突破慣性思維的桎梏，用平移解決線段和最值

來自專欄愛數學做數學

線段和最短問題源自於八年級的課題學習《最短路徑》，通常情況下，我們是將線段和轉換成一條線段，然後尋求其最值，在這個過程中，轉換方法有平移法、旋轉法、軸對稱法等，求最值時可利用勾股定理等構造二次函數求解，可以說，這類問題綜合了代數和幾何中的常見數學思想，對鍛煉學生思維有極大的幫助。

在解決此類問題時，由於方法多樣，所以試錯不可避免，每個人都有其習慣思維，先用什麼方法再用什麼方法嘗試均不相同，但是，嘗試結果是否成功如何判斷？新的方法如何引出來？這些問題的高效解決，是解題成功的必經之路，下面以一道數學習題為例：

題目

如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且EF⊥AC於點M，連接AF、CE，求AF+CE的最小值。

思路分析：

首先明確大體方向，即將AF和CE通過轉換，構成一條線段，然後再尋找它的最小值，下面開始嘗試：

軸對稱相信是條件反射般的第一選擇，畢竟在將軍飲馬問題中，它給我們的印象實在太深，如圖一：

看著這兩種輔助線作法，達到目的了嗎？無論是將CE轉換成CE還是將AF轉換成AF，都未能將這兩條「分離」的線段拼成一條。

接下來的嘗試則是由圖中的直角聯想的勾股定理，仔細研究這兩個動點，其實可以看成只有一個動點，即AC上的點M，於是似乎找到了根源，把AM設為x，將AF和CE分別用含x的代數式表示，然後列成二次函數，豈不是能解決掉它？如圖二：

又陷入死胡同了，如此複雜的根式，又無法列成二次函數表達式。

然後嘗試平移法，將兩條線段「接」到一起，如圖三：

過點E作AF平行線，過點A作EF平行線，兩條線交於點N，於是構造出了一個平行四邊形ANEF，將AF轉換到了NE，於是我們可觀察NE與CE之和，連接CN，則線段和最短應為CN的長，剩下問題則是如何求CN的長度。

在研究動點M如何運動時，我們發現，線段EF始終保持與AC垂直，而矩形長寬又是定值，所以EF長度也是定值，同時由於前面第二次嘗試中相似三角形的證明，還能知道EF與AB夾角為定值，於是我們在第三次嘗試中可直接應用上述結論，即平行四邊形ANEF中，AN其實是一條不動的邊，因為它與EF平行且相等，點A不動，因此它不動，那麼點N自然也不會動，這樣，動點問題中的最值一下子轉換成了求固定線段CN的長度，在明確了CN是定線段之後，剩下的任務便輕鬆了許多。

觀察新得到的Rt△ACN，兩條直角邊均可求，分別是√5和2√5，所以由勾股定理求得CN=5，即AF+CE最小值為5.

反思：

慣性思維的確在某種程度上是制約解題的因素，雖然有時它也會快速幫我們找到思路，但往往只在平時變式訓練中作用較大，等到中考，各類知識綜合起來，再依賴慣性，負面作用卻更大一些。

而試錯，則是數學解題中的必經之路，同時，在試錯過程中，得出的某些正確的結論，則直接為正確的思路打下了基礎，正如上題中試錯過程中，得到的結論，有些恰好是正確解法中的部分，所以，在思考過程中，只要認真想，總會有幫助。

所以我們在平時訓練時，除了注重變式之外，一定要注意方法的歸納與總結，這不是形式主義，而是真的要用心去總結。

思考沒有白走的路，每一步都算數。