第1章拉格朗日量

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第1章拉格朗日量

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@Charge , @Hey&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;#39;u and @胡大師

在這一章中，我們將會介紹經典力學中的拉格朗日量，並且解釋為什麼拉格朗日量適合用來描述量子場論。

1.1 費馬原理

圖1.1 一束光通過一塊玻璃時的折射。光線走的路徑是從A到B所需時間最少的的路徑。

我們從光學研究的一個例子開始。如圖1.1所示，考慮一條通過玻璃板的光線。當已知玻璃和空氣的折射率時，空氣/玻璃界面附近的光線彎曲可以使用著名的斯涅爾定律計算。斯涅耳定律以於1621年描述過的Willebrord Snellius的名字命名，但他不是第一個發現這條規律的，它在984年首先由阿拉伯數學家Ibn Sahl發現。1662年，皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）提出了一種巧妙的推導斯涅爾定律的方法，這種方法基於他的最短時間原理（principle of least time）。這個原理認為通過兩點 $A$ 和 $B$ 之間的光線採取的是光在最短時間內穿過的路徑。由於光在玻璃中比在空氣中更慢，光線穿過玻璃時與法線的夾角將會變小，從而使得在玻璃中的傳播距離減小。如果光在 $A$ 、 $B$ 點之間以直線行走，所花費時間將會更長。這種說法非常優美，但是並沒有解釋為什麼會這樣；為什麼光線願意選擇時間最短的路徑？為什麼光總是這麼著急？

費馬最小時間原理是漂亮的，看起來告訴了我們一些事情，但是一開始看它並不是有幫助的。因為它試圖把一個簡單的，可以帶入數值計算出軌跡的公式（斯涅爾定律）替換為需要微積分變分原理才能解決的問題。但是我們將要看到，費馬原理是理解量子場論的基礎。

1.2 牛頓定律

圖1.2：在時間間隔τ內，一個粒子從點A移動到點B，粒子的軌跡由牛頓運動定律確定。

在動力學中我們可以找到一個類似問題。考慮一個一維空間中質量為 $m$ 的物體，在力 $F$ 的作用下從點 $A$ 移動到點 $B$ ，如圖1.2的時空圖所示。這張圖中，橫軸表示時間，縱軸表示空間。粒子的精確軌跡 $x(t)$ 由牛頓運動定理給出：

$F=m ddot{x} \ 1.1$

我們可以對這個公式積分求出 $x(t)$ 。但是當你停下來仔細考慮的時候，你會發現這是一個對量子非常不友好的方法。牛頓運動方程的解告訴了我們從 $t=0$ 到 $t=τ$ 的每一個時刻粒子的位置。量子力學告訴我們你可以在 $t=0$ 時測量粒子的位置，發現它在 $A$ ；你可以在 $t=τ$ 時再次測量它，發現它在 $B$ ，但是你並不能確切知道在這兩個時刻之間，粒子的確切位置。因此，這個可以通過解微分方程計算出 $x(t)$ 的方法不是一個好的出發點。

如果要將這個話題推廣到量子力學，動力學需要以完全不同的方式表達。這正是Joseph-Louis Lagrange[1]和William Rowan Hamilton[2]所做的，儘管他們那時並不知道他們所做的事情會使動力學更具量子友好性。我們將採用一種與他們略有不同的方法，得到動能 $T$ 和勢能 $V$ 在運動軌跡上是如何變化的最終答案。我們知道它們的求和，也就是總能量 $E = T + V$ ，在運動中必須是常數。但在軌跡中，動能和勢能之間的平衡可能會發生變化。

