涉），離開交會點後仍按原來方向傳播.
折射定律在波動光學部分已經提到過，這裡不再詳細介紹.就是 $n』sin I』=nsin n.$
反射定律主要是說兩點：反射光線位於由入射光線和界面法線所確定的平面內；反射光和入射光位於法線兩側，反射角與入射角的絕對值相等，符號相反.簡單說就是 $I』』=-I.$

對於入射、折射和反射，通常有如下符號約定：

圖3

三個角都用 $I$ 系列字母表示，

對於入射角，用原字母 $I$ ，無標記；對於折射角，用 $I』$ 表示；對於反射角，用 $I』』$ 表示.

對於三個角度都用銳角度量，由光線轉向法線，順時針角度為正、逆時針角度為負.

費馬原理

光從一點到另一點是沿光程為極值的路徑傳播的.

在界面是平面的情況下，光線按光程為極小值的路徑傳播，但光也可能按光程為極大值或常量的路徑傳播，若界面為曲面，隨曲面的性質和曲率，光程可能是極小值、極大值或常量.

例如橢球反射面，根據橢球面的性質，從一個焦點發出的所有光經過反射面後必聚焦於另一個焦點，光程為常量.如下圖所示.

圖4

1.2 關於成像

光學系統由一系列折射和反射面組成（通常是球面，也有平面和非球面），若它們的曲率中心在同一條直線上，則該光學系統稱為共軸光學系統(symmetrical optical system)，這條直線稱為光軸(optical axis).

以下圖所示的光學系統為例.

圖5

它表示的是點 $A$ 發出一束光束經過光學系統後會聚到 $A』$ 點.

稱A點為物點(object point)，稱 $A』$ 點為像點(image point).

若物、像是由實際光線指出或被指，則它們是實物(real object)和實像(real image).

若物、像是由實際光線的延長線相交所指的，則它們是虛物(virtual object)和虛像(virtual image).

物所在的空間稱為物空間(object space)，像所在的空間稱為像空間(image space).

點物所發的光是發散的同心光束，相當於發散的球面波，若它經過光學系統後，形成會聚的同心光束，即會聚的球面波，那麼會聚的這個像點稱為完善像點(perfect image).

應注意：
虛物是為描述和研究方便才定義的，它是由前面的光學系統給出的，不是任意設定的.
虛像不能被屏幕接收，但可以被人眼感受.而實像可以被屏幕接收.

2. 近軸光學(paraxial optics)

下面開始對光學系統進行分析，這還要從光路計算說起.

2.1 基本概念與符號

首先以折射球面為例，介紹一些基本概念和規則符號規則.

如下圖所示， $E$ 是一個球面折射面，半徑為 $r$ ，左側 $A$ 為物點，物空間折射率為 $n$ ， $A』$ 點為像點，像空間折射率為 $n』$ .顯然， $A$ 與 $A』$ 都在光軸上.

（幾何光學與光學設計領域中，像方參量符號與其對應的物方參量用同一符號表示，只是加撇號，例如 $A$ 和 $A』$ ）

光軸與球面的交點 $O$ 稱為頂點(vertex).
光線與光軸的交點與 $O$ 點的距離統稱為截距.其中 $AO$ 的距離 $L$ 為物方截距(object distance)； $A』O$ 的距離 $L』$ 為像方截距(image distance).
光線與光軸的夾角統稱為孔徑角，圖中 $U$ 為物方孔徑角， $U』$ 為像方孔徑角.

對於各量的符號一般有如下約定：

沿軸線段：從左至右為正方向，並以頂點 $O$ 為原點.例如圖中標註的 $-L,L』,r$ .
垂軸線段：以光軸為基準，上方為正，下方為負.例如圖中標註的 $h$ .
相鄰兩折射面的間隔：由前一面的頂點到後一面的頂點，順光線方向為正，反之為負，通常用 $d$ 來表示.
光線與光軸夾角：以銳角度量，由光軸轉向光線，順時針為正，逆時針為負.例如圖中標註的 $U,U』$ .
光線與法線的夾角：以銳角度量，由光線轉向法線，順時針為正，逆時針為負.例如圖中標註的 $I,I』$ ，包括圖3中的 $-I』』$ .
光軸與法線的夾角：以銳角度量，由光軸轉向法線，順時針為正，逆時針為負.例如圖中標註的 $varphi.$

應注意，在實際標註的時候，所有的長度和角度都應標記為正數，只是認為真正的那個長度或角度可能會出現負數，例如 $L$ 和 $U$ 就是負數.在計算時，也應注意這一點，當不代入數值而只寫符號時，在需要的時候要寫成 $-L$ 或 $-U$ .在接下來的計算中會體現這一點.

