13、隨機變數之和、卷積（正式）

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13、隨機變數之和、卷積（正式）

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說明：

本欄我分為「草稿」、「正式」——

「草稿」為講課流程、PPT詳細思路；

「正式」指經重點的提取。

禁轉。

知乎：曦微

若Z=X+Y

則有下面：

1??離散： $p_{Z}(z)=sum_{x=-infty}^{infty} p_{X,Y}(x,z-x)=sum_{y=-infty}^{infty} p_{X,Y}(z-y,y)$

$p_{Z}(z)$ 表達各個p(x,z-x)相加，或者，各個p(z-y,y)相加

2?? 連續： $f_{Z}(z)=int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,z-x)dx=int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}(z-y,y)dy$

若X、Y獨立，則上面的1和2繼續拆解，有下面：

1??離散： $p_{Z}(z)=sum_{x=-infty}^{infty} p_{X,Y}(x,z-x)=sum_{y=-infty}^{infty} p_{X,Y}(z-y,y)$

$=sum_{x=-infty}^{infty} p_{X}(x)cdot p_{Y}(z-x)=sum_{y=-infty}^{infty} p_{X}(z-y)cdot p_{Y}(y)$ ——(卷積詳細公式)

$=p_{X}(z)*p_{Y}(z)$ ——(卷積簡寫)

2??連續： $f_{Z}(z)=int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,z-x)dx=int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}(z-y,y)dy$

$=int_{-infty}^{infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx=int_{-infty}^{infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$ ——(卷積詳細公式)

$=f_{X}(z)*f_{Y}(z)$ ——(卷積簡寫)

（其中 * 符號不是「乘」的意思，它特別指在做「卷積」，即是「卷積的詳細公式」）

卷積：

又稱「摺積」「旋積」

英語：Convolution

簡寫：

1?? $p_{X}(z)*p_{Y}(z)$

代表了 $sum_{x=-infty}^{infty} p_{X}(x)cdot p_{Y}(z-x)$ 或者 $sum_{y=-infty}^{infty} p_{X}(z-y)cdot p_{Y}(y)$

2?? $f_{X}(z)*f_{Y}(z)$

代表了 $int_{-infty}^{infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$ 或者 $int_{-infty}^{infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$

其中 * 符號不是「乘」的意思，它特別指在做「卷積」,即表達了備註中的完整公式。

若Z=X+Y+A+B+C+D+E+F+G+......

即Z等於的不只有兩個隨機變數，還有多個隨機變數相加，

且X+Y+A+B+C+D+E+F+G+......獨立，

則有：

離散： $p_{Z}(z)=p_{X}(z)*p_{Y}(z)*p_{A}(z)*p_{B}(z)*p_{C}(z)......$

連續： $f_{Z}(z)=f_{X}(z)*f_{Y}(z)*f_{A}(z)*f_{B}(z)*f_{C}(z)......$