微積分求導問題考辯——不需要極限與無窮小的微積分（下）

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微積分求導問題考辯與新解（下）

----------一種不需要極限與無窮小概念的微積分理論詮釋

沈衛國

（西北工業大學前邏輯與人工智慧研究所，西安 710072）

摘要：在前期工作的基礎上，更為詳盡地分析、論證了微積分求導過程中的問題：試圖用極限法（所謂第二代微積分）解決牛頓、萊布尼茲法（第一代微積分）中貝克萊悖論不可能。並明確指出貝克萊悖論產生的原因是沒有意識到在求導過程中所作的除法究竟意味著什麼。同時，指出在新的解釋及理解下，牛頓、萊布尼茲法求導（第一代微積分）實際完全足夠，它是充分必要的。而且不再以極限或無窮小作為理論的必要條件。由此，微積分理論不但再無明顯或潛在的邏輯問題，而且可以大為簡化以利於教學和理解。而這也是國內外諸多方面致力於微積分教改的目的所在。同時對導數的實際意義，無論從幾何、物理、邏輯等方面，都可以有更深入和更符合實際的解釋。

關鍵詞：微積分；導數；極限法；無窮小；標準分析；除法本質；貝克萊悖論；割線；切線

微積分理論新解：變數除法的本質與牛頓、萊布尼茲求導法（第一代微積分）可以成立的理由及貝克萊悖論的徹底消除——極限法求導（第二代微積分）不再需要且有錯

如前文所述，以最簡單的自函數y=x的增量函數△y=△x為例，當△x=0時，有△y=0，即0=0，不能由除法得到有意義的增量比值函數△y/△x的值，因為0除以0為0/0。人們承認這是個問題（導致貝克萊悖論），才有極限法的標準分析，認為△y/△x在0點雖然沒有有意義的函數值（即函數值為0/0），但卻可以有有意義的（非0/0型的）不可達意義的極限值。進而用此極限值定義導數。但是，我們看到，當△x→0時，其極限值當然也為0，△y=△x等式兩邊在0點的極限值仍舊是0，也就是0=0，除法仍舊不可為。而不能做除法消去分母上的△x，我們就無法求出△y/△x在△x=0點的有意義的極限值，即充其量得到無意義的極限0/0，與函數值一樣。而要想做除法，△x最小也得是無限小ε，絕對不可能是0，如此，△y/△x有意義的極限就不是△x→0了，而是△x→ε。即為ε/ε=1/1而非0/0（但如此，如所周知，會在二次函數等曲線方程的求導中產生無窮小的捨棄問題）。以上，實際可以看成△y/△x在△x=0點沒有有意義的極限值（即非0/0型的）的一個最簡證明。

因此，變數（函數）除法的本質，是分子（被除式）、分母（除式，不能為0以及極限為0）消去共同的變數因子，使分母上可以以「1」代之。而「1」在數值（也僅在數值意義上）當然可以不寫。這就是所謂「消去」的意義。在物理上，速度就是單位時段走的路。而所謂「單位」，當然就是「1」，如一小時、一分鐘等等，而且通常在分母上。一小時走一公里，和兩小時走兩公里，只是在數值上相等，但含義（信息）並不完全相同。有人可能提出在數值上既然1/1=2/2=3/3......，為什麼不能Δx→2？如果非要如此，當然可以。但不管等於多少，唯獨不允許也得不到Δx→0。要想得到1或2/2=3/3…等，也都要求分母不能等於或趨於0。