圖6

2.2 近軸光學的由來

下面針對這個現象圍繞像方截距 $L』$ 進行詳細計算，從物方截距 $L$ 和物方孔徑角 $U$ 說起.

先考察 $riangle AEC$ ，由正弦定理， $frac{sin I}{-L+r}=frac{sin -U}{r}.$
由折射定律， $n』sin I』=nsin I.$
由幾何關係， $varphi=I+U=I』+U』.$
綜上，在 $riangle A』EC$ 中，由正弦定理， $frac{sin I』}{L』-r}=frac{sin U』}{r}.$

即整理出像方截距 $L』=rleft(1+frac{sin I』}{sin U』} ight).$

這說明每一組 $L$ 和 $U$ 都確定著一個 $L』$ ，那麼當 $L$ 確定時 $L』$ 是 $U$ 的函數，意味著同心光束經過折射球面後將不是同心光束，情況如下圖所示.

圖7

這種現象稱為球差(spherical aberration)，這是球面光學系統成像的固有缺陷.

但是當 $U$ 很小時（一般認為不超過 $pm5°$ ）， $I,I』,U』$ 都很小，在這個區稱為近軸區(paraxial region)，此區域內的光線稱為近軸光線.

由於這些角度都很小，故可近似地用弧度值代替正弦值來計算，並用相應的小寫字母代替.那麼上述系列系列計算公式化為

$egin{cases}i=cfrac{l-r}{r}u\[2ex]i』=cfrac{n}{n』}i\[2ex]u』=u+i-i』\[2ex]l』=rleft(1+cfrac{i』}{u』} ight)end{cases}$

注意上述第四式，根據第三式可變形為 $l』=rleft(1+cfrac{1}{cfrac{u}{i』}+cfrac{i}{i』}-1} ight)$ ，利用前面兩式可繼續變形，其中的 $frac{i}{i』}=frac{n』}{n}$ ，而 $frac{u}{i』}=frac{n』r}{l-r}.$

綜上所述， $n,n』,r$ 當然是先行確定的，這說明只要給定 $l$ ，則 $l』$ 即是確定的，與 $u$ 無關.

這差別的關鍵在於近似式第四式中 $u』=u+i-i』$ 的代換，在原式中 $sin U』=sin(U+I-I』)$ 就不允許後面的操作.

那麼在這個意義下，成像就是完善的，這個像稱為高斯像(Gaussian image)，過高斯像點做光軸的垂面，該面稱為高斯像面，研究近軸區域成像性質的光學稱為高斯光學(Gaussian optics)，或近軸光學(paraxial optics).

這樣一對物像關係的點稱為共軛點(conjugate point)，過共軛點做光軸的垂面即是共軛面..

根據上述近似系列式中的第一、三、四式可得出 $l』u』=lu$ ，對於近軸光線，進一步有 $l』u』=lu=h.$

另外，根據其中的第一、二、四式，可得出 $n』left(frac{1}{r}-frac{1}{l』} ight)=nleft(frac{1}{r}-frac{1}{l} ight)$ ，記作 $Q$ ，稱之為阿貝不變數(Abbe invariant).這個所謂的不變，指的是對於單個折射面，物空間、象空間的阿貝不變數 $Q$ 是不變的，但隨共軛點的位置改變.
展開整理得到 $frac{n』}{l』}-frac{n}{l}=frac{n』-n}{r}.$ 它直接給出了單個折射球面物像位置的關係.
根據前式還可進一步改寫為 $n』u』-nu=(n』-n)frac{h}{r}.$ 它直接給出了物像方孔徑角的關係.

下面考察式 $frac{n』}{l』}-frac{n}{l}=frac{n』-n}{r}$ ，不難發現，對於給定的物距 $l$ ，則像距 $l』$ 由 $frac{n』-n}{r}$ 確定，可以說可以說它表達了折射球面的特徵，稱之為光焦度(focal power)，記作 $Phi$ ，即 $Phi=frac{n』-n}{r}.$ 從另個角度說，當光焦度確定時，系統被確定，此時像的位置取決於物的位置.

進一步考慮無窮遠軸上物點所成的像，這時應視為平行光入射，光線平行於光軸.

