如何比較通俗的理解薛定諤方程？

12-22

謝邀。
但這題我不會。我覺得薛定諤方程就已經是對量子力學最通俗的理解了。量子力學很難理解，但是因為有了薛定諤方程，我們可以去計算它的力學行為，並且發現了很多量子力學的現象。
薛定諤方程，是做研究的人理解量子力學最通俗的途徑，但絕不是唯一的路徑。通俗來說，薛定諤方程就是一個偏微分方程，一個二階波動方程，理解它是需要微積分的基礎的，但這已經是最低的要求了。但是通俗到微積分的基礎都可以不需要的話，我覺得純粹在耍流氓。
量子力學中糾纏，測量等概念雖然深刻，但通俗解釋起來反而容易一點，一般人也都能感受到的。但是正因為如此，這些概念才會被惡人們隨意嫁接肆意濫用吧。其實問題，就是因為我們還不能寫出一個關於糾纏或測量的方程式來啊。

下面的僅僅是一些粗略的理解，實際上薛定諤方程本身已經是很直接了。。。
首先，假設微觀粒子都可以寫成平面波，而平面波一般都會寫成 $sim e^{iold{k} cdot old{x}}$ .
其次，我們知道與k和x對應的還有能量E和時間t（因為四矢量 $k^{mu}=(E,old{k}), x^{mu}=(t,old{x})$ ），所以我們預期平面波解會變成 $sim e^{-iEt}e^{iold{k} cdot old{x}}$ .
再者，如果我們只關注波傳播時能量的變換的話，我們需要的是對時間的微分，而時間的微分作用到上面的平面波會變成能量， $ipartial_t ightarrow E$ .
最後，廣義上而言，我們不希望方程是非常trivial的，所以，我們將能量E換成一個廣義的算符H（因為H廣義上是可以含時的以及可以是有空間依賴的）。
於是，我們就有了薛定諤方程。

薛定諤方程是在描述粒子運動的概率位置（軌跡），是根據物質波湊出來的，是個符合事實的假說（類似於牛頓的萬有引力公式）。

關於理論建立增加點通俗易懂的。首先理論意思是我們認為的世界運行的方式。
我們現在嘗試建立一個關於什麼是狗的理論，簡稱狗理論。
我們引入假設，也就是狗的定義嘍。那麼我們定義所有有四條腿的，有鼻子眼睛耳朵，會汪汪叫，的生物是狗。

好了，理論建立完畢。但是隔壁王老二也和我一樣在研究什麼是狗。然後他很不服氣，把他家的狗砍斷了兩條腿，然後寫了篇文章提出發現兩條腿的狗，與我的狗理論嚴重不符，是個世紀大發現。
那沒辦法，除了譴責王老二的虐狗行為之外，我的狗理論由於王老二的叫板必須修改。現在改成所有天生的有四條腿的，有鼻子眼睛耳朵，會汪汪叫，的生物是狗。這樣，王老二再折騰他家的狗我就不怕了。
但是王老二靠研究什麼是狗為生，感覺這個領域很火，還能發文章，以後靠它評職稱呢，並不想急著換課題。於是經過王老二的潛心研究，發現了很多天生不會汪汪叫的「狗」，天生三條腿的「狗」........搜集整理一下將結果發表到了Nature上，試圖給我的理論致命的一擊。
然後我故伎重施，將狗狗理論加上先天疾病除外，所有天生的有四條腿的，有鼻子眼睛耳朵，會汪汪叫，的生物是狗。王老二作為反對者當然不服，表示我的理論漏洞百出，不簡潔，並且直言我沒本事，在學界招搖撞騙混飯吃，更無恥地揭發我的隱私。我對王老二早有不滿，說他根本是沒事找事兒，吃飽了撐的。於是兩大門派開始掐架，大家誰也不理誰。
最後的最後，某個人發現了一種叫基因的東西，指出所有擁有狗基因的生物就叫狗。我和王老二同時歇菜。然後我的理論被稱為經典特徵識別理論，現在新的理論被稱為基因識別理論。
但是，狗的耳朵，鼻子，眼睛，聲音我們都能直觀看得到，所以那時候類似王老二和我懂「狗」的人很多。但是現在這個基於基因的理論，大多數人都不懂，畢竟基因看不見又摸不著。看著街上跑來跑去的狗，王老二和我都陷入了深思。。。。。