我們可以寫出軌跡中的平均動能 $ar{T}$ ，

$ar{T}=frac{1}{ au} int_0^{ au} frac{1}{2}m[ dot{x}(t)]^2 mathrm{d}t \1.2$

平均勢能 $ar{V}$ ：

$ar{V}=frac{1}{ au} int_0^{ au} V[x(t) ] mathrm{d}t \1.3$

這兩個量的求和一定等於總能量 $E$ 。但是，我們想考慮的是 $T$ 和 $V$ 如何在軌跡中變化。為了做到這一點，我們需要在下一節中學習一些數學。

1.3 泛函

方程1.2和1.3中的表達式是軌跡 $x(t)$ 的泛函。這是什麼意思呢？

圖1.3 函數把一個數轉化為另一個數。泛函作用在一個函數上併產生一個數字。

讓我們回想一下函數（function）是什麼（如圖1.3），函數可以把一個數字轉化為另一個數字。例如，函數 $f(x)= 3x^2$ 將數字1變為數字3，將數字3變為數字27。給函數一個數字，它將返回另一個數字。

泛函（functional）是一個將函數轉換為數字的機器。你給這個機器一個完整函數，例如 $f(x)= x^2$ 或 $f(x)= sin x$ ，它將返回一個數字。

例1.1
下面是一些泛函的例子。
1. 泛函 $F[f]$ 作用在函數 $f$ 上的規則如下：
$F[f]=int_0^1f(x) mathrm{d}x \1.4$
因此，給定函數 $f(x)=x^2$ ，泛函返回的數字是
$F[f]=int_0^1 x^2 mathrm{d}x=frac{1}{3} \1.5$
2. 泛函 $G[f]$ 作用在函數 $f$ 上的規則是：

$G[f]=int_{-a}^{a}5[f(x)]^2 mathrm{d}x \1.6$
所以，如果給定函數 $f(x)=x^2$ ，泛函返回的數字為：
$G[f]=int_{-a}^{a}5x^4 mathrm{d}x=2a^5 \1.7$
3. 函數本身也可以看做一個簡單泛函。例子，可以定義泛函 $F_x[f]$ :
$F_x[f]=int_{infty}^{infty}f(y) delta(y-x) mathrm{d}y=f(x)\1.8$
這個泛函將會返回函數在 $x$ 處的函數值。

現在我們想知道，當你改變輸入泛函的函數時，泛函的值將如何改變。這裡重要的概念的是泛函微分（functional differentiation）。回憶函數微分的定義為：

$frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}x}=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{f(x+epsilon)-f(x)}{epsilon} \1.9$

函數的導數告訴你，當你改變進入函數機器的數 $x$ 一丁點時，函數 $f(x)$ 本身如何變化。同樣的，我們可以定義泛函 $F[f]$ 的泛函導數（functional derivative）如下：

$frac{delta F}{delta f(x)}=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{F[f(x)+epsilon delta(x-x)]-F[f(x)]}{epsilon} \1.10$

泛函導數告訴我們當函數 $f(x)$ 改變時，泛函 $F[f(x)]$ 的返回值如何變化。

例1.2
下面是一些計算泛函導數的例子。你可以通過計算他們獲得計算泛函導數的技能，當然如果你相信計算結果的話，也可以直接跳到下一部分。
1. 泛函 $I[f]=int_{-1}^{1}f(x) mathrm{d}x$ 的導數為：
$egin{align} frac{delta I[f]}{delta f(x_0)}&=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int_{-1}^{1}[ f(x) + epsilon delta(x-x_0)] mathrm{d}x -int_{-1}^{1}f(x) mathrm{d}x ight] \ &= int_{-1}^1 delta (x-x_0) mathrm{d}x \ &= left{ array{1 & -1 leq x_0 leq 1\0 & m{otherwise}} ight. end{align} \ 1.11$
2. 泛函 $J[f]=int [f(y)]^p phi (y) mathrm{d}y$ 對 $f(x)$ 的導數為：
$egin{align} frac{delta J[f]}{delta f(x)}&=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int[ f(y) + epsilon delta(y-x)]^p phi(y) mathrm{d}y -int_{-1}^{1}[f(y)]^pphi(y) mathrm{d}y ight] \ &= p [f(x)]^{p-1} phi(x) \ end{align} \ 1.12$
3. 已知 $g$ 是一個函數，它的導數是 $g= mathrm{d} g/mathrm{d} x$ ，同時定義泛函 $H[f]=int_a^b g[f(x)] mathrm{d}x$ ，此時，泛函的導數為：
$egin{align} frac{delta H[f]}{delta f(x_0)}&=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int g [ f(x) + epsilon delta(x-x_0)] mathrm{d}x -int g[f(x)] mathrm{d}x ight] end{align} \ 1.13$
令 $f=f(x) + epsilon delta(x-x_0)$ ， $f_0=f(x)$ ，所以有
$g(f)=g(f_0)+(f-f_0)g(f_0)+O(f^2)= g(f(x))+( f(x)+ epsilon delta(x-x_0)-f(x))g(f(x))$