圖8

稱無窮遠點所成的像點為像方焦點(image focus)（或後焦點），如圖中 $F』$ 所示.

這時的像距稱為焦距(focal length)（或後焦距），如圖中 $f』$ 所示.

對於物方的F和f就是物方焦點和物方焦距（或前焦點、前焦距）.

過焦點且垂直於光軸的平面稱為焦平面(focal plane).

代入解析式則有 $f』=frac{n』}{n』-n}r$ 以及 $f=frac{n}{n-n』}r.$ 顯然 $f』+f=r.$

並考慮光焦度，又有 $Phi=frac{n』}{f』}=-frac{n}{f}.$ （更常用的式是 $frac{f』}{n』}=-frac{f}{n}$ .後面將會看到，這兩式對任何光學系統都適用）.

2.3 關於軸外物點

最後要說的是同樣是細光束，但是軸外物點成的像，如下圖所示.

圖9

由於球面的對稱性，其任意直徑所在的直線都可視為相同的光軸，那麼考慮完全對稱的情況，上圖中左側 $A_1,A,A_2$ 三點所成的像就分別是右側的 $A_1』,A』,A_2』$ 它們是在同一個球面上的.

而對於左側 $B$ 點所成的像，則是右側的 $B』$ ，這顯然就在另一個球面上了.

可見平面物體即使是細光束（忽略球差），依然不能得到完善的平面像，這也是成像的相差之一，這種情況叫做像面彎曲.

而如果物平面是十分靠近光軸的垂軸平面，則可認為像面也是平的，成完善像.

3. 球面系統

這裡專門談一談球面鏡成像，主要分為單個折射面、單個反射面以及由一系列共軸的折/返射球面構成的共軸球面系統.而分析的內容主要是物像位置關係和放大率.

3.1 單個折射球面

對於其物像關係，剛剛已經說得足夠詳細了，下面從放大率談起.

放大率可從三個角度來分析：垂軸放大率（橫向放大率）(transversal magnification)、軸向放大率(longitudinal magnification)、角放大率(angular magnification).

垂軸放大率

例如在光軸上物距為 $l$ ，高為 $y$ 的垂軸物體通過球面折射面成像，如下圖所示.

圖10

物 $AB$ 的像為 $A』B』$ ，物高為 $y$ ，像高為 $y』$ .定義垂軸放大率為 $eta=frac{y』}{y}.$

根據 $riangle ABC$ 和 $riangle A』B』C$ 的相似性有 $-frac{y』}{y}=frac{l』-r}{r-l}$ ，並根據阿貝不變數得到 $eta=frac{y』}{y}=frac{nl』}{n』l}.$

這說明垂軸放大率僅取決於共軛面的位置，在一對共軛面上， $eta$ 是恆定的，因此物和像是相似的.

綜上，可以根據 $eta$ 來判斷成像特性：像的正倒、虛實、放縮.

若 $eta>0$ ，說明 $y』$ 與 $y$ 同號，成正像；另外還能說明 $l』$ 和 $l$ 同號，物像虛實相反.
若 $eta<0$ ，說明 $y』$ 與 $y$ 異號，成倒像；另外還能說明 $l』$ 和 $l$ 異號，物像虛實相同.
若 $|eta|>1$ ，說明 $|y』|>|y|$ ，成放大的像.
若 $|eta|<1$ ，說明 $|y』|<|y|$ ，成縮小的像.

軸向放大率

軸向放大率指的是像點與其對應的物點沿軸移動時，移動量之比，用 $alpha$ 表示，即 $alpha=frac{dl』}{dl}.$

對 $frac{n』}{l』}-frac{n}{l}=frac{n』-n}{r}$ 微分得到 $-frac{n』}{l』^2}dl』+frac{n}{l^2}dl=0$ 整理得到 $alpha=frac{nl』^2}{n』l^2}.$

還能發現 $alpha=frac{n』}{n}eta^2.$

由此可得到兩個結論：

折射球面的軸向放大率總是正數，因此物點與像點在軸上同向移動.
軸向放大率與垂軸放大率不同，因此空間物體在沿軸方向上則不是相似的，會出現變形的情況.

角放大率

角放大率定義為折射前後的一對光線與光軸夾角之比，記作 $gamma.$ 如上圖所示即 $gamma=frac{u』}{u}.$

根據前述的 $lu=l』u』$ 可知 $gamma=frac{l}{l』}.$

比較 $eta$ 還能發現 $gamma=frac{n}{n』eta}.$

角放大率表示折射球面將光束變寬或變細的能力，顯然角放大率只與共軛點的位置有關，不受光線孔徑角影響.