個人認為，這個問題應該從怎樣建立一個理論的方向來答。建立一個理論，首先要定義一些概念（物理量），有的概念比較直觀易懂（力，速度，加速度），有的則比較晦澀（波函數）。然後利用這些概念進行一些假設，有的假設一看就明白，有的假設則雲里霧裡。我們圍繞這個觀點，通過比較經典力學和量子力學的概念和假設對題主的問題嘗試論之。
先說量子力學，我們知道，量子力學有五大假設。第一，波函數假設。即有種東西（實際上不確定是不是一種東西，物質）名為波函數，在坐標表象下微觀粒子的狀態採用波函數來描述。更一般的，應該說是採用無窮維希爾伯特空間中的矢量來描述。（這裡無窮維希爾伯特空間是線性代數里的內容）
那麼波函數怎麼描述微觀粒子呢，或者說從波函數怎樣得到微觀粒子的位置，動量這些信息呢。引入第二個和第三個假設。即空間坐標x和動量p都要寫成希爾伯特空間中的算符，其他力學量w（x，p）算符為算符x，p的函數。每個算符有自己的本徵值和對應的本徵矢，其本徵值就是我們可以測量得到的物理量（動量，坐標等等）。那麼好了從線性代數里，我們知道有物理意義的力學量算符都必須是厄米算符，這樣他們的本徵值都是實數，且其本徵矢量都是正交完備的。這樣描述粒子的波函數總可以用力學量算符的本徵矢量進行展開，測量時到底得到哪個本徵值是不確定的，只能事先算得概率分布。

這樣，波函數實際上包含了所研究系統的全部信息。那麼問題只剩一個，這個所謂的，怪怪的波函數怎麼得到。這由第四個假定得出，即波函數可以通過求解薛定諤方程得到。
好了，題主的問題是怎麼理解薛定諤方程，我的答案是，沒法兒理解，至少現在沒法理解。因為薛定諤方程是量子力學的基本假設之一，只能通過實驗驗證，不能再在量子力學框架之中給出其他更深刻的解釋。費曼路徑積分跟它是等價的，不過展現了量子力學是經典力學的拓展版，即量子力學裡求解傳播子路徑積分要對所有可能路徑積分，而經典力學裡只對使得作用量最小的路徑積分。而從薛定諤方程出發，可利用哈密頓量本徵值和本徵矢構造傳播子。
現在對這些個假設進行討論，之所以很多人說量子力學有問題，無非是覺得這些假設很扯蛋。比如題主就會問啥是波函數，為啥是薛定諤方程而不是張三兒方程，李四兒方程。而且這些假定感覺很不直觀呀，還要學線性代數，看著就不簡明。那麼其實這些個問題在很多人覺得很棒（對）的經典力學中依然存在。下面我們看看經典力學是由哪些個假定構成的。
經典力學說，每個系統呀有種東西叫做作用量（action）耶，作用量S[q(t)]為系統拉格朗日量的對時間的積分，且系統唯一的運動路徑q(t)必須使S[q(t)]處於極值（一階變分為零）。這個原理叫哈密頓原理，或者最小作用量原理。
那麼題主是不是又要問，尼瑪，有這種事？作用量是啥，真的存在嗎？運動軌跡還必須使得作用量為極值，這麼特殊，搞笑呢？好了答案呼之欲出。哈密頓原理可以導出拉格朗日方程和哈密頓方程，是經典力學裡的基本假設，在經典力學框架下沒法兒進行更深刻的解釋。不過我們看到，在量子力學的費曼解釋中，使得S[q(t)]達到極值的經典路徑不再特殊，而是跟所有可能路徑一樣參與路徑積分，只不過偏離經典路徑的部分都干涉相消了，似乎是給了哈密頓原理一個解釋（補充）。這樣也許對薛定諤方程的理解必須要等以後發現量子力學預測與實驗不符，新理論構造出來了後才能有一個解釋（補充）。
參考：1. Goldstein.H..Classical.mechanics
2. Ramamurti_Shankar Principles_of_Quantum_Mechanic

