區域不變定理

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區域不變定理

來自專欄分析的那些事63 人贊了文章

在列車上閑來無事，一邊顛簸，一邊更新一波專欄，如有什麼問題，節後修改，謝謝：

次日更新，我把latex換成了知乎自己的編輯了：

我之所以寫這個文章是很多同學問我下面的問題：

假設

$f:mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$

是連續的雙射，那麼它的逆是否連續。這個問題還有多種變形：如果 $n eq m$ ，是否存在一個雙射 $f:mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$ 使得 $f$ 和它的逆都是連續的。這些問題都能用區域不變定理(invariance of domain)來回答。類似的問題我在知乎上回答了不下3次了。

要理解這個定理你多多少少需要代數拓撲的知識，但是這個結果的最早證明是基於Brouwer不動點定理，

Brouwer 不動點定理：設 $B^n$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的單位閉球，而 $F:B^n o B^n$ 是一個連續函數。則存在 $xin B^n$ 使得 $F(x)=x$ 成立.

很巧的是這個定理我在自己的專欄文章中介紹過了，鏈接放在下面，裡面提供了多種證明，其中好幾種並不依賴於代數拓撲的知識。當然了，我還是提倡有能力去學一學代數拓撲的語言，這個文章是提供一種純分析的角度罷了。

dhchen：Banach空間和不動點定理（完）：有趣的Brouwer不動點?

zhuanlan.zhihu.com

我基於陶哲軒博客的note寫成這個文章，大家可以通過先理解Brouwer不動點定理，然後基於這個定理理解區域不變定理。要比較好的更上我的思路，你得理解如何用開集/閉集刻畫連續性。這點你可以參考rudin的數學分析原理。這點很重要，這也是我為什麼在我後續的一個live不斷強調從這些性質去理解連續性。

定理一（區域不變定理）：設 $Usubset mathbb{R}^n$ 是一個開區域，並且

$f:U o mathbb{R}^n$

是連續的單射，那麼 $f$ 把 $U$ 中的每個開集映射為 $mathbb{R}^n$ 中的開集。

一、整體理解思路：

在這一小節我們只談總體思路，大家可以先去把握整體的思路，甚至可以自己嘗試把細節補充上。我會把具體的細節會放到下一個小節中，大家可以相互參照。

要理解區域不變定理，你得接受Brouwer不動點定理，這個定理的一維形式很簡單，此時 $B^1=[-1,1]$ . 此時我們考慮方程

$F(x)=x-f(x)$

由於 $F(-1)leq 0, F(1)geq 0$ . 介值定理就能保證存在一個點 $xiin [-1,1]$ 使得 $F(xi)=0$ , 也就是說不動點存在。對於二維的情況，我們想像自己在喝一杯奶茶，然後用湯匙攪動它，你會發現它總是有一個「點」在攪動的時候不變，穩定在那裡，這就是不動點的。對於類似的n維球，裡面是流體，你也可以想像一下，是否存在一種連續「流動」使得每個點都變化呢？所以，Brouwer不動點定理是非常符合普通人的幾何直覺的。至於它的具體數學證明，大家可以參考我的文章「有趣的Brouwer不動點定理」。

首先，我們把原定理「退化」成下面的形式。

定理二（區域不變定理的雛形）: 設 $f:B^n o mathbb{R}^n$ 是連續的單射，那麼 $f(B^n)$ 的內部必然包含 $f(0)$ 。

這個是區域不變定理的局部形式，它和原表述是完全等價的。由於 $B^n$ 是一個緊集，那麼 $Y:=f(B^n)$ 也是 $mathbb{R}^n$ 中的緊集。我們考慮一下函數 $f^{-1}:Y o B^n$ ，這個函數是連續的。因為對於任意 $B^n$ 中的閉集 $C$ , $(f^{-1})^{-1}(C)=f(C)$ 是一個閉集。這是連續性一種等價條件。然後，我們把連續函數 $f^{-1}:Y o B^n$ 延拓成一個連續函數 $G:mathbb{R}^n o B^n$ 。這個函數有一個零點 $f(0)$ 。這個函數的具體的構造是無所謂的，重要的這個函數一定會滿足下面的結果。