綜上可發現三种放大率間的關係： $alphagamma=eta.$

另外，根據 $eta=frac{y』}{y}=frac{nl』}{n』l}=frac{nu}{n』u』}$ ，可得到非常有用的 $nyu=n』u』y』$ .它說明，在近軸區成像時，對於一對共軛面，物體大小 $y$ 、物方孔徑角 $u$ 、物所在空間折射率 $n$ 三者乘積為常數，稱之為拉格朗日-赫姆霍茲不變數，簡稱拉赫不變數或拉格朗日不變數(Lagrange invariant)，通常記作 $J$ .

後面將會看到，物高與視場範圍有關，孔徑角與進入光學系統的能量有關，那麼拉赫不變數表達了物高 $y$ 與孔徑角 $u$ 間的制約關係，即視場範圍越大，能量就越弱.因此，拉赫不變數是表徵光學系統性能的參數.

3.2 單個反射球面

在 $frac{n』}{l』}-frac{n}{l}=frac{n』-n}{r}$ 式中代入 $n』=-n$ ，即得到 $frac{1}{l』}+frac{1}{l}=frac{2}{r}.$ 這就是球面反射鏡的物像位置關係.

球面反射鏡又具體分為凹面鏡(concave mirror) $(r<0)$ 和凸面鏡(convex mirror) $(r>0)$ ，如下圖所示.

圖11

對於三种放大率，還是將 $n』=-n$ 代入可得到

$egin{cases}eta=cfrac{y}{y}=-cfrac{l』}{l}\[2ex]alpha=cfrac{dl}{dl}=-cfrac{l』^2}{l^2}=-eta^2\[2ex]gamma=cfrac{u}{u}=-cfrac{1}{eta}end{cases}$

據此得到如下結論：

單個球面反射鏡恆有 $alpha<0$ ，說明物體與像是反向移動的.而如果有多個這樣的反射面，當偶數次反射時，恆有 $alpha>0$ .
對於凸面鏡，若 $|l|gg r$ ，則導致 $etall 1$ ，會成正立縮小的虛像，成像範圍很大.因此圖面反射鏡常用於車後視鏡；在一些路口也會有這樣的凸面鏡，以便瞭望路況.
特別地，若物點位移球面鏡球心，即 $l=r=l』$ .那麼 $eta=alpha=-1$ ， $gamma=1$ .球面鏡成倒像，光線經反射後沿原路返回，球面鏡對於球心是等光程面，故成完善像.

3.3 共軸球面系統

上面討論的是單個折/返射球面的成像規律，而對於由一系列球面組成的共軸球面系統，只需要搞清楚相鄰兩球面間的參量和光線的關係，就可以計算出整體的成像特徵.

下面考慮一個共軸的球面光學系統，它由 $k$ 個球面組成，具體參數如下：

各球面的曲率半徑分別為 $r_1,r_2,cdots,r_k.$
相鄰球面頂點間隔為 $d_1,d_2,cdots,d_{k-1}.$
各面之間介質折射率為 $n_1,n_2,cdots,n_{k+1}.$

假設對於每一個球面的物方孔徑角分別設為 $u_1,u_2,cdots,u_k$ ，按習慣，其像方孔徑角應設為 $u_1』,u_2』,cdots,u_k』$ .同樣的物距和像距就分別是 $l_1,l_2,cdots,l_k$ 和 $l_1』,l_2』,cdots,l_k』.$

由此具體地分析相鄰兩球面間的參量和光線的關係，以兩個折射球面為例，如下圖所示

圖12

顯然有

$egin{cases}n_{i+1}=n_i』\[2ex]u_{i+1}=u_i』\[2ex]y_{i+1}=y_i\[2ex]l_{i+1}=l_i』-d_iend{cases}$

這就是近軸光路的過渡公式.

在這種近似下，正弦值與弧度也認為是等同的，那麼根據上述關於 $u$ 和 $l$ 的公式並考慮 $lu=l』u』=h$ 還可計算光線的入射高度，即 $h_{i+1}=h_i-d_iu_i』.$

若考慮每一個面的拉赫不變數，有 $J=n_1u_1y_1=n_2u_2y_2=cdots=n_ku_ky_k=n_k』u_k』y_k』.$ 這說明對於整個系統來說拉赫不變數也是恆定的.