通常微積分導數所涉及的分母上的變數是一次的，因此只討論這個情況即可。舉例：如果有(△x)2/△x，則做了「除法」消去分母上的自變數△x後有△x·1/1=△x，而不是簡單地令該式中所有的△x=1得1/1。而對比非變數的3÷2也就是3/2，則可看成是1·5×2/2=1·5×1/1=1·5。即其中2/2摺合成1/1。這裡之所以用「摺合成」這個詞而不用「等於」，是所謂除法不是把1/1「摺合成」2/2，儘管二者在數值上是相等的。即絕對沒有人因為1·5/1=3/2，而反過來認為1·5/1作了「除法」後的結果是3/2的，儘管二者在數值上相等。而1除以△x，則可看成是(1/△x)·△x/△x=(1/△x)·1/1=1/△x。而對自函數△x/△x本身，表面看是直接令其中的△x=1而得之，但實際上嚴格講仍是令△x/△x=1/1而得之。這其實是有本質區別的，從前述二次函數情況可以知道。只不過在此時二者的區別被掩蓋了。實際上，這裡更嚴格地應該是（1×△x）/△x=1×1/1=1。等式最左邊的那個「1」，此時是該特殊的線性函數的係數，只不過此時它為常量1而已。我們之所以如此繁瑣地討論這個問題，是想要看清除法消去分母的本質。總之，所謂變數的除法、分子分母消去自變數△x、消去分母中的自變數等等說法，其實質就是令從變數比值函數中所提取出來的△x/△x=1/1或→1/1（此極限不同於傳統標準分析的不可達極限，這裡這個極限是可達的。因此其實沒必要單獨提出）。

下面我們討論所熟悉的二次函數的增量函數，見公式5。注意，由於此式表示的是二次曲線上的兩個點間的「增量」函數，因此，也完全可以看成是過這兩個點的直線也就是該二次曲線函數的過該兩點的「割線」的增量函數（方程）。此時割線方程中的(2x+△x)，實際是該「線性」方程的係數（斜率），儘管是含有自變數△x的係數（斜率）也罷。這一點在下面的論述中十分重要，而且竟然為以往所忽視。作為實例，現在我們將二次函數的增量函數除以其自變數△x，就是所謂的「增量比值函數」，即文獻2的1式。注意，該式可是作了除法「消去」了分母上的△x的。按前述變數除法的本質，它實際上是(2x+△x)·1/1，即文獻2中的5式或本文中的6式。此時該式應該只能看成是連接二次曲線上二點的割線方程與其自變數△x之比的「增量比值函數」在自變數的增量△x等於1（注意，此時該方程係數K中的自變數△x並不是該線性方程本身的自變數，因為顯然線性方程中的自變數只能是一次的）並且在係數(2x+△x)中的與二次曲線的交點直接相關的那個自變數△x變化時（最終趨於、等於0）始終等於1時的「增量比值函數」【特彆強調，此時的△x=1點，不必也不可能總是是割線與曲線交點。而且1/1原則上也可以是2/2、3/3等等，甚至是「無窮小/無窮小」。只要不是0/0即可。它們最終都可化成1/1。因此「不失一般性」，我們完全可以用1/1代表所有的非0/0數。同時，我們看到這樣處理後的也就是先用除法消去分母上的自變數△x後的方程，不能再看成是二次曲線方程，因為二次曲線方程中的△x是不能分開處理的，必須有一致的數值，比如當△x=1時，它會得到2x+1（即使我們有△x=ε，其中ε為無窮小，我們也只是能得到2x+ε而不是精確的導數值即切線斜率2x），而不像線性方程可以將公式中出現在不同位置的△x分別看成方程本身的△x和方程的係數中的△x】，此時這個線性函數的係數為(2x+△x)，它也是自變數△x的函數，而且如所周知一個線性函數的係數就是這條直線的「斜率」，因此，當一個曲線（此例中是二次曲線）的割線的係數中與交點有關的自變數△x等於0時，也就是曲線與其割線的二交點重合為一點時，自然就是該二次曲線的切線。其斜率為2x，也就是導數。這裡根本不需要極限。就算有，也是可達極限（即在該點不但函數值與極限值都有，而且數值相同）。同時我們也可以這麼理解：就算(2x+△x)·△x/△x中的△x/△x可以不令其為1/1，在這個線性方程與其自變數的比值函數的係數K=2x+△x中的△x=0時，得到2x·（△x/△x），此時無論△x等於什麼，只要不等於0，我們也可看出這裡的2x是該線性方程（這裡已經是切線）的斜率，也就是導數了。

