微分是什麼？

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微分是什麼？

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單變數微積分、線性代數的概念很多，我們的「馬同學帶你學」系列：

「單變數微積分」（主要覆蓋《高等數學同濟版上》的內容）
「線性代數」（主要覆蓋《線性代數同濟版》的內容）

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本文是付費課程「單變數微積分」中的一課，目前還在連載中，如果想了解更多的前置內容，可以先看下另外兩篇前面章節的免費內容：

微積分是什麼？
柯西的數列極限

最開始我們就提到了，曲線下微小的矩形是「微分」：

把這些「微分」加起來就是「積分」，就可以得到曲線下的面積：

上一章定義了極限，解決了微積分中的第一個問題，什麼是「 $Delta x$ 無限接近0」：

下面我們開始研究數學上什麼是「微分」，怎麼把「微分」加起來完成「積分」。

1 積分

比如要求 $f(x)=x^2$ ，在 $[0,a],a > 0$ 下的面積：

把 $[0,a]$ 平均分成 $n$ 份，每份長為 $Delta x=frac{a-0}{n}=frac{a}{n}$ ：

這些點的坐標是這麼一個數列（把 $0$ 點去掉）：

${a_i}=left{frac{a}{n}, frac{2a}{n},cdots, frac{(n-1)a}{n}, frac{na}{n} ight},i=1,2,cdots,n$

點之間的間隔為 $Delta x=frac{a}{n}$ ，所以上述數列可以簡寫為：

${a_i}=left{Delta x, 2Delta x, cdots, (n-1)Delta x, nDelta x ight}$

以這些坐標為終點，寬為 $Delta x$ ，高為 $f(a_i)$ 作矩形：

每個矩形面積為 $f(a_i)Delta x$ ，它們的面積和為：

$egin{aligned} S_n &=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x\ \ &=(Delta x)^2Delta x+(2Delta x)^2Delta x+cdots+[(n-1)Delta x]^2Delta x+(nDelta x)^2Delta x\ \ &=[1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2](Delta x)^3 end{aligned}$

已知其中的級數：

$1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

所以上面的式子繼續算下去：

$egin{aligned} S_n &=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(Delta x)^3\ \ &=left(frac{2n^3+3n^2+n}{6} ight)(Delta x)^3 end{aligned}$

因為 $Delta x=frac{a}{n}$ ，代入上式可得：

$S_n=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x=a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2} ight)$

當 $n oinfty$ 的時候，矩形面積和就是曲面下的面積：

從數學上就是，曲面下面積 $S$ 為：

$egin{aligned} S=lim_{n oinfty}S_n &=lim_{n oinfty}left[a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2} ight) ight]\ \ &=frac{1}{3}a^3 end{aligned}$

在極限的幫助下，算出了曲面下的面積。

2 新的開始

既然得到了曲面下的面積了，是不是微積分課程完了？並沒有，實際上剛剛開始。

2.1 計算複雜

上述計算方法早在微積分這門學科正式成立之前就有了。

博納文圖拉·弗蘭切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），義大利幾何學家。在他的著作中就提到了上面這個求解方法，那時候還沒有極限，他是直覺地認為當 $n$ 足夠大時：

$a^3left(frac{1}{3}-underbrace{frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}}_{可以忽略} ight)=frac{1}{3}a^3$

這種計算方法簡單粗暴，比如，想求正弦函數曲線下 $[0,pi]$ 之間的面積，也可以通過矩形和來計算，但是計算起來並不簡單（詳細計算步驟可以查看這裡）：

把矩形面積加起來就需要計算級數（級數就是數列的和），但級數的計算往往很複雜。

歐拉就是一個級數計算大師，當時很多數學家求「積分」時，算不出級數就向歐拉求救，所以有句話是這麼說的：「歐拉，他是所有人的老師」（出自另外一位數學家拉普拉斯之口）。

2.2 不夠抽象

之前說了，可以用內接多邊形來逼近圓的面積：

也可以換個思路，用小三角形的和來逼近圓的面積：

「圓內小三角形的和」與「曲線下的矩形和」看起來異曲同工，但畢竟三角形和矩形還是不一樣，能否把這兩者統一起來？

還有，能不能用微積分來計算一段曲線的長度（馬上就可以看到如何去做）：

例子可能舉得還不夠好、不夠多，但可以看出目前所學的微積分還不夠抽象，不足以解決更多問題。

2.3 小結

不管是為了計算更加簡便，還是為了擴大微積分的應用範圍，我們都需要開始新的學習。

3 微分

不管為了計算的便利性，還是覆蓋更多的應用場景，都需要把「微分」這個概念抽象出來。

3.1 矩形微分

比如，想求 $[a,b]$ 區間內 $f(x)$ 曲線下的面積 $S$ ：

把 $[a,b]$ 平均分成 $n$ 份，每份長為 $Delta x=frac{a-b}{n}$ ，每個 $Delta x$ 對應一個 $Delta S_i$ ：

很顯然：

$S=sum_{i=1}^n Delta S_i$

從裡面隨便選一份，為了表示一般性，其面積記為 $Delta S$ ：

在同樣的位置，以 $Delta x$ 為底、 $f(x_0)$ 為高作矩形，其面積記為 $extrm{d}S$ ：

很顯然，隨著 $Delta x o 0$ ， $Delta S$ 與 $extrm{d}S$ 會無限接近：

實際上兩者都是無窮小：

$lim_{Delta x o 0}Delta S=0=lim_{Delta x o 0} extrm{d}S$

$Delta S$ 與 $extrm{d}S$ 有各自的名字（命名的來由可以查看這裡）：

「微分」是對「差分」的近似，以「直」代「曲」（「微分」就是「直」，「差分」就是「曲」），也叫做線性近似：

$微分approx 差分$

在極限下有（因為 $Delta x=frac{a-b}{n}$ ，所以 $Delta x o 0$ 相當於 $n oinfty$ ）：

$S=lim_{Delta x o 0}sum_{i=1}^n extrm{d}S_i$

其中， $extrm{d}S_i$ 對應之前的 $Delta S_i$ 。

稍微總結下：

$egin{array}{c|c} hline quadquad&quadcolor{blue}{差分}quad&quadcolor{orange}{微分}quad \ hline \ quad符號 quad&quad Delta S quad&quad extrm{d}Squad\ quad求和 quad&quad displaystyle S=sum_{i=1}^n Delta S_i quad&quad displaystyle S=lim_{Delta x o 0}sum_{i=1}^n extrm{d}S_iquad\ \hline end{array}$