所以：
$egin{align} frac{delta H[f]}{delta f(x_0)}&=lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int g [ f(x) + epsilon delta(x-x_0)] mathrm{d}x -int g[f(x)] mathrm{d}x ight] \ &= lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int (g [ f(x) + epsilon delta(x-x_0)g[f(x)]) mathrm{d}x -int g[f(x)] mathrm{d}x ight] \ &= int delta(x-x_0)g [f(x)] mathrm{d}x \ &= g [ f(x_0)] end{align} \ 1.13$
4. 使用上一個例子的結果，可以求出 $ar V[x]=frac{1}{ au} int_0^{ au}V[x(t)] mathrm{d}t$ 的導數為：
$frac{ delta ar{V} [x]}{delta x(t)}=frac{1}{ au} V [x(t)] mathrm{d}t\1.14$
5. 定義泛函 $J[f]=int g(f) mathrm{d}y$ ，這裡的 $f=mathrm{d}f/mathrm{d}y$ 。所以有：
$frac{delta J[f]}{delta f(x_0)} =lim_{epsilon ightarrow 0} frac{1}{epsilon} left[ int mathrm{d}y g left( frac{partial }{partial y} [f(y)+ epsilon delta (y-x)] ight) -int mathrm{d}y g left( frac{partial f}{partial y} ight) ight] \1.15$
使用
$g left ( frac{partial}{partial y} [ f(y)+ epsilon delta(y-x)] ight)=g (f+ epsilon delta (y-x)) approx g(f)+ epsilon delta (y-x) frac{ mathrm{d} g(f)}{mathrm{d} f} \1.16$
然後使用分部積分，有：
$frac{delta J[f]}{delta f(x)} = int mathrm{d}y delta (y-x) frac{ mathrm{d} g(f)}{mathrm{d} f}=left [ delta (y-x) frac{ mathrm{d} g(f)}{mathrm{d} f} ight]- int delta (y-x)frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y} left( frac{ mathrm{d} g(f)}{mathrm{d} f} ight) \1.17$

當 $x$ 在積分區間內時，中括弧項等於0，我們得到：
$frac{delta J[f]}{delta f(x)} = frac{mathrm{d} }{ mathrm{d}x } left( frac{ mathrm{d} g(f)}{mathrm{d} f} ight) \1.18$
6. 對前面的結果，我們給出例子，如果 $F[phi]=int left( frac{partial phi}{partial y} ight)^2mathrm{d}y$ ，可以得到：[3]
$frac{ delta F[phi]}{delta phi(x)}=-2 frac{ partial ^2phi }{partial x^2 } \1.19$
7.另一個例子是，如果令 $ar{T}=frac{1}{ au} int_0^{ au} frac{1}{2}m[ dot{x}(t)]^2 mathrm{d}t$ ，我們有：
$frac{ delta ar{T} [x]}{delta (x)}=- frac{ m ddot{x} }{ au } \1.20$

1.4 拉格朗日量與最小作用量

在學習了這些數學之後，我們可以回到我們之前的敘述中來。當我們改變軌跡時，平均動能和平均勢能如何變化？

公式1.14和公式1.20告訴我們：

$frac{ delta ar{V} [x]}{delta x(t)}=frac{ V [x(t)] }{ au} , frac{ delta ar{T} [x]}{delta x(t)}=- frac{ m ddot{x} }{ au } \1.21$