總之，簡要地說，對二次函數的增量△y=（x+△x)2=2x△x+△x2而言，其涉及二次曲線上的兩個點，而過這兩個點的直線是該二次曲線的割線。因此這個△y我們同樣可以看成是這個割線的增量。也就是同一個△y，同一個式子，可有兩種解釋，一曲一直。這裡既然解釋成直線，前式可更明確地寫成通常線性方程的形式：

△y=（2x+△x)·△x

.....................................................（5）

這裡（2x+△x)可看成線性函數的係數也就是「斜率」，習慣上可寫成K。但這裡由於它還是 △x的函數，因此可寫成K（△x）。

5式除以自變數△x，就是該二次曲線的割線的斜率K（△x）。見6式：

K（△x） =△y/△x= K（△x）·△x/△x=（2x+△x)·△x/△x=（2x+△x)·1/1=△y,/1=2x+△x

......................................................（6）

6式最右邊的那個△x，作為割線方程係數中的一部分，為這個割線在二次曲線上的兩個交點的橫坐標（自變數數值）之差。顯然，當這個△x=0時（沒有不可達極限），二交點合一，變成一個交點，此時顯然割線變成了切線。其斜率也就是切線斜率，即導數，數值為2x。這裡特別要注意的是，6式左邊的△y/△x中的△x的取值，是線性方程本身（不包括係數中的△x）的自變數，因此與該線性方程的係數中的那個△x的取值無關。而如果看成是二次曲線的自變數，則方程中的所有△x顯然都要統一取值。正是由於以往論者都沒有看出這二者的區別，才會產生所謂貝克萊悖論的疑難。注意：6式中的△y/△x=△y,/1，△y與△y, 顯然是不同的。由於△y/△x中分母上的△x與分子上的一個△x已經被除法「消去」了（即我們一再強調的△x/△x=1/1），因此係數K（△x）=2x+△x中的△x與它們再無關係了。也許，文獻2公式3、4、5把二者用不同符號分別標記的寫法更明確一些。

允許我們可以這麼理解和操作的代數、幾何基礎，是二次曲線乃至任何曲線上的兩個點，當然只能在這個曲線上；但過這個曲線的割線上的兩個點，不但可以是其與此曲線的兩個交點，也可是該割線上的任何兩點，而不必拘泥於始終在曲線上。如此，才有對割線方程與自變數的比值做除法，消去分子分母中各一個、也僅僅各一個的自變數△x，即△x/△x=1/1=1，實際上就是此割線方程的係數K（△x）中的自變數△x（割線與曲線的兩個交點間的「距離」）→0並最終等於0也就是斜率變化、割線變切線的整個過程中，該方程本身（不涉及係數K）的自變數△x始終等於1，也就是它涉及的直線上的另外兩個點的間距是始終不變的。

在上面對二次函數的討論基礎上，自函數的增量比值函數△x/△x的求導問題，就很好理解了。先前，如果我們只局限於一次求極限過程，那麼就有△x→0與實際求出導數為1的△x→1間的矛盾。而如果是二次求極限，則是第一次的△x→1求出新函數1後再對這個特殊的函數1求△x→0的極限，這當然還是1。但這樣的解釋在細節上是不夠嚴謹的。實際上，仿照二次函數的情況，我們可以把自函數的增量比值函數寫成（而且嚴格講它實際上也就是）：1·△x/△x，這裡的「1」是線性函數的係數K，不過此時它是常數1而已（原先由於是1，省略不寫了）。如此，當第一次所求極限（這裡完全可以就是函數值）△x→1（或者就是△x=1）時，1·△x/△x=1·（1/1），而第二次令△x→0（或就是△x=0）時，此時求的是係數K=1的極限（或函數值），而不是變數的比值（1/1=1）的那個「1」的極限（或函數值）。這就與前面二次函數求導過程完全一致了。

