MP31：經典Maxwell方程與狹義相對論的起源

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來自專欄數學物理私塾課7 人贊了文章

現在開始相對論。相對論在很多人眼裡是哲學，講到Einstein簡直是神學。大可不必這樣，我想用平實的語言讓大家了解到，（狹義）相對論是多麼自然的一件事。實際上Einstein的論文就叫做Zur Elektrodynamik bewegter K?rper, Annalen der Physik. 17:891-921.（運動物體的電動力學）。只需要在Maxwell方程上考慮運動，可以有一套邏輯得到相對論：

Maxwell方程的解是電磁波的波動方程，電磁波的波動方程在Galileo變換下會變化，於是我們面臨兩個選擇：

要麼電磁波和機械波一樣依賴於靜止的介質——以太，於是相對於介質靜止的時空是不一樣的，是一個特殊的絕對時空；
要麼光速 $c$ 不滿足疊加原理，在所有參考系相等，Galileo變換不適合

Michelson-Morley實驗給出了光速不變的結果。為了適應這個結果有了Lorentz變換，然而Lorentz變換一開始是計算的便利，可以湊出光速不變的結果，但缺少理解的高度。Poincaré提出的相對性原理，認為所有物理定律都不能區分相對勻速的坐標系，這世界上並沒有絕對坐標系。這些都把物理學的研究推向第二種選擇。

Einstein的一個重要進展/腦洞是拋棄了分離的時空。簡單講，一切事物都有一個恆定的運動速度——光速 $c$ 。在坐標系中所能觀測的速度是光速在時間和空間兩個正交坐標軸上的投影：

$v_x^2 + v_t^2 = c^2$

空間速度 $v_x$ 和時間速度 $v_t$ 合成了光速，這就是勾股定理。

我們看到的靜止物體 $v_x=0$ ，它在時間上流逝得最快 $v_t=c$
我們看到滿速運動的光 $v_x=c$ （譬如遙遠的天體），它自古以來到現在都沒有老去 $v_t=0$

有了這樣的理解，便可以自然理解所謂的高速運動中的時鐘變慢、尺度縮短的現象了。接下來就是自然而然的，以Minkowski空間為時空模型，Lorentz變換為變換群，推演出完整的狹義相對論，使得經典Maxwell方程有了四維的相對論形式，而Galileo群成為Lorentz群的低速極限從而有了Newton力學。

經典Maxwell方程

國際單位制中真空Maxwell方程組為：

$egin{cases} ext{rot} B = mu_0varepsilon_0 frac{partial E}{partial t} + mu_0j \ ext{rot} E = -frac{partial B}{partial t} \ ext{div} B = 0 \ ext{div} E = ho/varepsilon_0 end{cases}$

或者寫為

$egin{cases} abla imes B = mu_0varepsilon_0 frac{partial E}{partial t} + mu_0j \ abla imes E = -frac{partial B}{partial t} \ abla cdot B = 0 \ abla cdot E = ho/varepsilon_0 end{cases}$

分別來自Ampere-Maxwell定律、Faraday電磁感應定律、Gauss磁場定律、Gauss電場定律的物理結論。其中各種常數依標準教科書。歸一化的Maxwell方程簡化為：

$egin{cases} abla cdot B = 0 \ abla imes E + frac{partial B}{partial t} = 0 \ abla cdot E = ho \ abla imes B - frac{partial E}{partial t} = j end{cases}$

電磁波的波動方程

現在考慮Maxwell方程在沒有電荷和電流的區域的解。根據Farady電磁感應定律：

$abla imes E + frac{partial B}{partial t} = 0$

左邊求旋度：

$abla imes ( abla imes E + frac{partial B}{partial t}) = abla imes ( abla imes E) + abla imes frac{partial B}{partial t}$

第一項代入電場散度：

$abla imes ( abla imes E) = abla ( abla cdot E) - abla^2 E = - abla^2 E$

第二項代入Ampere-Maxwell定律：

$abla imes frac{partial B}{partial t} = frac{partial ( abla imes B)}{partial t} = frac{partial^2 E}{partial t^2}$

於是：

$- abla^2 E + frac{partial^2 E}{partial t^2} = 0$

即

$abla^2 E = frac{partial^2 E}{partial t^2}$

類似可以導出磁場的方程：

$abla^2 B = frac{partial^2 B}{partial t^2}$

電場和磁場的方程具有相同形式：

$egin{cases} abla^2 E = frac{partial^2 E}{partial t^2} \ abla^2 B = frac{partial^2 B}{partial t^2} end{cases}$

或者簡化為

$( abla^2 - partial_t^2 ) varphi = 0$

我們過去從運算元角度分析過特徵值和復結構問題，這裡Maxwell方程的解正好給我們一個複習的例子：
MP3：SO(2)的求導：運算元譜分析和復結構
令 $X(t,mathbb{R}^3)$ 為 $mathbb{R}^3$ 上定義的實變三維向量場，電場和磁場函數均視作
$varphi in X(t,mathbb{R}^3)$

