22、正定矩陣、正定二次型、半負定

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22、正定矩陣、正定二次型、半負定

來自專欄 Personal experience of linear algebra4 人贊了文章

這是上一章21二次型的續章節。二次型（下）。

本文重點介紹正定矩陣和正定二次型。內容簡單，閱讀時間四十五分鐘內。

本章參考視頻有，廈門大學—高等代數、清華—線性代數（馬輝）、麻省理工—線性代數

本人只記錄實用的，不會所有都寫進去。

正定矩陣雖然之前19章已經提到過，但具體的判定要需要學習。

1、正定矩陣A是對稱矩陣中的一種。其特點是：

（1）A的所有特徵值都是正的

（2）矩陣A行最簡的主元都是正的。也就是對角陣是正的，對角元也是正的。

（3）正定矩陣A化為二次型後， $X^{T}AX>0$

（4） $E_{11}>0$ ，並且行列式detA>0

以上4條，只要任意一條成立（其它三條也必然成立），即可以認為在對稱矩陣的前提下，這個對稱矩陣是「正定矩陣」。

注意：

$X^{T}AX$ 可以將

x寫為[x1,x2,...,xn]

xT寫為：

...

然後這兩個向量再和A左右相乘。

但其實運用上一章二次型的方法，「將A矩陣去寫成二次型方程」，就是 $X^{T}AX$ ，

比如：A矩陣為

2 6

6 20

轉為二次型為 $f(x_{1},x_{2})=2{x_{1}}^{2}+20{x_{2}}^{2}+12x_{1}x_{2}$

這個二次型剛好等於用三個矩陣相乘 $X^{T}AX$ 的值。

2、半正定矩陣：

正定矩陣行列式detA>0，而當行列式detA≥0時，這個對稱矩陣是半正定矩陣。

性質是：（基於首先是個對稱矩陣的前提下）

（1）每個特徵值大於或等於0

（2）detA≥0

舉個例子吧：

有二階矩陣A：

2 6

6 ？

?號這個位置，如果等於18就是半正定矩陣，因為行列式為0；如果大於18就是正定矩陣，det>0。

另外如果是

2 6

6 18

用二次型判定即是：

$2{x_{1}}^{2}+18{x_{2}}^{2}+12x_{1}x_{2}$ 這個式子的結果 x存在有可能讓整個式子等於0的情況，所以是半正定。

而

對於

2 6

6 20

$2{x_{1}}^{2}+20{x_{2}}^{2}+12x_{1}x_{2}$ 這個式子的結果恆大於0，所以是正定。

另外:

通過矩陣是正定矩陣，我們可以轉化為xTAx ,所代表的二次型方程的二階導數必然為正數，那麼即是有最小值。

3、判定極大極小值：

若二次型方程一階導數必為0，則有極值，但不清楚極大還是極小；

二階導數為正，是最小值；是一個U型曲線

二階導數為負，是最大值。是一個倒U型曲線。

引申：

當det=0時，必能化簡有0行或0列，為奇異矩陣（參見之前章節中「運轉路線」）

也就是說如果這是個半正定矩陣，那麼一定是奇異矩陣，不可逆矩陣。

如果是正定矩陣，就是非奇異的，可逆矩陣，滿秩，不降維。

4、正定二次型：

（概念）

在第1點補充注意部分，提及矩陣A可以寫成 $X^{T}AX$ ，去判斷正定性質，

而A矩陣用上一章「矩陣化二次型」的方法得到的「二次型方程」就正是 $X^{T}AX$ 。

那麼，

如果這個矩陣A對應的二次型方程，去除方程中未知數全部取0的情況，方程恆大於0，那這個二次型方程就稱之為「正定二次型」。

也就是：

$f(x_{1},x_{2},x_{3}...，x_{n})=某某某二次型方程 > 0$

永遠都大於0，

且判定大於0的條件是基於「去除x1,x2,...xn全部取0」的情況。（注意：是不全為0，也就是多個未知數中，可以取0，但不要全部取0.）

這就是正定二次型。

判斷正定二次型的計算方法和「不全為0」的理解，見本章第6點。

5、負定型、半負定型、不定型、正定型、半正定型：

正定矩陣對應正定二次型（正定型）,

半正定矩陣對應半正定二次型（半正定型），

還有負定型、半負定型、不定型：

看下書上概念：

註：

正定型和負定型統稱"不定型"。

即是前者方程恆大於0，後者方程恆小於0，這兩種都屬於不定型。

6、判斷正定二次型的計算方法: 配方法

運用配方法：

（1）化為：

可見如果不取0，這個方程恆大於0，所以它是正定矩陣。

假若取0，為了不違反「未知數不能全為0」的先決條件，那只是x1取0，x2不能取0；

又或者x2取0，x1不能取0，這樣也可以。無論哪種情況，都是恆大於0，正定矩陣。

（2）（3）

（2）的情況，顯然x1=x2時，方程為0；但如果x1不等於x2，方程大於0.

所以方程≥0，為半正定矩陣、半正定型。

（3）將第一項拆分為 ${x_{1}}^{2}+frac{9}{4}{x_{2}}^{2}-3x_{1}x_{2}$ ，然後和 $frac{5}{4}{x_{2}}^{2}$ 比較大小，發現當x1=1，x2=1，時候，左邊為0.25，右邊為四分之五，所以小減大是小於零的；但這個二次型方程更加易知大於0的情況。