當然，嚴格而言我們也可以有另一種解釋，就是在△x/△x分子分母相除得到1/1=1後，在其後的「第二次令△x→0（或就是△x=0）時」，此時對應的不是係數「1」，而就是分子分母相除中自變數的比值1/1本身，此時其解釋是：當自變數△x≠0也不趨於0的前提下，分子分母相除或可以相除消去各自的△x，也就是各自的△x=1或趨於1得1/1（可看成就是1）這一特性，在△x→0時始終保持著。注意，這裡「自變數△x≠0、同時也不趨於0的前提下」是在先的，是前提，因此絕對不是原函數△x/△x直接在△x→0時的情況。由於此時函數的係數為1，這兩種情況不好區分。但在二次函數時，這種情況對應於令分子分母中所有的△x（而不僅僅是△x/△x）都等於1。此時對應於2x+1而不是2x。

七、導數的一般定義及微分的精確定義

由以上討論可知，導數實際在幾何意義上就是宏觀意義的曲線在某點的切線斜率。根本無須什麼無窮小的「微分三角形」或極限概念。導數的物理意義之一，就是受力做曲線或加速運動的物體在某點瞬間不再受力時的勻速直線運動的速度。同樣沒有必須的極限和無窮小概念。因此，導數顯然可以由很多方法求得，比如文獻4中筆者給出的「代數法」，其數值與求得它的方法、途徑無關。同時可知，把導數無論定義成曲線函數本身的增量比△y/△x（牛頓、萊布尼茲）還是它的所謂極限（極限法、標準分析）都是不行的。這裡給出導數的一般定義：

設有曲線在橫坐標x點的增量（坐標差）函數△y=f（x，△x），其中△x為曲線上二點(x及x+△x）間的橫坐標（自變數）差或曰增量。現將其寫成過此二點的、並且僅取此二交點值的該曲線的割線方程形式為△y=K（x，△x）·△x。這裡的K為該割線的斜率，它同樣是x及△x的函數。顯然，如果割線上的點，並不局限於它與曲線的交點。因此不失一般性，我們令該割線方程中不包括在斜率K中的△x為△g，其為割線上任何二點（不局限於與曲線的交點）的坐標差或增量。相應地，△y也變為△h，也就可得到割線上的不拘於與曲線的交點的一般方程△h=K（x，△x）·△g。顯然，當該割線與曲線的二交點合為一點時，也就是當△x=0（特彆強調，根本無須什麼△x→0）時，該割線變為切線。由此，我們可以得到導數的一般定義：

△h/△g（當△x=0，△g=1時）=K（x，△x）·△g/△g=K（x，0）·1/1=K(x，0）

..........................（7）

幾何意義上，也就是曲線的切線斜率。代數意義上，就是該曲線與某一直線聯立求得重根解時該直線方程中自變數的係數，即斜率。顯然，此定義下不存在貝克萊悖論，也不再需要什麼無窮小、極限概念。而且實際與所謂「第一代微積分」的牛頓、萊布尼茲求導方法相一致，只不過把他們無意中做除法後得到的結果徹底解釋清楚了。換言之，筆者所做的，只是徹底詮釋了牛頓、萊布尼茲求導法，並給出相應的導數定義，使其今後可以放心大膽地使用而已。注意，當曲線與割線的兩個交點合二為一時（△x=0時），作為導數定義的7式最左邊的比式的分母△g=1而不是0，因此不再涉及分母為0所產生的一切問題。這是由於變數除法所要求的△g/△g=1/1=1，而如果把導數直接定義成△y/△x，則無論△x=0還是△x→0，均會產生分母為0（也即0/0）的問題。

很重要的一點，設x1 為上述x及x+△x之間的一點，可令

K（x，△x）=K（x1 ，0）

.......................................................（8）

等式的左邊為曲線兩點間的割線斜率，等式右邊為此兩點間的一點x1的切線斜率（也就是傳統上的該點的導數）。由於二者數值相等（平行線斜率相等。實際上，這就是著名的中值定理），因此該曲線在x1 點的導數（切線斜率），完全可以也定義成過曲線橫坐標x、x+△x兩點的割線斜率。而由8式，x、△x、x1 三者知道兩個，即可求出第三個。於是，導數由原先的只涉及一點可以擴展成涉及兩點，因而原先x1 點的微分，由8式可得

