框圖化簡規則and梅森公式

上回我們說到了由工作原理圖求出系統傳遞函數的第一種方法，那種方法並不是這一章的重點，根據你的目標院校的大綱來選擇是否重點複習。本章真正的重點是今天要介紹的第二種方法，具體方法如下：

1. 由工作原理圖畫出方框圖；

2. 將方框圖中的元部件用其傳遞函數代替，得到系統結構圖；

3.利用方框圖化簡方法或者梅森增益公式得到系統傳遞函數。

其中前兩步是不需要我們來完成的，重點自然是由結構圖用兩種方法求解系統傳遞函數。

在介紹這兩種方法之前，我們先要明白為什麼可以「寫出元部件的傳遞函數"，當你做上一篇文章對應題目時你會發現，兩個系統結構、元部件完全不同的兩個系統，可能它們的傳遞函數是一樣的，這個時候，我們可以說它們屬於同一環節，並且我們可以證明任何複雜的環節都可以用一些基本的環節所構成，我們把這些基本環節稱為「典型環節」，下面就是所以的典型環節：

（1）比例環節K

（2）慣性環節1/（TS+1），式中T＞0

（3）一階微分環節（TS+1），式中T＞0

（4）積分環節1/S

（5）微分環節S

（6）振蕩環節1/（S2/ω2n+2ξS/ωn+1），式中ωn＞0，0＜ξ＜1

（7）二階微分環節（S/ω2n）2+2ξS/ωn+1，式中ωn＞0，0＜ξ＜1

這些一定要牢牢記住，這在後續課程中會反反覆復的提起。

一. 結構圖化簡

好，現在終於終於可以聊這章的重點內容了，先介紹第一種方法，即通過框圖化簡來求系統的傳遞函數，這種方法需要我們記憶框圖變換規則，對於這些規則，我只說說兩個「點」（引出點和比較點）的移動規則，其餘規則都很好理解。

在框圖中，對於一個點的移動（先不考慮是哪種點），可以這樣來看：點向前移———相當於除以G（s）；點向後移———相當於乘以G（s）。（理解為什麼會這樣）

那麼我們只需要記憶對於比較點，是完全符合上面規則的點；而引出點剛好和以上的規則相反，也就是說

比較點：點前移——相當於除以——就是除以G（s）；

點後移——相當於乘以——就是乘以G（s）。

引出點：點前移——相當於除以——實際為乘以G（s）；

點後移——相當於乘以——實際為除以G（s）。

恩，這樣理解的記憶是不是就好記憶了。。。。。

遇到框圖化簡的題，首先應該做的就是觀察前向通道，把引出點和引出點合併，比較點和比較點合併，但注意兩種點不要交叉移動，這種處理方法基本適用於大多數的題目，比如下題：

【例1】

分析：觀察前向通道，可以看出前面倆比較點和後面倆引出點可以合併。

解：

注意記清比較點和引出點在前移、後移時該除以還是乘以G（s）。

當然了考研題目不會這麼簡單，有一類題目會把不該合併的引出點或者比較點合併了起來，方法就是將這些不該成雙成對的點拆開，找到真正適合它的，然後湊成一對。。。。下面來看題：