空間中的運算元作用為：
$abla^2: X(t,mathbb{R}^3) o X(t,mathbb{R}^3)$
$frac{partial^2}{partial t^2}: X(t,mathbb{R}^3) o X(t,mathbb{R}^3)$
於是在運算元作用下，有了復結構，其解就是波動方程。

Galileo變換和以太

$4$ -維仿射空間 $A^4$ 中的點稱為世界點(world point)或事件(event)，直白講就是把事件發生的時間地點寫在一個坐標中。這個仿射空間的平移變換群就是 $mathbb{R}^4$ 。兩個參考系可以視為兩個 $4$ -仿射空間，當它們以勻速 $v$ 相對運動時，我們可以在速度方向上建立空間坐標，使得參考系的相互關係成為：

$egin{cases} x^prime = x - vt \ y^prime = y \ z^prime = z \ t^prime = t end{cases}$

稱為Galileo變換。Galileo變換的集合具有群的結構，稱為Galileo群。將仿射空間 $(x,y,z,t)$ 上的波動方程

$( abla^2 - partial_t^2 ) varphi = 0$

經過Galileo變換可以得到仿射空間 $(x^prime,y^prime,z^prime,t^prime)$ 上的運算元方程：

$Bigg[ abla^2 - frac{(v cdot abla + partial_t)^2}{c^2} Bigg] varphi = 0$

與力學方程不同，以上方程只在一個特定的慣性系中才等效於Maxwell方程。即，力學現象不能區分慣性系，而電磁現象可以判定哪個慣性系是絕對靜止的。於是我們面臨兩個選擇：

要麼電磁波和機械波一樣依賴於靜止的介質——以太，於是相對於介質靜止的時空是不一樣的，是一個特殊的絕對時空；
要麼光速 $c$ 不滿足疊加原理，在所有參考系相等，Galileo變換不適合

光速不變性、Lorentz變換

Michelson-Morley實驗給出了光速不變的結果。為了適應這個結果，給出變換：

$egin{cases} x^prime = frac{1}{sqrt{1 - v^2/c^2}} (x - vt) \ y^prime = y \ z^prime = z \ t^prime = frac{1}{sqrt{1 - v^2/c^2}} (t - xv/c^2) end{cases}$

稱為Lorentz變換。看上去很複雜，我們先理解它的低速極限就是Galileo變換：

$lim_{v ightarrow 0}{x^prime = lim_{v ightarrow 0} { frac{1}{sqrt{1 - v^2/c^2}} (x - vt)}} = x - vt$

$lim_{v ightarrow 0}{t^prime = lim_{v ightarrow 0} { frac{1}{sqrt{1 - v^2/c^2}} (t - xv/c^2)}} = t$

所以說Newton力學就是低速版的相對論力學。然而，滿足以上極限條件的變換很多，Lorentz變換有什麼不一樣的地方呢？我們看到Lorentz變換中多次出現的

$alpha = sqrt{1 - v^2/c^2}$

有何感想？我首先想到的是為了不對負數開根號，必須保證

$|v| leq |c|$

也就是說，沒有超過光速的速度。

其次，由於 $v^2/c^2 geq 0$ ，於是

$alpha = sqrt{1 - v^2/c^2} leq 1$

最後，我想到了勾股定理：

$alpha^2 = 1 - v^2/c^2$

$alpha^2 + v^2/c^2 = 1$

$(alpha c)^2 + v^2 = c^2$

由於 $alpha leq 1$ 於是 $alpha c leq c$ ，於是我們發現恆定不變的光速 $c$ 是兩個速度 $alpha c$ 和 $v$ 的組合，或者說這兩個速度是光速在正交基上的投影。實際上Lorentz變換的光速不變性可以藉助這一性質證明。前面講過Maxwell方程經過Galileo變換可以得到仿射空間 $(x^prime,y^prime,z^prime,t^prime)$ 上的運算元方程：

$Bigg[ abla^2 - frac{(v cdot abla + partial_t)^2}{c^2} Bigg] varphi = 0$

用Lorentz變換替代，則可以類似地消去變化項，得到不變的形式（證略）：

$( abla^2 - partial_t^2 ) varphi = 0$

Einstein的時空觀

Einstein在這些基礎上拋棄了分離的時空。我們剛才看到Lorentz變換可以用兩個速度合成光速，而更進一步，在Einstein的時空觀中，一切事物都有一個恆定的運動速度——光速 $c$ 。在坐標系中所能觀測的速度是光速在時間和空間兩個正交坐標軸上的投影：

$v_x^2 + v_t^2 = c^2$

空間速度 $v_x$ 和時間速度 $v_t$ 合成了光速。

我們看到的靜止物體 $v_x=0$ ，它在時間上流逝得最快 $v_t=c$
我們看到滿速運動的光 $v_x=c$ （譬如遙遠的天體），它自古以來到現在都沒有老去 $v_t=0$