K（x1 ，0）·△x=K（x，△x）·△x=△y

................................................（9）

因此，由9式可以看出，微分也可以被定義成當自變數由x點起始有增量△x時，函數的增量△y，完全沒有了什麼增量△y的「線性主部」dy之類的說法，乾淨利索。

以著名的二次曲線y=x2為例，令

2x+△x=2x1

　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10）

10式等號左邊為割線斜率，右邊為x1點的切線斜率（導數），由x1=x+△x/2可知，x1 ﹥x及x1 ?x+△x,x1即為中值。如將10式兩邊乘以自變數△x，則可得函數微分，即

2x1 ·△x=（2x+△x）·△x=2x·△x+△x2 =△y

..........................................................（11）

很顯然，這正是我們十分熟悉的二次曲線函數的增量。不需要什麼線性主部dy，也沒有什麼「高階無窮小」和極限之類拖泥帶水的說法。

順便提一下：由於此導數的定義無涉無窮小或極限，因此微分的定義，也無涉函數增量的線性部分，它就是函數的增量本身，等於自變數增量的中間某點（中值）的導數與該自變數增量的乘積。因此在此觀點下，所謂的中值定理就不是定理，而是微分定義的出發點。如此，函數自變數的微分定義問題也就是以往dx=△x疑難問題不再存在。函數自變數的微分，就是實實在在的自變數的增量△x，無涉什麼dx。詳情請見文後參考文獻中筆者的詳細論述。

八、積分及其與微分的關係問題

方源、王元所著?微積分（上）?P186定理5.2.8的上確界（l.u.b）和下確界（g.l.b），當二者合二為一時，就是一個「不可達極限」，與極限法求導數的情況一致。因為要「到達」此「確界」，需要小區間△xi=0，但顯然任何有限區間的積分又要求當這個小區間數n趨於無窮多時，這個小區間△xi只能是與「無窮多」相對應的「無窮小」，而不能是0（對無窮個0積分，還是0）。就算把這個0看成是△xi→0，但它肯定也是一個「不可達極限」，也就是這個「確界」是到達不了的。對一個根本就到達不了的「區間」，是無法積分的。而一但可達，再小必是不為0的無窮小區間，如此，其上、下確界差再小也不可能一致（上、下確界不相等），也就是積分時不可能沒有誤差。因此，現有積分理論隱含一個矛盾：精確性要求的小區間的△xi=0與可積性要求的△xi ≠0矛盾。此情況與傳統無窮小法或極限法求導所產生的問題毫無二致，不過更其隱蔽罷了。

在筆者基於增量中值的導數的微分定義以及上文公式9、10、11可以明顯看出（同時由於不再需要無窮小或者並不真的存在的極限作為理論的必要條件），微分與積分在新觀點下並無本質區別。因為只要函數在某區間連續、單調，無論怎麼分割這個區間還是不分割，都會有相應的「中值」，因此正如區間的大小是相對的，微分與積分也是相對的。二者完全可以統一命名。當然在非嚴格的意義上，名詞的區別還是可以保留的：積分是微分的累加或大些的微分；微分是小些的積分或積分的更小部分。可以看出，這個定義完全是相對的。本質是：小的微分的累加成積分，但此積分仍舊可以看成是一個大些的微分。這個觀點，也可以由傳統的微積分基本定理看出（也可以看成是它的一個解釋）：函數的增量等於積分。只不過傳統理論不可能把這個「函數的增量」看成是微分（傳統上微分的定義是函數增量的所謂「線性部分」或「線性主部」），而按筆者理論或者解釋，它完全符合精確的「微分」定義。同時，在筆者解釋或理論下，中值定理的內容，就是理論的出發點，它更多的是定義而不是定理。