【例2】

分析：由圖知，1號點其實為倆比較點合併的，但這點讓圖變複雜了，所以本題關鍵就是將改點拆開，同時也把2號點拆開。

解：

拆開後，注意標紅圈的比較點，下一步就是找到最適宜和它結合的點，自然想到的是右下角的比較點。

本題最易出錯的就是標紅圈部分，一定要注意，此時合併後的比較點為正反饋，因為兩個比較點的「負負為正」，但是，上面並聯的那股通路G1連接的比較點仍未負！

接下來再看一道比較點聯合的點：

【例3】

分析：圖中標箭頭的比較點就是讓框圖複雜的罪魁禍首！現在拆散它們，讓圖看起來舒服一點。

解：

很好，拆開就舒服多了，現在再把箭頭所指的比較點和前面的比較點結合，但要注意箭頭所指的引出點也要拆開，這一步的計算很重要！

紅筆圈住的部分你算對了沒有？接下來可就簡單了。

（看不清就算了，會方法就成）

上面這些基本上就是你在變換過程中會遇到的所有問題了，但是你以為這就完了？當然不是，還有一種常規方法無法解決的問題。

在框圖化簡中，還有一個相當不常用的方法，那就是交換比較點、引出點，如下

這種方法不到萬不得已是不會去使用它的，除非上面的方法都失效，只能交換比較點和引出點。

除去上面的題型，還有一類題，老師辛辛苦苦畫了一個框圖，肯定不甘心只讓你求個閉環傳遞函數，所以這部分題會引入擾動N（s），求誤差傳遞函數等一系列函數，在扯這部分題之前，先聊聊到底有什麼傳遞函數，如下圖，為一個典型的負反饋系統：

1. 開環傳遞函數（很重要，後面經常用到）

注意：這並不是開環系統的傳遞函數，可以記憶為：前向通道傳遞函數和反饋通道傳遞函數的乘積.。

2.給定信號R（s）的系統閉環傳遞函數

此時將擾動信號D（s）看成0。

3.擾動信號D（s）的系統閉環傳遞函數

此時將R（s）看為0，系統結構圖變為：

4.給定信號R（s）的系統誤差傳遞函數

此時系統結構圖可以看成：

5.擾動信號D（s）的系統誤差傳遞函數

這5個傳遞函數一定要牢牢記住，後四個在「穩態誤差」部分用的尤其多。

這部分最後一類題就是求這些傳遞函數，看一道例題：

【例4】

分析：此題加入了擾動信號，並且並不僅僅是求閉環傳遞函數，還有其餘的。不過觀察前向通道，可以發現多個點可合併，難度不大。

解：（1）

反饋通道傳函為：

（2）

備註：「欲使輸出不受擾動影響」這種問法要熟悉，要知道這是要求誰，在穩定誤差部分會頻繁的考查。

二. 梅森公式

終於把由系統結構圖求傳遞函數的第一種方法說完了，從上面的題可以看出，框圖化簡很麻煩，要畫出化簡的每一步框圖，這就決定了再考試中用的不多，考試中遇到這種題用的最多的方法是第二種方法，下面介紹第二種方法，也就是梅森增益公式。對於初學者來說，還做不到直接由系統結構圖列寫梅森公式，所以我們要先把結構圖轉化為信號流圖，轉化過程中有兩點需要注意：

（1）引出點在前，比較點在後——兩個點不可合併

（2）比較點在前，引出點在後——兩個點合併為一個點

接下來需要牢記的就是梅森增益公式了，寫公式中哪一步最易錯呢？以我的經驗，最易出現的錯誤是迴路沒有數夠！！！不用遺漏迴路。

廢話不多說，直接看題：

【例5】

分析：這是一個特別常考的結構，因為一般我們會少數一個迴路，遇到這種中間轉圈圈的結構，一定要留個心眼。

解：一下就是那個容易忽略的迴路。

有交叉也沒有關係，時刻緊扣「迴路」的定義，只要不走重複的就可以。

所以就有：

在上一種方法的題型中，遇到引入擾動信號需要求多個傳遞函數的題型，求對應的傳函還需要重新畫圖，用梅森公式可就厲害了，盯著信號流圖就可以了，比如下題：

【例6】

分析：要是用第一種方法，這可就麻煩了，先不說化簡就麻煩，對於後一個傳函就不好求，現在用神器求解。

解：先畫信號流圖

對於信號流圖，只要迴路未變，那麼 就不變，計算下一個傳函時就省事多了。

現在把梅森公式的思維拓展開，應用梅森公式，就可以實現任意制定兩個點，一個作為輸入，一個作為輸出，求該兩點的傳遞函數，是不是省了很多事情，來，繼續看題：

【例7】

分析：直接用梅森公式，可是嗨簡單咧。

總結：看完這兩種方法的對應題型，你會發現第一種很是麻煩，不易求非常規的傳函，對比之下，梅森公式就顯出了它的優越性。考試中一般這塊題是大題第一道，若沒有特殊要求，一定要用梅森公式，即簡單，還不易錯。梅森公式的這種思路，在後續的求穩態誤差部分有更大的應用，一定要掌握它。好啦，下次終於是該講時域分析部分了，下回見。

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