事實上，牛頓定律告訴我們對經典粒子的軌跡，有 $m ddot{x}=-mathrm{d} V/ mathrm{d}x$ 。這意味著，對粒子軌跡的變分，有：

$frac{ delta ar{V} [x]}{delta x(t)} = frac{ delta ar{T} [x]}{delta x(t)} \1.21$

也就是說，如果你稍稍改變經典軌跡，平均動能和平均勢能都會增加[4]相同的量。我們可以重新把這個公式重新寫為：

$frac{delta}{delta x(t)} ( ar{T} [x]-ar{V}[x])=0\1.23$

也即，平均動能和平均勢能的差對於經典的軌跡來說是處於極值點上的。這意味著動能和勢能的差這個量很可能是有意義的，這啟發我們定義一個量，也叫拉格朗日量（Lagrangian） $L$ ：

$oxed {L=T-V}\1.24$

拉格朗日量對時間的積分叫做作用量（action） $S$ ：

$S=int_0^{ au} L mathrm{d}t \1.25$

所以作用量的量綱為能量×時間，單位是焦耳-秒。這個單位與普朗克常數 $h$ 的單位相同。我們將在本章的後面看到，為什麼用普朗克常數來度量 $S$ 是合理的。利用 $S=int_o^{ au}(T-V) mathrm{d} t= au (ar{T}[x]-ar{V}[x])$ ，我們可以把將平均動能的變化和平均勢能的變化聯繫起來的變分原理（公式1.23）寫為更緊湊的形式：

$oxed{frac{delta S}{delta x(t)}=0} \1.26$

這個公式被叫做哈密頓最小作用量原理（Hamilton』s principle of least action）[5]。它告訴我們，經典粒子走的軌跡的作用量取得極值（如圖1.4所示）；改變粒子走過的軌跡只會增大作用量（同樣的，改變由斯涅耳定律所確定的光線路徑只會增加光走過的時間）。

圖1.4 微小的改變經典粒子的軌跡只會增大作用量S。

例1.3
拉格朗日量 $L$ 可以寫為位置和速度的函數。通常來講，我們可以認為它依賴於一個廣義坐標 $x(t)$ ，和這個廣義坐標對應的廣義速度 $dot{x}(t)$ 。此時， $S$ 對 $x(t)$ 的變分 $delta{S} / delta x(t)$
可以寫為：
$egin{align} frac{delta S}{delta xleft(t ight)}&= frac{deltaint_{0}^{ au}{Lleft(xleft(t ight),dot{x}left(t ight) ight)mathrm{d} t}} {delta xleft(t ight)}\ &=lim_{epsilon ightarrow0}{frac{1}{epsilon} left{int_{0}^{ au}{Lleft(xleft(t^prime ight)+epsilondeltaleft(t-t^prime ight), frac{mathrm{d} left[xleft(t^prime ight)+epsilondeltaleft(t-t^prime ight) ight]} {mathrm{d}t^prime} ight)mathrm{d} t^prime}-int_{0}^{ au}{Lleft(xleft(t^prime ight), frac{mathrm{d} xleft(t^prime ight)}{mathrm{d}t^prime} ight)mathrm{d} t^prime} ight}} end{align}$
Let $uequiv t^prime$
$egin{align} frac{delta S}{delta xleft(t ight)}&= lim_{epsilon ightarrow0}{frac{1}{epsilon}int_{0}^{ au} {left{Lleft(xleft(u ight)+epsilondeltaleft(t-u ight), frac{mathrm{d} left[xleft(u ight)+epsilondeltaleft(t-u ight) ight]}{mathrm{d}u} ight) -Lleft(xleft(u ight),frac{mathrm{d} xleft(u ight)}{mathrm{d}u} ight) ight}mathrm{d} u}} \ &=lim_{epsilon ightarrow0}{frac{1}{epsilon}int_{0}^{ au}{left{Lleft(xleft(u ight)+epsilondeltaleft(t-u ight),dot{x}left(u ight)+epsilondelta^primeleft(t-u ight) ight)-Lleft(xleft(u ight),dot{x}left(u ight) ight) ight}mathrm{d} u}} end{align}$
所以這個結果就等價與下面的全導數，
$egin{align} frac{delta S}{delta x(t)}&=frac{delta int_0^{ au} L mathrm{d}t}{delta x(t)} \ &= int mathrm{d}u left[ frac{ delta L}{delta x (u)} frac{ delta x(u)}{delta x(t)} + frac{ delta L}{delta dot{x} (u)} frac{ delta dot{x}(u)}{delta x(t)} ight] \ &=int mathrm{d}u left[ frac{ delta L}{delta x (u)} delta (u-t)+ frac{ delta L}{delta dot{x} (u)} frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}delta(u-t) ight] \ &= int mathrm{d}u left[ frac{ delta L}{delta x (u)} delta (u-t) ight]+ int mathrm{d}u left[ frac{ delta L}{delta dot{x} (u)} frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}delta(u-t) ight] end{align} \1.27$
因為 $mathrm{d}u=frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} mathrm{d}t$
所以 $int mathrm{d}u left[ frac{ delta L}{delta dot{x} (u)} frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}delta(u-t) ight]=int frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} frac{delta L}{delta dot{x}(u)} mathrm{d} delta(u-t)$