此外，傳統極限理論下的微分定義，為了迴避極限（更何況是不可達極限）這個尷尬的概念，只能把微分定義成是（起碼可以是）宏觀量。僅就這一點看，與筆者理論詮釋下的微分概念倒是一致的。但在使用微分（其實也是微分的唯一真正用途）求積分時，傳統理論又不得不令其趨於0，也就是取0為極限。而這一切均被隱蔽於小區間數量的趨於無窮上。於是其實問題又回到了出發點。其微分的宏觀定義，其實是白定義了。

總之，今後的積分，再無lim∫之類表述的必要，也不需要∫，只要∑就完全可以了。

九、總結

至此，我們可以總結如下：

文獻2中的2、5式（即本文6式），就是所謂「第一代微積分」的牛頓、萊布尼茨求導方法的細化，也就是其本來應該有的面目。只不過牛頓、萊布尼茨沒有意識到在這裡除法究竟意味著什麼，因此才會產生所謂貝克萊悖論。其實質是：由於前文已述，所謂二次曲線方程（當然這裡是以此為例，絕不限於此），還可以表示該過該曲線上任意兩個點的割線方程，「一式二義」。由此之故，這既是貝克萊悖論產生的緣由，也是正確求導基礎。一切取決於正確理解。具體說，傳統上的求導公式等式左邊未做除法，分母上的自變數Δx未被消去，因此整個比式中的所有Δx必然同值，這裡實際是二次曲線函數的增量與自變數的增量之比，它如果等於0，在分子上的△y中的所有Δx都要等於0進而導致△y也等於0，即不能不有0/0；而等式右邊做了除法，分子中只有一個作為因子的Δx被與分母中的Δx相除而等於1/1也就是「消去」，這意味著整個比式中實際也就是分子中的兩個Δx一個等於1，一個等於0，因此不會同值了，這是對一次函數也就是線性函數的比值函數中的自變數的「相消」，是線性方程的特性，它分子中其它沒有被消去而保留的Δx，就可看成是線性方程係數中的，也就是只與此線性方程的斜率有關。以往貝克萊悖論的產生，現在徹底清楚了：就是等式左邊由於未做除法保留了分母上的自變數Δx，因此所描述的是曲線方程與其自變數之比，在0點當然會有0/0；而等式右邊實際作了除法，等於是實際上消去了分母上的自變數Δx以及分子上的一個自變數Δx，實質是令二者都等於1了，即得到1/1。此時實際上求的是直線的斜率。不一致了。由此產生了所謂的貝克萊悖論。因此，公式6的最左邊的斜率K（Δx）的表示，還是完全必要的，因為斜率只是與線性函數有關，也就是在曲線與其割線兩種可能的表示之間，明確指明了這裡的△y/Δx實質上已經不是曲線增量函數與其自變數增量之比，而是割線增量函數與自變數增量之比。如此，自然也就沒有了貝克萊悖論。牛頓、萊布尼茲在求導過程中，其實並沒有做錯什麼，只不過沒有了解和闡明他們所做的實質是什麼。他們其實是拘泥於用曲線增量與自變數的增量之比來解釋，而非看成割線增量與自變數增量之比，儘管實際完全可以、而且應該、甚至必須這麼看。但在實際操作上，他們無意中在等式右邊作了除法，實際消去也僅僅消去了分子分母中都作為因子、而且一次的那個Δx，也就是進行了運算Δx/Δx=1/1，但保留了係數中也就是分子中未被除法消去的Δx，這顯然是線性而非曲線函數的操作。因此，斜率或導數是求出來了，但如按曲線而非割線理解就解釋不了。也就是為什麼等式左邊會有那個0/0出現以及如何才能徹底消除它（貝克萊悖論，現在終於可以放心地叫貝克萊佯謬了）。在本文及筆者一系列文章的揭示下，貝克萊悖論被徹底、乾淨地消除，因此第一代微積分中的矛盾不再存在，其原理被清晰表達。它對微積分而言，首先是「充分」的；
由於第一點，因此所謂「第二代微積分」的極限法首先根本就沒有必要了；
由本文及筆者一系列論文的論述，這個極限不僅不必要，而且根本就不存在。因此極限法求導也就是所謂「第二代微積分」根本就是錯的；
在筆者解釋下，第一代微積分可以是充分的。但並非「必要」。原因是導數的定義新、舊不同所致（新導數定義當然對任何求法都是「必要的」。既然導數就是曲線的切線斜率，不再附加任何趨近、無窮小等條件，那麼，完全可以從其它途徑來求得它，比如在文獻4中筆者提出的「解方程法」，直接求出切線方程的係數，也就是斜率、導數。僅在指定用牛、萊法（所謂第一代微積分）去求導數時，筆者的「新詮釋」才是「必要」的；
