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【乾貨004】秒殺抽象函數奇偶性、周期性、對稱性問題

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寫在前面：

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今天和大家分享的是函數性質結論大綜合：

這類試題包括確定函數周期性、對稱性、利用周期性求解析式或函數值、利用對稱性進行圖像變換，都是高考的熱點及重點．常與函數的圖象及其他性質交匯命題．題型多以選擇題、填空題形式出現，函數的周期性、對稱性常與函數的其他性質，如與單調性、奇偶性相結合求函數值或參數的取值範圍。備考時應加強對這部分內容的訓練。

眾所周知，函數的性質包括單調性，奇偶性，周期性和對稱性等等，考試的時候往往會把這些性質放在一起考察，遇到抽象函數就更加不知所措，因為題目中給出的表達式我們往往會看不懂，或者不明白出題人想要傳達的意思，比如說下面這個題目（來源：東北三省三校2017年高三第二次聯合模擬考試理科數學試題第8題）：

已知偶函數 $f(x)$ 的定義域為 $R，$ 若 $f(x-1)$ 為奇函數，且 $f(2)=3$ ，則 $f(5)+f(6)$ 的值為（）

$A. -3$

$B. -2$

$C.2$

$D.3$

如果大家不知道如何下手，一定跟著我看完下面的結論，推導過程不要求掌握，但是我一定會給大家講解如何理解這些公式與結論，盡量給大家通俗易懂的講解出來並且能夠快速記住並且應用到題目當中。

第1組：函數圖象自身的對稱性——軸對稱

特殊的：

（1）滿足條件 $f(－x)＝f(x)$ 的函數 $y＝f(x)$ 的圖象關於直線 $x＝0$ 對稱；

（2）滿足條件 $f(a－x)＝f(a＋x)$ 的函數 $y＝f(x)$ 的圖象關於直線 $x＝a$ 對稱；

（3）滿足條件 $f(2a－x)＝f(x)$ 的函數 $y＝f(x)$ 的圖象關於直線 $x＝a$ 對稱；

一般的：

（4）滿足條件 $f(a－x)＝f(b＋x)$ 的函數 $y＝f(x)$ 的圖象關於直線 $x=frac{(a-x)+(b+x)}{2}$ 對稱.

如何理解公式如下：

第2組：函數圖象自身的對稱性——中心對稱

特殊的：

（1）滿足條件f(－x)＋f(x)＝0的函數y＝f(x)的圖象關於點（0，0）對稱；

（2）滿足條件f(2a－x)＋f(x)＝0的函數y＝f(x)的圖象關於點（a，0）對稱；

（3）滿足條件f(a－x)＋f(a＋x)＝0的函數y＝f(x)的圖象關於點（a，0）對稱；

（4）滿足條件f(a－x)＋f(b＋x)＝0的函數y＝f(x)的圖象關於點 $(frac{a+b}{2},0)$ 對稱；

（5）滿足條件f(2a－x)＋f(x)＝2b的函數y＝f(x)的圖象關於點（a，b）對稱；

（6）滿足條件f(a－x)＋f(a＋x)＝2b的函數y＝f(x)的圖象關於點（a，b）對稱；

一般的：

（7）滿足條件f(a－x)＋f(b＋x)＝c的函數y＝f(x)的圖象關於點 $(frac{a+b}{2},frac{c}{2})$ 對稱；

以上命題的逆命題均成立，即滿足對稱的條件都是充要條件．

第3組：函數的周期性及其推廣

函數周期性的推廣（設a＞0）

（1）滿足條件f(x±a)＝f(x)的函數y＝f(x)是以a為一個周期的周期函數；

（2）滿足條件f(x±a)＝－f(x)的函數y＝f(x)是以2a為一個周期的周期函數；

（3）滿足條件f(x＋a)＝f(x＋b)的函數y＝f(x)是以∣b－a∣為一個周期的周期函數

（4）滿足條件 $f(x±a)＝-frac{1}{f(x)}$ 的函數y＝f(x)是以2a為一個周期的周期函數；

（5）滿足條件 $f(x+a)＝frac{1-f(x)}{1+f(x)}(f(x)≠-1)$ 的函數y＝f(x)是以2a為一個周期的周期函數；

（6）滿足條件 $f(x+a)＝frac{1+f(x)}{1-f(x)}(f(x)≠1)$ 的函數y＝f(x)是以4a為一個周期的周期函數；

（7）滿足條件 $f(x)＝1－frac{1}{f(x+a)}$ 的函數y＝f(x)是以3a為一個周期的周期函數；

（8）滿足條件f(x+a)＝f(x)-f(x-a)的函數y＝f(x)是以6a為一個周期的周期函數。

這裡插播一道2009年山東卷高考數學題目（2009年普通高等學校招生全國統一考試(山東卷數學理科）選擇題第10題：

有沒有感覺到很快很給力，我們接下來繼續剩下的兩組。大家剛開始用的時候可能不太熟練，一但練習多了熟練起來，這類問題會變得很簡單。

第4組：函數的對稱性與周期性的關係

（1）若函數y＝f(x)的圖象有兩條對稱軸x＝a和x＝b或有兩個對稱中心（a，0）和（b，0）（a≠b），則f(x)必為周期函數，且 $2left| b-a ight|$ 是它的一個周期；

（2）若y＝f(x)的圖象有一對稱軸x＝a和一個對稱中心（b，0）（a≠b），則f(x)必為周期函數，且 $4left| b-a ight|$ 是它的一個周期.

第5組：函數的奇偶性及其變形

弄清下列概念：

（1）若函數y＝f(x)是偶函數，則f(x－a)=f(－x＋a)，反之也成立．

（2）若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則f(x＋a)＝f(-x＋a)，反之也成立．

（3）若函數y＝f(x)是奇函數，則f(x－a)＝-f(-x＋a)，反之也成立．

（4）若函數y＝f(x＋a)是奇函數，則f(－x＋a)＝-f(x＋a)，反之也成立．

今天需要講解的知識乾貨已經結束，大家趁熱打鐵，看看我們文章剛開始的這個題目，瞬間簡單爆炸對不對：

已知偶函數f(x)的定義域為R，若f(x-1)為奇函數，且f(2)=3，則f(5)+f(6)的值為（）

A． -3 B． -2 C． 2 D．3

我們接著看幾道題目鞏固一下：

第1題（2018年普通高等學校招生全國統一考試2卷選擇題理科數學第11題）：

已知f(x)是定義域為(-∞, +∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+?+f(50)=

A．-50

B．0

C．2

D．50

第2題（2009年普通高等學校招生全國統一考試高考理科數學第11題）：

函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( )

(A) f(x)是偶函數

(B) f(x)是奇函數

(C) f(x)=f(x+2)

(D) f(x+3)是奇函數

第3題（2016年高考四川卷）：

已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時 $，f(x)=4^x，$ 則 $f(-frac{5}{2})+f(1) =$

第4題（2016年普通高等學校招生全國統一考試2卷選擇題理科數學第12題）：

完美結束。

如果大家看完這篇文章，能有很大的收穫，我就開心啦。希望大家喜歡，更多文章敬請期待。

END

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