對 $int frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} frac{delta L}{delta dot{x}(u)} mathrm{d} delta(u-t)$ 應用分部積分有：
$int frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} frac{delta L}{delta dot{x}(u)} mathrm{d} delta(u-t)=left[ delta(u-t) frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} frac{delta L}{delta dot{x} (u)} ight]_{t_i}^{t_f}-int delta(u-t) mathrm{d} left[ frac{delta L}{delta dot{x} (u) } frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}t} ight]$
所以最小作用量原理（公式1.26）可以改寫為：
$oxed{ frac{ delta L}{delta x (t)}- frac{ mathrm{d}}{mathrm{d}t} frac{ delta L}{delta dot{x}(t)}=0 }\1.28$
這個方程也叫做歐拉-拉格朗日方程[6]（Euler–Lagrange equation）。

拉格朗日量 $L$ 與拉格朗日量密度 $mathcal{L}$ 的關係為：

$L=int mathrm{d}xmathcal{L} \1.29$

所以作用量 $S$ 為：

$S=int mathrm{d}t L=int mathrm {d} t mathrm{d}x mathcal{L}\1.30$

下面的例子介紹了引入拉氏量密度的原因。拉氏量密度的概念在後面將會很常見，它提供了一個推導經典波方程的好途徑。

圖1.5 繩子上的波。繩子與平衡位置的偏移是ψ(x, t)，我們可以把繩子當成長度為dx，質量為ρ dx的微元從而推導出運動方程。這幅圖顯示了一端被固定的繩子的一小段，所以有ψ(0, t)=ψ(l, t)。

例1.4
考慮質量為 $m$ 長度為 $l$ 的繩子上的波。定義質量密度為 $ho =m/l$ ，張力為 $mathcal{T}$ ，與平衡位置相比的位移為 $psi (x,t)$ （如圖1.5所示）。動能 $T$ 可以寫為： $T=frac{1}{2} int_0^l mathrm{d}x ho ( partial psi/partial t)^2$ ，勢能可以寫為： $V=frac{1}{2} int_0^l mathrm{d}x mathcal{T} ( partial psi/partial x)^2$ 。所以作用量可以寫為：
$S[ psi(x,t)]=int mathrm{d}t (T-V)=int mathrm {d} t mathrm{d}x mathcal{L} left( psi, frac{partial psi}{partial t},frac{partial psi}{partial x} ight) \1.31$
其中，
$mathcal{L} left( psi, frac{partial psi}{partial t},frac{partial psi}{partial x} ight)= frac{ ho}{2} left( frac{partial psi}{partial t} ight)^2-frac{mathcal{T} }{2}left( frac{partial psi}{partial x} ight)^2 \1.32$
是拉氏量密度。應用變分原理，我們有：
$egin{align} 0=frac{delta S}{delta psi }&= frac{ delta mathcal{L}}{ delta psi}-frac{ mathrm{d} }{ mathrm{d} x}frac{ delta mathcal{L}}{ partial( partial phi/partial x)}-frac{ mathrm{d} }{ mathrm{d} t}frac{ delta mathcal{L}}{ partial( partial phi/partial t)} \ &=0+ mathcal{T} frac{partial ^2 psi}{partial x^2}- ho frac{partial ^2 psi}{partial t^2} end{align} \1.33$
所以我們得到了波動方程， $frac{partial ^2 psi}{partial x^2}= frac{1}{v^2} frac{partial ^2 psi}{partial t^2}$ ，並且很簡單的得到了波速 $v=sqrt{ mathcal{T} / ho}$ 。