導數的定義，其實就是（而不僅僅數值上是）：曲線上某點的切線斜率（或由8式界定的過曲線上兩點的割線斜率）。原先理解意義下（嚴格的在曲線上）的一次無窮小或極限在此定義下不僅不必要，而且極限還是不存在的。其本質是：一個曲線線段，無論其多麼的小，也不可能有直線才有的屬性。當然，在割線乃至切線上，我們自然可以定義一次無窮小或極限（還是可達極限），但它對導數定義而言不是必須的。說明白些，導數中的△x根本就不必寫成dx。它就可以是一個宏觀量。也用不著極限lim的表述。在積分上，增量就是長度也就是測度，不用另行定義，很自然，做到了導數、微分與積分的統一描述。更進一步，還可以統一微分法和變分法，解決二者孰優、孰基本的長期爭論。此外，傳統極限法在積分上也會產生問題：不能對一個不可達極限集合去積分或相加，只能對線段、距離、長度去累加也就是積分，哪怕這個線段是無窮小的。這個意義上，非標準分析比標準分析更明確、甚至誠實些：先定義有無窮小，然後再在沒有任何理由的情況下以公理、規則的名義粗暴地捨棄它。
至此，微積分理論不但矛盾消除，而且會大為簡化。微分定義中的dx=△x問題也不再存在。考慮到新的解釋中導數的定義要與第一代微積分不同，由此產生筆者在前期論文中提出的「增量分析」的現實，因此，把它看成有別於現有理論的新理論也並不為過。至於所謂的「近代」或「現代」分析，既然標榜和強調的不過是是抽象的算符、運算元的作用和運算，在筆者看來，就只是一具在華麗、繁複外衣下沒有或抽去靈魂的軀體而已，它當然不可能解決本質性的問題，除非認為不談、少談問題就算解決了問題；
馬克思對微積分素有研究。他當年在其?數學手稿?中明確地說，導數就是0點之值，「數學家們的什麼永遠接近又不可達到之類根本就是昏話」（大意。也就是所謂「不可達極限」的另一個說法）。據說上世紀五、六十年代曾有人認為馬克思?數學手稿?落伍了或根本就是錯的，有損馬克思形象不該出版。但由筆者工作可知，馬克思實際上比這些人有遠見的多。此外，馬克思強調要用辯證法來看待微積分求導問題，筆者認為，這就涉及一個點的兩種「角色」：它即是曲線上的一個點，又是曲線在該點的切線上的點。而我們所求，正是該切線的斜率。這又涉及切線上的兩個點，而且明確說這兩個點的距離完全可以是宏觀量，不必是無窮小，更不是根本就不存在的所謂不可達極限。這裡，這個角度看是曲線，那個角度看是直線；這個角度看是一點，那個角度看又是兩點，完全具有辯證法的意味[4]（當然，在前述導數的割線定義下，它各自涉及曲線、割線上的兩個點）。篇幅所限，這裡不詳述。有興趣的讀者可參看筆者前期有關對辯證法本質詮釋的專文。
對於非標準分析，篇幅所限，無法詳論。但正如斯圖爾特所說：「非標準分析.......不用在各種借口的掩蓋下，把額外的△x去掉，而是很清楚地把它刪除。非標準分析的教程好像是在展示（柯朗和羅賓花了很多篇幅想讓我們避免的）錯誤。」（?數學是什麼?，P544）。非標準分析實質上是在一些艱澀名詞、理論的掩飾下，又重新回到了牛頓的直接捨棄所謂「高階無窮小」（只是用了所謂「取標準實數」這個新說法），它比極限法的所謂標準分析唯一的好處，就是少了些似是而非的兜圈子。但不得不說，比較起來，還是牛頓更直截了當些。既然很多論者都說標準、非標準分析是等價的，那麼，前者碰到的問題它也都迴避不了。正如威廉姆森所言（大意）：極限法與無窮小法的非標準分析的區別，只是前者在「計算結束前」一直保留「高階消去項」，直到最後才去掉；而後者是一開始就去掉（徐利治，論無窮，P71）。因此，一些人想用它來取代標準分析作為微積分的改革，不會成功。這基本上已為實踐所證實。除非在筆者解釋下，無窮小在新理論中當然完全可以代替任意宏觀量而出現，而且不會被最終捨棄，因此與新理論並不矛盾。只不過它不是必要的。這一點它比極限法要強的多。
最後再簡要地討論下「羅比塔法則」的問題。表面上看，它可以求0/0類型的「不定式極限」，但這是涉及計算層面，而不能作為導數的定義。因為顯然，微積分標準分析對導數的定義是函數的增量比值函數在自變數趨於0時的極限值，因此如果現在又說這個極限等於分子上的函數的導數與分母上的函數的導數之比，這當然是循環定義。也就是，羅比塔法則可以用於相應函數的導數的計算，而不能用於定義。