對於整個系統的放大率，顯然有 $egin{cases}eta=eta_1eta_2cdotseta_k\[2ex]alpha=alpha_1alpha_2cdotsalpha_k\[2ex]gamma=gamma_1gamma_2cdotsgamma_kend{cases}$

代入具體的參量可得到 $eta=frac{n_1u_1}{n_k』u_k』}$ ， $alpha=frac{n_k』}{n_1}eta^2$ ， $gamma=frac{n_1}{n_k』eta}.$

且依然有 $alphagamma=eta.$

4. 平面系統

除了球面系統外，平面系統也是光學系統中很常用的，例如平面反射鏡、平行平板、反射稜鏡等，它們主要用來改變光路方向，改變像的正倒等.

4.1 平面鏡(plane mirror)

平面反射鏡，簡稱平面鏡，其成像規律也可以藉助球面反射鏡的公式進行分析，認為 $r ightarrowinfty$ ，即可得到 $l』=-l$ ， $eta=1$ .

這說明物像分布在鏡的兩側，大小相等，虛實相反，如下圖所示.

圖13

值得一提的是，平面鏡是成完善像的，這一點由圖中的幾何關係可判斷出來（全等三角形），即例如 $A$ 點發出的同心光束，經反射變成以 $A』$ 點為頂點的同心光束.

另外，平面鏡成像時，物像空間是不一致的，具體如下圖所示.

圖14

物和像關於鏡面是對稱的，具體說是上下同方向，左右顛倒（或者說左右同方向，上下顛倒，本質在於如何選取左右或上下方向），這種對稱的像稱為鏡像(mirror image).上圖中表示的是，一個右手坐標系經鏡面反射後，其像是一個左手坐標系.

上述是一次反射成像，進一步可發現，對於奇數次反射成像都是鏡像，而偶數次反射成像就會是與物一致的像.

平面鏡還有一個重要的性質是關於旋轉的.

如下圖所示，保持入射角不變，轉動平面鏡 $alpha$ 角，則會導致反射光轉過 $2alpha$ 角.

圖15

實際上這就相當於放大變數，可以利用這個原理來測量微小的角度或位移.下圖表示的就是這樣的裝置.

圖16

分劃板 $R$ 位於物鏡 $L$ 的物方焦平面上，分劃板上標尺的零位點（圖中 $F$ 點，對準物鏡中心）發出的光束經過 $L$ 後平行於光軸，若平面鏡與光軸垂直，即測桿使平面鏡處於 $M_0$ 位置，則光從原路返回.

（焦平面上不同點的點光源發出的球面波通過透鏡後變成平面波，只是平行的方向不同，這一點在後面會看到）

而如果平面鏡不垂直於光軸，例如在 $M_1$ 位置，

下面進一步要說的就是另一種有用的系統——雙平面鏡系統(bimirror)，先講雙平面鏡用來折轉光路，如下圖所示.

圖17

兩個平面鏡反射面相對，夾角為 $heta.$

入射光線 $AO_1$ 經過雙平面鏡系統後沿 $O_2A_2』$ 方向射出.

為了探究入射光線和出射光線的夾角，延長 $AO_1$ ，使之與 $O_2A_2』$ 交於交於點 $M$ ，兩直線的夾角 $eta$ 即是所求的夾角.

分別考察 $riangle O_1O_2M$ 和 $riangle O_1O_2N$ ，由幾何關係可得到 $egin{cases}I_1=I_1\[2ex]I_2=I_2\[2ex]eta+I_2+I_2=I_1+I_1\[2ex] heta+I_2=I_1end{cases} Rightarrow (eta=2 heta).$

這說明入射光線與出射光線夾角只與兩平面鏡夾角有關，與入射角無關.

如果保持入射光方向不變，使雙平面鏡系統沿棱邊 $P$ 旋轉，出射光反向是不變的.利用這一性質折轉光路比單個反射面方便很多，因為這種方式對雙面鏡的安置精度要求不高.

然後說用雙平面鏡成像，考慮連續一次成像，如下圖所示.

圖18

它表達的是兩個平面鏡 $RP$ 和 $QP$ 的反射面相對，夾角為 $alpha.$ 中間有一個物，是右手坐標系 $xyz$ ，先經 $QP$ 反射，像為 $x』y』z』$ ，再經 $RP$ 反射，像為 $x』』,y』』,z』』$ .

