n階行列式的計算方法

考試前突擊總結一下！希望能有點幫助

n階行列式的計算

一、基本方法

1.用n階行列式定義計算。

當題目中出現低階行列式，如二階或三階。

當出現特殊結構

2.用n階行列式的性質，將一般行列式轉化為上（下）三角行列式

如行列互換，行列倍乘倍加，行列相同或成比例，對換位置符號改變

3.用n階行列式的展開定理

一般思想為降階，按某一行或某一列展開

4.其他技巧

遞推、數學歸納法、加邊法、拆項法、利用范德蒙行列式的結論

二、例題

1. 利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

對任意的 n（n≥2），n階范德蒙德行列式等於a1，a2，...，an這n個數的所有可能的差ai-aj（1≤j<i≤n）的乘積

變形：

各行元素是一個數的不同方冪，方冪次數遞升，但是是從1遞升至n-1，標準形式應為從0遞升至n。

方法：提取每一行公因子，轉化為標準形式

此時右端行列式為范德蒙行列式的轉置，由范德蒙行列式定義可得

練習：

思路：依次將上一行的-1倍加到下一行，得到范德蒙行列式

2. 加邊法（升階法）：在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變

特徵：行列式每行或每列除對角線上元素外分別是某些數的同一倍元

e.g.

觀察可知，除對角線元素外，其他各行各列的元素都是同一元素的同一唄元

以第一列舉例，除x1外，各列依次是a1的bi倍

加邊得

用第一行的-bn倍加到下面的行得

此時原行列式轉化為箭形（爪形）行列式，可由箭形行列式方法計算

箭形行列式的計算會在下面提到。

練習：

觀察可知，除對角線元素外，每一列都是一個數的同一倍元

每一行元素減去第一行元素得

轉換為箭形行列式計算

3. 箭形（爪形）行列式

特徵：兩邊加一條對角線

計算目標：將第一行或第一列除a11以外元素全化為0

e.g.

當ai不等於0，將行列式中i=1列乘以-ci/ai後加到第一列，可將第一列其他元素全化為零。

4. 拆項法計算特殊行列式

特點：主對角線的上下方元素分別相同，符號相反

思路：將左上角x改寫為（x-a）+a,第一列-a改寫為0+（-a），則第一列各元素均為兩項之和

由行列式的性質可拆分成兩個行列式

K

第一個行列式由遞推公式計算，第二個行列式每一行分別加第一行，再根據第一列展開

可得

此時重新拆分，令第一行x=（x+a）-a

同理

可得Dn=

由Dn的兩個表達式中消去Dn-1

練習：

觀察此行列式，需對一般方法進行變形，考慮到等會兒會用到遞推，所以此時拆項不應該從a11開始，應從ann開始

觀察左邊行列式可以根據遞推，右邊行列式第n列全為a，可考慮提取a

右邊行列式每下面一行減去上面一行得

Dn=

又由行列式得轉置與原行列式相等，將a,b換位

根據Dn的兩個表達式消去Dn-1即可

Dn=

注意，需討論a是否與b相等

5. 三對角線形行列式

特點：主對角線與上下兩條對角線組成

計算目標：將對角線上下兩條線中某一條的元素全化為0

或使用遞推法

e.g.

思路，用下面每一行乘以第一行的倍數相加，使最下面對角線元素均為零

如第二行加第一行的-1/2倍，第三行加新第二行的-2/3倍

最終得到

易知Dn=n+1

先總結這麼多啦，之後想到其他的再補充！