參考文獻

[1] 莫紹揆.試論微分的本質.南京大學學報(自然科學),1994年第03期

[2] 沈衛國.論增量分析視野下的測度問題、微積分求導及連續統的可數性.前沿科學，2017年03期.

[3] 方源,王元.微積分（上）.高等教育出版社，2014年7月第一版.

[4] 沈衛國.論微積分求導公式的一種全新推導模式(解方程法)及貝克萊悖論的徹底消除.天津職業院校聯合學報，2013年2期.

[5] 沈衛國.微積分核心概念的無矛盾表述——不需要無窮小、極限等概念的增量分析.天津職業院校聯合學報，2015年05期.

[6] 沈衛國.微積分核心概念的無矛盾表述（續）——不需要無窮小、極限等概念的增量分析.天津職業院校聯合學報，2015年11期.

[7] 沈衛國.微積分極限法（標準分析）的本質及問題詳析.天津職業院校聯合學報，2017年06期.

作者簡介：沈衛國（1950-）男，上海人，前區域供熱雜誌主編，西北工業大學原邏輯與人工智慧研究所研究員，中國人民大學原現代邏輯與人工智慧研究所研究員，主要研究計算機控制系統，數學基礎理論等。

Differentiation of calculus and new solutions.

Shen weiguo

(former institute of logic and artificial intelligence, northwest university of technology, xi an 710072)

Abstract: On the basis of previous work, in view of the question may be, a more detailed analysis, demonstrates the problems in the process of derivation calculus: try to use limit method (the so-called second generation calculus) solving Newton, leibniz method (the first generation of calculus) in Berkeley paradox.The reasons and solutions of the Berkeley paradox are clearly put forward.At the same time, it is pointed out that under the new interpretation and understanding, the derivation of Newton and leibniz method (first-generation calculus) is completely sufficient and is necessary.And it is no longer necessary for the theory of limit or infinitesimal.Therefore, the calculus theory not only has no obvious or potential logic problems, but can be greatly simplified to facilitate teaching and understanding.And this is the purpose of the calculus reform in many aspects at home and abroad.At the same time, the practical significance of the derivative, no matter from geometry, physics, logic and so on, can have a deeper and more realistic interpretation.

Keywords: Calculus;Derivative;Limit method;An infinitesimal.Standard analysis;The essence of division;The Berkeley paradox;Secant;The tangent