注意到 $angle y』』Pycolor{brown}{=angle y』』Py』-angle yPy』}=2angle RPy』-2angle QPy』color{brown}{=2alpha}.$

說明這個連續一次像相當於物體繞棱邊 $P$ 旋轉 $2alpha$ 交形成的，旋轉方向是第一反射鏡轉向第二反射鏡，在這裡就是順時針.（如果先 $PR$ 後 $PQ$ 則是逆時針）

特別地，當 $alpha=frac{pi}{2}$ 時，兩個連續一次像重合，他們都和物相對於棱 $P$ 對稱.

這裡同樣可以得到一個結論，保持物不動的情況下，當雙面鏡夾角不變時，雙面鏡轉動，像固定不動.

如果說更一般的理論，對於實際情況不是一連反射就停止的，會連續不斷地反射，從而產生一系列像（應指出，所有這些都是虛像），如下圖所示.

圖19

物 $A$ 經 $RP$ 反射成像 $A_1』$ ，再經 $QP$ 反射成像 $A_2』$ ，再經 $RP$ 反射成像 $A_3』$ .

另一方面，也有先經 $QP$ 反射成像 $A_1』』$ ，再經 $RP$ 反射成像 $A_2』』$ ，再經 $QP$ 反射成像 $A_3』』$ .

一直這樣下去，直到像點位於兩個反射鏡共同的背面不再反射為止.

根據幾何關係還可發現，這些像都是在以棱 $P$ 為圓心， $AP$ 為半徑的圓周上.

4.2 平行平板(parallel-plate)

由兩個相平行的折射平面構成的光學元件叫做平行平板.

從放大率入手進行分析，如下圖所示.

圖20

可利用折射球面和共軸球面系統的結論進行分析，對於厚度為 $d$ ，折射率為n的平行平板放在空氣中（認為空氣中 $n=1$ ），可認為 $r_1=r_2 ightarrowinfty.$

可做如下推導 $egin{cases}cfrac{n』}{l』}-cfrac{n}{l}=cfrac{n』-n}{r}\l_{2}=l_1』-dend{cases}Rightarrowegin{cases}eta_1=1\eta_2=1end{cases} Rightarrow eta=eta_1eta_2=1.$

以及 $(alpha=frac{n_2』}{n_1}eta^2)wedge(n_2』=n_1=1) Rightarrow alpha=1$

還有 $gamma=frac{n_1}{n_2』eta}=1$

這說明平行平板是無光焦度的，不使物體放大或縮小，且光線經過平行平板後方向不變，但會產生側向位移.這段位移可以從兩種角度來描述，一種是垂直位移，即圖中的線段 $DG$ 記作 $Delta T$ ；另一種是沿軸位移，即圖中的 $Delta L』$ .

可以計算出 $Delta T=dsin I_1left(1-frac{cos I_1}{ncos I_1』} ight)$ ， $Delta L』=dleft(1-frac{ an I_1』}{ an I_1} ight)$ .

其中 $I_1,I_1』$ 分別是光線入射到前一折射面時的入射角和折射角，如上圖中所示.

注意到 $Delta L』$ 與入射角 $I_1$ 有關，即同心光束經過平行平板後變成非同心光束，說明平行平板不能成完善像.

特別地，如果是近軸區細光束的情況， $I_1$ 和 $I_1』$ 都很小，餘弦值近似認為是 $1$ ，那麼軸向位移可近似為 $Delta l』=dleft(1-frac{1}{n} ight).$ 即可認為成完善像.

4.3 反射稜鏡(reflection prism)

將同一塊玻璃上的一個或多個面製成反射面的光學元件叫做叫做反射稜鏡.如果反射面對於入射光線，不能使它們全部發生全反射，則必須要在反射面上鍍膜（銀、鋁、金等），以減少反射面光能損失.反射稜鏡可以用來轉折光軸，轉像等.

在使用反射稜鏡光學系統中，光軸在稜鏡中的部分一般是折線，每經過一次反射光軸就折轉一次.

稜鏡中，入射面、出射面、反射面統稱為工作面，工作面之間的交線稱為棱，垂直於棱的平面稱為主截面.在光路中，光軸在主截面當中，因此又稱之為光軸截面.

反射稜鏡有很多種，大致可分為簡單稜鏡（又包括一次、二次、三次反射稜鏡）、屋脊稜鏡、立方角錐稜鏡和複合稜鏡.

一次反射稜鏡

一次反射稜鏡只有一個反射面，轉像情況和平面反射鏡相同，垂直於主截面的坐標方向不變，位於主截面內的坐標方向改變.

