12、雙變數期望值(正式)

10-15

12、雙變數期望值(正式)

來自專欄概率

說明：

本欄我分為「草稿」、「正式」——

「草稿」為講課流程、PPT詳細思路；

「正式」指經重點的提取。

禁轉。

知乎：曦微

$PMF：E[h(X,Y)]=sum_{x=-infty}^{infty}sum_{y=-infty}^{infty}h(x,y)cdot p_{X,Y}(x,y)$

假如前提是求函數 (X - Y) ，可見先求函數，再求函數對應概率
比如： $E[|X-Y|]=sum_{x=-infty}^{infty}sum_{y=-infty}^{infty}|x-y|cdot p_{X,Y}(x,y)$

$PDF：E[h(X,Y)]=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}h(x,y)cdot f_{X,Y}(x,y)dxdy$

雙變數期望值的性質：

$E[alpha h_{1}(X,Y)+eta h_{2}(X,Y)]=alpha E[h_{1}(X,Y)]+eta E[h_{2}(X,Y)]$

$E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]cdot E[h(Y)]$

以上表達了(但不限於以上這兩個)，
無論是離散還是連續：
1、期望值內的常數可以提取出常數到外面；
2、一個期望值內的多個X、Y、Z....相加，可以分別認為是「X的期望值」加上「Y的期望值」加上「Z的期望值」...
3、一個期望值內的多個X、Y、Z....相乘，可以分別認為是「X的期望值」乘於「Y的期望值」乘於「Z的期望值」...

4、同樣相減、相除也一樣...

$Var(X+Y)=E[(X+Y-E[X+Y])^{2}]$

經化簡得：

$(若X、Y不獨立)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$

$(若X、Y獨立)=Var(X)+Var(Y)$

其中：X、Y的協方差： $cov(X,Y)=2E[(X-mu_{X})(Y-mu_{Y})]$ ，若式子中X和Y獨立，則cov(X,Y) 這個結果為0。協方差cov(X,Y)特為表達這個式子。