【高等數學】極限概念辨析

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【高等數學】極限概念辨析

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關於數列極限的定義，函數極限與數列極限的關係，可參閱：

張敬信：【高等數學】：從聚點的角度談數列極限?

zhuanlan.zhihu.com張敬信：【高等數學】函數極限以及與數列極限的關係?

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一、數列極限

數列極限的 $varepsilon-N$ 語言定義為：

$lim_{n o infty} a_n = A quad Leftrightarrow quad 對~ forall varepsilon >0, , exists N in mathbb{N}~使得當~n>N~時, 有~|a_n - A| < varepsilon$

下列論斷能否作為 ${a_n}$ 極限是 $A$ 的定義，若能則證明，若不能則舉出反例。

論斷1. 對任意給定的 $varepsilon >0$ , 存在 $N in mathbb{N}$ , 當 $n >N$ 時，有 $a_n - A < varepsilon$ .

解析：對比數列極限定義，標準定義用的是 $|a_n - A| < varepsilon$

是用來刻畫對足夠大的 $n > N$ ， $a_n$ 與 $A$ 可任意接近，而且是落在 $A$ 的左右兩側的 $a_n$ 都可以任意接近 $A$ .

$egin{align} |a_n - A| < varepsilon quad & Leftrightarrow quad -varepsilon < a_n - A < varepsilon \ & Leftrightarrow A - a_n < varepsilon ~且~a_n - A < varepsilon end{align}$

顯然， $A - a_n < varepsilon$ 只可以保證落在 $A$ 左側的（足夠大的） $a_n$ 可任意接近 $A$ ;

$a_n - A < varepsilon$ 只可以保證落在 $A$ 右側的（足夠大的） $a_n$ 可任意接近 $A$ .

所以，論斷1隻能保證落在 $A$ 右側的（足夠大的） $a_n$ 可任意接近 $A$ ，是錯誤的。

有了上面的分析，反例也就很好找了，比如：

${-n}_{n=1}^infty, quad A= -1$

論斷2. 對任意給定的 $varepsilon >0$ , 存在 $N in mathbb{N}$ , 使得當 $n > N$ 時，有無窮多項 $a_n$ 滿足 $|a_n - A| < varepsilon$ .

解析：對比數列極限定義，標準定義用的是，對所有的 $n >N$ , 都有 $|a_n - A| < varepsilon$ .

所有 $n >N$ 的 $a_n$ 也有無窮多項，那麼這兩種無窮多項有什麼區別？

還記得子列也是無窮多項嗎。

論斷2中的， $n>N$ 的有無窮多項 $a_n$ ，只能保證 ${a_n}$ 中有一個子列滿足

$|a_{n_k}-A| < varepsilon, quad k =1,2, cdots, （n_1 > N）$

而標準定義中所有 $n >N$ 的 $a_n$ 都有 $|a_n - A| < varepsilon$ 才能保證所有子列都是以 $A$ 為聚點（極限）的。

有了上面的分析，反例也就很好找了，比如：

${(-1)^n}_{n=1}^infty, quad A=1$

論斷3. 對任意給定的 $varepsilon >0$ ，存在 $n in mathbb{N}$ ，使得當 $n > N$ 時，有 $|a_n - a| < c varepsilon$ , 其中 $c$ 為某正常數。

解析：在講數列極限的 $varepsilon-N$ 語言定義時，都會加上這樣的註： $varepsilon$ 換成其倍數 $2 varepsilon, 3 varepsilon$ 等或 $varepsilon^2$ 也是可以的。

也就是說它們互相是等價的。嚴格驗證一下：

論斷3 $Rightarrow$ 標準定義：

對 $forall varepsilon > 0$ , 有 $frac{varepsilon}{c} >0$ , （對它）由論斷3，存在 $n in mathbb{N}$ ，使得當 $n > N$ 時，有

$|a_n - A| < c cdot frac{varepsilon}{c} = varepsilon$

標準定義 $Rightarrow$ 論斷3：

對 $forall varepsilon > 0$ ，有 $c varepsilon >0$ ，（對它）由標準定義，存在 $n in mathbb{N}$ ，使得當 $n >N$ 時，有

$|a_n - A| < c varepsilon$

論斷4. 對任意給定的 $m in mathbb{N}$ ，存在 $N in mathbb{N}$ ，使得當 $n > N$ 時，有 $|a_n - A| < frac{1}{m}$ .

解析：與標準定義對比，是將刻畫任意接近程度的 $forall varepsilon >0$ ，換成了用任意自然數 $m$ 對應的 $1/m$ . 大體上想，它也是可以刻畫任意接近程度的。

實際上也是如此，論斷4與標準定義是等價的：

論斷4 $Rightarrow$ 標準定義：

對 $forall varepsilon >0$ ，存在 $m in mathbb{N}$ 使得 $frac{1}{m} < varepsilon$ , 對該 $m$ ，由論斷4，存在 $N in mathbb{N}$ ，使得當 $n >N$ 時，有 $|a_n - A| < frac{1}{m} < varepsilon$ .