引理1(零點穩定性)： 假設連續函數 $hat{G}:Y o :mathbb{R}^n$ 滿足

(1): $sup_{yin f(B^n)}|hat{G}(y)-G(y)|leq 1$

那麼 $hat{G}$ 在 $f(B^n)$ 上也有一個零點。

這個結果是基於Brouwer不動點的，而這個結果我們證明區域不變定理的基點。因為我們會證明，如果 $f(0)$ 不在 $f(B^n)$ 的內部，我們可以構造一個連續函數 $hat{G}$ ，它滿足引理一中的條件，但是它沒有零點。這個矛盾就證明了區域不變定理。

要理解這個構造，我們先深入研究 $G$ . $f(0)$ 是 $G$ 在 $Y$ 上的唯一零點。根據 $G$ 連續性，我們知道在 $f(0)$ 的某個領域 $V$ 附近的值可以很小，而在這個領域外, $G$ 的模長嚴格大於0。如果我們能構造一個連續映射

$Phi(x)=egin{cases} xquad forall, xin Yackslash V\ otin V quadforall, xin V end{cases}$

那麼複合函數 $Gcirc Phi$ 就是連續並且在 $Y$ 沒有0點的函數。但是，因為$Phi$的值域有可能包含在 $Y$ 中，導致 $Gcirc Phi$ 變成我們不認識的東西，也就是有可能會產生0點。為了規避這個問題，我們找到 $G$ 的一個多項式逼近，保證 $Pcirc Phi$ 在 $Y$ 上連續而且沒有0點的函數。

二、數學細節

零點穩定性引理的證明：

構造

$F(x)=x-hat{G}(f(x))$

則這個函數的不動點 $x$ 的象 $f(x)$ 就是 $hat{G}(x)$ 的零點。因為

$F(x)=G(f(x))-hat{G}(f(x)),$

所以(1)相當於 $sup_{xin B^n}|F(x)|leq 1$ . 也就是說， $F(B^n)subset B^n$

根據Brouwer不動點定理， $F$ 在 $B^n$ 上有不動點。

定理二的證明：

這裡按照我們上面的思路，因為 $G$ 連續，所以存在$r>0$使得對於任意 $yin Y, |y-f(0)|<2$ , 估計

(2) $|G(y)|=|G(f(0))-G(y)|<1/5$

成立。因為 $f(0)$ 不是內點，所以存在 $cinmathbb{R}^nackslash f(B^n)$ 使得 $|c-f(0)|<r$ . 不妨設 $c=0$ . 根據這個結果和(2)我們可得在區域 $V:={yin Y;|y|<r}$ 上，函數具備估計 $|G(y)|<frac{1}{5}$ 。這個結果也對任意 $|y|<r$ 成立。然後，我們定義

$Phi(y)=max{frac{r}{|y|},1}y$

這個拉伸函數可以吧 $V$ 拉到進

$K_0:={yin mathbb{R}^n, |y|=r}$

而且在 $K_1:={yin Y; |y|geq r}$ 上滿足 $Phi(y)equiv y$ .

在緊集 $K_0cup K_1$ 上，根據威爾斯特拉斯定理，對於任意 $delta>0$ (具體的數值待定), 我們總可以找到一個多項式 $P$ 使得

(3) $|P(y)-G(y)|<delta quad forall yin K_0cup K_1.$

我們只要選取足夠小的 $delta$ 和足夠好的 $P$ 就能使得它在 $K_0cup K_1$ 上沒有零點。首先，因為 $G$ 在 $K_1$ 上沒有零點，然後只要 $delta$ 充分小，那麼 $P$ 在 $K_1$ 上沒有零點。但是，這個時候 $P$ 有可能在 $K_0$ 上取到零點。但是 $K_0$ 是零測度集，所以 $P(K_0)$ 依然是零測度集合。即使 $0in P(K_0)$ , 對於任意小的 $epsilon>0$ ，集合 $B_epsilon(0):={xin mathbb{R}^n, |x|<epsilon}$ 不能在 $P(K_0)$ 內，也就是說存在 $cin B_epsilon(0)$ 使得 $c+P(K_0) ot i 0$ . 這個小擾動保證了我們總可以找到多項式 $P$ 使得它在 $K_0$ 上沒有零點。到此，我們設