最常用的一次反射稜鏡是等腰直角稜鏡，如下圖(a)所示，它將光軸折轉 $90°$ .

圖21

圖(b)也沒有什麼本質上的變化，光垂直入射，垂直射出，唯一不同的是它將光軸折轉60°.這種等腰稜鏡還可以製成其他的角度，從而使光軸折轉任意角度.

圖(c)稱為道威稜鏡(Dove prism)，由直角稜鏡去掉直角部分製成，其入射面、出射面與光軸都不垂直，但出射光軸與入射光軸的方向不變，即整體上對光軸沒有折轉.

道威稜鏡的特性在於，當其繞光軸轉動 $alpha$ 角時，反射的像會同方向轉動 $2alpha$ 角，例如圖(c)中表示的，下圖相對於上圖，逆z軸方向看是順時針旋轉90°，那麼像的坐標系就順時針旋轉 $180°$ .

二次反射稜鏡

二次反射稜鏡有兩個反射面，作用相當於雙面鏡.由前述結論可知，出射光線與入射光線的夾角僅取決於兩反射面的夾角；另外，物像一致，並不是鏡像.

常用的二次反射稜鏡如下圖所列.

圖22

(a)-半五角稜鏡，常用於顯微鏡觀察系統，使光軸轉為便於觀察的方向.
(b)- $30°$ 直角稜鏡，用途與半五角稜鏡相同.
(c)-五角稜鏡(pantagonal prism)，若要避免成鏡像，可用相同它來代替一次反射直角稜鏡；
(d)-二次反射直角稜鏡，常用於轉向系統，或與其他稜鏡組成複合稜鏡.
(e)-斜方稜鏡 可以使光軸平移，多用於雙目觀察的儀器，用來調節兩目鏡的中心距離以滿足不同的眼基距的人的需要.

三次反射稜鏡

最常用的是施密特稜鏡(Schmidt prism)，如下圖所示.

圖23

(a)-施密特稜鏡(Schmidt prism)，出射光線與入射光線成 $45°$ 角，且成鏡像.它可以用來摺疊光路，使儀器結構緊湊.
(b)-列曼稜鏡(Leman-Springer prism)，沿光軸方向的入射光線和出射光線平行，且有一段距離，直立使用可以改變瞄準線，使之高於或低於觀測線.

屋脊稜鏡(roof prism)

屋脊稜鏡本質上是指帶有屋脊面的稜鏡，兩個相互垂直的反射面叫做屋脊面，如下圖所示.

圖24

以施密特屋脊稜鏡為例，如下圖所示

圖25

它其實就是施密特稜鏡的一個反射面改造為屋脊面，這樣就是偶次反射，從而物像一致.

立方角錐稜鏡(corner cube)

可以看作是從立方體切下一個角而成，如下圖所示.

圖26

其特性是，光線以任意方向從底面入射，經過三個直角面反射後，出射光線始終平行於入射光線.此時當稜鏡繞頂點旋轉時，出射光線方向不變，只產生平行位移.

複合稜鏡

由兩個以上的稜鏡組合起來就形成複合稜鏡，從而可以實現特殊的功能，下面介紹幾種常用的複合稜鏡.

圖27

兩塊直角稜鏡的斜面相對，其中一塊的斜面上鍍有半反半透膜，即可將一束光分成兩束光強相等的光，且它們在稜鏡中的光程相等.這就是分光稜鏡，如上左圖所示.

還有一種相對複雜的，如上右圖所示，a面鍍有反藍透紅綠的介質膜，b面鍍有反紅透綠介質膜，這樣當白光（各種不同顏色光的混合）入射時，就可以使不同的方向上出射不同的光，從而達到分色的目的。這就是分色稜鏡.

還有就是轉像稜鏡，其出射光軸與入射光軸平行，實現完全倒像（上下、左右都顛倒），這可以用於望遠鏡系統，下圖列舉的就是幾種常見的轉像稜鏡.

圖28

4.4 折射稜鏡(refracting prism)

光線通過折射稜鏡的情況如下圖所示.

圖29

折射稜鏡的兩工作面間的夾角 $alpha$ 稱為折射稜鏡的折射角.

稱出射光線與入射光線的夾角 $delta$ 為折射稜鏡的偏向角，其正負規定為：以銳角度量，由入射光線轉向出射光線，順時針為正，逆時針為負.