3. wiki：Hamiltons principle

當時de Broglie提出物質波假設後，就自然產生了一個問題：既然實物粒子是波，那麼實物粒子一定有其波函數，以及對應的波動方程來描述它。
Schr?dinger做的工作大概就是去解決上面提出的問題。
對於一個自由粒子，顯然其動量不變，由de Broglie物質波公式 $lambda=frac{h}{p}$ ，與其對應的波長也不變，即為最簡單的平面單色波的情形，可以將波函數寫作 $A{ m cos}(vec kcdot vec r-omega t)$ 。
為了簡化計算，可以寫作複數的形式，並將波函數記作 $psi$ ，有
$psi =Ae^{i(vec kcdot vec r-omega t)}$
上式中，等式兩邊對時間求偏導，有
$frac{partial}{partial t}psi=-iomega Ae^{i(vec kcdot vec r-omega t)}=-iomega psi$
對上式等式兩邊同乘一個 $ihbar$ ，並且由Plank的量子化條件 $E=h u$ ，易得 $E=hbar omega$ ，因此有
$ihbar frac{partial psi}{partial t}=hbar omega psi=Epsi$ (*)

再對於波函數 $psi =Ae^{i(vec kcdot vec r-omega t)}$ 兩邊對位置矢量 $vec r$ 求兩階導數，有
$abla ^2psi=-k^2psi$
考慮到 $p=hbar k$ ，對上式兩邊同乘 $hbar^2$ ，有
$hbar^2 abla^2psi=-hbar^2k^2psi=-p^2psi$
又考慮到在非相對論情況下，能量和動量的關係為 $E=frac{p^2}{2m}$ ，在上式兩邊同除 $-2m$ ，得到
$-frac{hbar^2}{2m} abla^2psi=frac{p^2}{2m}psi=Epsi$ (**)
由(*)式和(**)式，容易得到
$ihbarfrac{partial}{partial t}psi=-frac{hbar^2}{2m} abla^2psi$
這就得到了自由粒子的Schr?dinger方程。如果考慮勢能函數的話稍微麻煩一點點，也可以類似地得出。從Schr?dinger方程出發可以推導出氫原子光譜，而且以當時物理學家熟悉的微分方程的形式給出，因此獲得了當時物理學界的肯定。上面的推導過程在原子物理學或者初等量子力學的書裡面都能找到，沒有用到量子力學裡面算符的概念...我覺得已經非常通俗易懂了...
我覺得如果是初學的話，自己動手推導一遍會理解地更深刻一點。

量子態的時間演化方程，但是不能包括測量時態塌縮的過程。

雖然老師說書上那麼推是瞎扯的，但是我感覺很有道理「系統總能量等於動能加勢能」

H=E

我當初學的時候就是很困惑為什麼這個方程突然就憑空出來了沒有任何和之前理論的聯繫。後來發現兩點
1，可以簡單的認為薛定諤方程就是一個基本定義沒有為什麼。量子就是遵守這個規則沒有為什麼。
2, 硬要說為什麼，其實可以說。如果analog一下，和classical mechanics的聯繫還是有的。classical mechanics 有很多不同的formalisms，比如說基於Newtons law， lagrangian, hamiltonian。這些不同的formalism相當於是對同一個物體的不同角度描述，本質上都是等價的。其中有一個formalism： Possion bracket，可以把經典力學的基本公式（比如牛頓三定律就是newton formalism的基本公式， lagrangian 就是lagranian formalism的基本公式）寫成非常接近薛定諤方程的表達形式。在這個基礎上，如果加上quantum的特性，即i和har，那麼就可以得到薛定諤方程了。
這個辦法somehow聯繫了經典力學和量子力學，不過這只是analog，不是嚴謹的推導。
ps 量子力學是出名的難理解和反常識，所以通俗的理解大概不存在。

能量守恆

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