3. MIT線性代數---矩陣乘法和逆矩陣
來自專欄人工智慧隨筆
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前面簡單介紹了矩陣乘法和逆矩陣，這一節我們將從不同的角度認識矩陣的乘法，並介紹逆矩陣的相關知識以及如何求解逆矩陣。
1. 矩陣乘法
1.1 行列內積
首先了解矩陣乘法運算過程中單個元素的求解：
比如取矩陣C中的一個元素 ，下標的意義是
，下標和乘法計算密切相關。
等於A中對應的第3行向量與B中對應的第4列向量的數量積。如圖所示：
得到：
推廣：
因為矩陣的乘法是A的行向量點乘B的列向量，因此，矩陣A和矩陣B想乘的充要條件是A的列數必須與B的行數相同。同時結果矩陣C的行數等於A的行數，C的列數等於B的列數，如下所示：
1.2 列組合
之前我們講過，矩陣與列向量的乘積，得到一個列向量：
那麼對於矩陣間乘法，可以把矩陣B的每一列看做A中列向量線性組合的係數。
上面的運算矩陣A左乘B的第j個列向量，求得的結果就是C矩陣的第j列，即C的第j列是A的列向量以B的第j列元素作為係數所求得的線性組合：
以上公式可以理解為$C$ 中每一個列向量$ 都可以看做矩陣A的列向量的線性組合，而 B 其實是在告訴我們，要以什麼樣的方式組合 A 中的列向量。
1.3 行組合
同理，我們也學過行向量與矩陣的乘積，得到一個行向量：
那麼對於矩陣間乘法，可以把矩陣A的每一行看做B中行向量線性組合的係數。
上面的運算為A的第i個行向量左乘矩陣B，求得的結果就是C矩陣的第i行，即C的第i行是$B$的行向量以A的第i行作為係數所求的的線性組合：
以上公式可以理解為C中各行是B中各行向量的線性組合，矩陣A其實是在告訴我們，要以什麼樣的方式組合B中的行向量。
1.4 列乘以行
常規方法計算 矩陣乘法時，使用A的行向量乘以B的列向量得到C中的各個位置的元素。
而我們這次介紹的是A的列向量乘以B的行向量得到各個矩陣，再將各個矩陣相加，得到C。
注意這裡每一次都是用列向量與行向量相乘得到一個矩陣，而每次得到的矩陣都是有特點的，比如 ，這其中得到的矩陣
每一列都是和列向量
同向，也可以說都在
這條直線上，列空間是一條直線。同理每一行都在
這條直線上，行空間是一條直線。
1.5 分塊做乘法
分塊乘法就是宏觀上的矩陣乘法：
其中 與
都是劃分之後的一塊塊矩陣，只要A與B分塊相互匹配，就可以用這樣的分塊乘法求解。
2 逆矩陣
2.1 逆矩陣介紹
對於一方陣A， 如果A可逆，就存在一個 ，使得：
注意：只有方陣才有逆矩陣，並不是所有的方陣都有逆，對於可逆的矩陣，我們又稱為非奇異矩陣。
可以通過以下三種方法證明矩陣 不可逆：
法1：可以通過對應的行列式為0來判斷這個矩陣不可逆。
法2：從矩陣兩個列向量 間線性相關判斷這個矩陣不可逆。
法3： 若存在非零向量X，滿足 則，A就不可逆。
? 首先假設A存在逆 ，那麼
。
? 對於 ，左右兩邊左乘矩陣
，可得
，則X = 0。
? 但是我們的X是非0向量，所以矛盾，則可證明A為不可逆的。
2.2 逆矩陣的求解
通過這個表達式去求解a、b、c、d，從而獲得逆。在這個表達式中求解係數，也不是很容易。它等價於求解兩個方程組。如下：
這裡介紹了一種方法是Gauss-Jordan消元法，同時在構造的增廣矩陣中對兩個方程進行消元。構造的增廣矩陣及消元變換如下：
於是，我們就將矩陣從 變為
，逆矩陣為
, 檢驗一下
，正確。
而Gauss-Jordan當法的本質是使用消元矩陣E，對A進行操作， ，利用一步步消元有
，進而得到
，其實這個消元矩陣E就是
，而高斯-若爾當法中的I只是負責記錄消元的每一步操作，待消元完成，逆矩陣就自然出現了。
這裡簡單介紹一下Gauss-Jordan消元法和Gauss消元法的區別：Gauss消元法僅僅從上到下消元，得到上三角矩陣；Gauss-Jordan消元法最後得到的是單位矩陣。
2.3 逆矩陣性質
- 假設方陣A，B可逆，
：對於單個方陣，轉置與取逆兩個運算順序可顛倒。
?
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