下面分析偏向角的性質.由圖中幾何關係可推知

$egin{cases}alpha=I_1』-I_2\delta=delta_1+delta_2color{brown}{=I_1-I_1』+I_2-I_2』}end{cases}Rightarrow alpha+delta=I_1-I_2.$

並注意 $sin I_1=nsin I_1』$ 和 $sin I_2』=nsin I_2.$ 兩式相減，並利用和差化積公式，綜上可得到偏向角表達式 $sinleft(frac{alpha+delta}{2} ight)=nsinfrac{alpha}{2}cdotfrac{coscfrac{I_1』+I_2}{2}}{coscfrac{I_1+I_2』}{2}}.$

這說明偏向角 $delta$ 對於給定的稜鏡，只與入射角 $I_1$ 有關，下面考察其極值情況.

由 $alpha+delta=I_1-I_2$ 對 $I_1$ 微分得到 $frac{ddelta}{dI_1}=1-frac{dI_2』}{dI_1}.$ 並注意取得極值時，即當 $frac{ddelta}{dI_1}=0$ 時有 $frac{dI_2』}{dI_1}=1.$

由 $sin I_1=nsin I_1』$ 和 $sin I_2』=nsin I_2$ 對 $I_1$ 微分並相除，得到 $frac{dI_2』}{dI_1}=frac{cos I_1cos I_2}{cos I_1』cos I_2』}.$

代入取得極值時的條件 $frac{dI_2』}{dI_1}=1$ ，得到 $frac{cos I_1}{cos I_1』}=frac{cos I_2』}{cos I_2}.$

注意折射定律式還可寫成 $frac{sin I_1}{sin I_1』}=frac{sin I_2』}{sin I_2}=n.$ 進而說明，僅當 $I_1=-I_2』$ 且 $I_1』=-I_2$ 時取得極值.

此時 $frac{d^2delta}{dI_1^2}>0$ ，說明取得極小值.

將極值的條件代入偏向角表達式得到 $sinfrac{alpha+delta_m}{2}=nsinfrac{alpha}{2}.$

利用此關係式，在實驗中，只要測得最小偏向角即可求得試件的折射率.

對於折射角非常小的稜鏡，稱之為光楔(optical wedge).如下圖所示.

圖30

由於這個楔角很小，可近似看作平行平板，這樣就可認為 $I_1』=I_2，I_1=I_2』$ ，同時， $alpha$ 和 $delta$ 都很小，可用其弧度值代替正弦值，那麼偏向角表達式可化為 $delta=left(nfrac{cos I_1』}{cos I_1}-1 ight)alpha.$

特別地，當光線垂直入射或入射角很小時，其餘弦值可近似認為是 $1$ ，這是 $delta=(n-1)alpha.$ 這說明，此時的偏向角僅取決於光楔的楔角和折射率.

光楔的一大用處就是測量微小的角度和位移.

先說角度，對於幾種特殊的形式如下圖所示.

圖31

兩光楔的直角邊面平行放置，如上圖所示.

若楔角同測在上，則產生最大楔角 $delta=2(n-1)alpha$ ；

若楔角異側，則整體上無楔角，相當於平行平板，這時偏向角為零.

若楔角同側在下，則產生反向最大偏角 $delta=-2(n-1)alpha.$

這三種情況相當於將兩光楔以光軸為軸，轉動形成的.對於更一般的情況，當兩光楔相對旋轉，其中一個逆時針旋轉 $phi$ 角，另一個順時針旋轉 $phi$ 角（即相對旋轉 $2phi$ 角），則兩光楔產生的總偏向角為 $delta=2(n-1)alphacosphi.$ 這就是說，兩光楔每相對旋轉 $360°$ ，總偏向角就會從 $2(n-1)alpha$ 到 $-2(n-1)alpha.$

這就將微小偏向角 $delta$ 轉換為大旋轉角度 $phi$ ，這樣就方便讀數，從而實現微小角度的測量.

而對於微小位移的測量，可根據如下原理.如下圖所示，兩光楔的斜邊面相對平行放置.

圖32

當兩光楔貼合時，它們是一體的，相當於一塊平行平板，光線垂直入射，路徑沿直線不發生改變.而如果它們不貼合，產生一段空隙，以沿光軸的距離度量，空隙為 $Delta z$ ，則整體的出射光會產生位移 $Delta y.$ 它們之間的關係為 $Delta y=delta z(n-1)alpha$ .這就可以將微小的位移 $Delta y$ 轉換成較大的位移 $Delta z$ 來讀數，從而實現微小位移的測量.