3、獨立性、古典概率（正式）

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3、獨立性、古典概率（正式）

來自專欄概率

說明：

此是，本人聽葉丙成老師「概率課」筆記、心得。

「概率」欄中，不包含「統計學」。難度本科。

本欄我分為「草稿」、「正式」——

「草稿」為講課流程、PPT詳細思路；

「正式」指經重點的提取。

這是「概率1」，今後，許是會補上「概率2」。

禁轉。

獨立

獨立即是： $P(A)P(B)=P(Acap B)$

原因是：對於 $P(Acap B) =P(A|B)P(B);=P(B|A)P(A)$
A不基於B，B發生或者不發生都對A無影響，即可以捨去條件概率中的B，捨去後就是一條獨立公式。
常用來處理AB兩事件是否獨立開。是否有關聯、有交在一起。

概念：每個實驗的概率相等。

每個概率計算都要考慮三個隱含的問題：

一、小事件可以區分嗎？

（兩個完全一樣白球，沒法區分；一個白球有一個瑕疵，一個白球沒有瑕疵，可區分；小明，小花，可區分；）

二、小事件可以放回嗎？

三、小事件的順序先後不同是否存在結果的差異？

從n物取k次，或說，從n物取k物體，一共有三種可能的狀況而導致出現的不同次數（次數，非概率）

1??有放回，即「每次不會衰減」， $n^{k}$

2??無放回，即「每次都會基於上次結果進行執行衰減」， $frac{n!}{(n-k)!}$

3??順序不同沒影響，即出現「重複」問題， $k！$

1和2問題顯然互斥，

「1和3」問題存在可能在現實中相交的情況，「2和3」問題也同樣，那麼當多個事件出現的問題組合在一起時，比如1和3，或者2和3，根據實際情況，執行除法。

4??二項式係數：當2和3共同出現時，即「有區分、無放回、排序不同無影響」：

稱為「組合」，「組合」的次數是： $frac{n!}{(n-k)!k!}$

5??多項式係數：二項式係數顯然是研究一次實驗的事件出現次數，而當出現多次實驗，且多次實驗中：每次實驗都基於上一次實驗進行無放回，那麼多項式係數，即是多次實驗的總次數為： $frac{n!}{n_1!n_2!......n_m!}$ （——這就是多項式係數、也是多項式定理。）

多項式問題中，每一個結果的概率都為： $x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}......x_{m}^{n_{m}}$

所以關於多項式問題的總概率為： $frac{n!}{n_1!n_2!......n_m!}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}......x_{m}^{n_{m}}$

（x代表每一種不同的結果的概率，n代表這種結果被取出的次數）注意先判斷是：1、有區分；2、無放回；3、排序不同不影響；這種組合類型才能用該式

備註1：以上我們常用來判斷k>1，即是取N物，而當k=1時，那就很簡單了，在公式裡面，k=1直接乘於1就消失了。
備註2：在算概率時，要考慮有多少種組合，然後在判斷組合時，我們要根據三個隱含的問題提前區分組合次數的公式。