最後，我們把歐拉拉格朗日方程用四矢量記號和愛因斯坦求和（見0.4節）的方式寫出來。如果拉氏量密度 $mathcal{L}$ 與函數 $phi (x)$ 及它的導數[7] $partial_mu phi$ 有關（ $x$ 是時空中的點），作用量 $S$ 可以寫為：

$S= int mathrm{d}^4 x mathcal{L}( phi ,partial_mu phi) \1.34$

與公式1.27類似的，應用變分原理可以得到[8]：

$oxed{ frac{ delta S}{delta phi}=frac{ partial mathcal{L}}{ partial phi}- partial_mu left( frac{ partial mathcal{L} }{partial (partial_mu phi)} ight)=0 }\1.35$

這是四矢量版本的歐拉拉格朗日方程。

例1.5
作為這部分內容的例子，我們來考慮這樣一個情況，拉氏量密度為：
$mathcal{L}= frac{1}{2} ( partial_mu phi)^2- frac{1}{2} m^2 phi^2 \1.36$
這裡的 $(partial_mu phi)^2=(partial_mu phi)(partial^mu phi)$ 。通過計算簡單的微分，我們得到：
$frac{partial mathcal{L}}{partial phi}=-m^2 phi 和 frac{partial mathcal{L}}{partial (partial_muphi)}=partial^mu phi \ 1.37$
應用最小作用量原理（公式1.35），我們有：
$frac{ delta S}{delta phi}= -m^2 phi- partial_mu partial^mu phi=0\ 1.38$
也即：
$(partial^2+m^2)phi=0 \1.38$

1.5 變分原理為什麼有效？

在本章中，我們考慮了兩個變分原理：費馬最小時間原理和哈密頓最小作用量原理。其中一個描述了一道光線所經過的路徑，另一個描述了經典粒子所採用的路徑。它們非常優雅，但為什麼不堅持使用斯涅耳定律和牛頓定律？以及，為什麼這兩種描述都有效？

這兩個問題的答案都是量子力學。我們將會在書的後面更詳細地談論這一問題，但是從 $A$ 到 $B$ 運動的粒子（光子或撞球）將會涉及所有可能的（all possible paths）路徑，包含真實走過的的經典路徑和完全瘋狂的路徑。你需要對所有的路徑都求和，但每條路徑都對應一個相位因子，並且對於大多數路徑集合，不同的相位因子互相抵消。只有當某條路徑的相位取得極值時，它附近的路徑不會完全相消。粒子波函數的相位因子[9]為：

$e^{i S / hbar} \1.39$

這裡的 $S=int L mathrm{d} t$ 是作用量，因此取極值的相位等價於一個取極值的作用量（公式1.26）。（我們對能量為 $E$ 的光子反嚮應用這個結論，光子的相位因子為 $e^{-iEt/ hbar}$ ，因此取極值的相位等價於取極值的時間，與費馬原理完全等價。）我們將在本書的後半部分看到這種方法如何自然地推導出費曼的路徑積分方法（第23章）。但就目前而言，請注意，只有當作用量取得極值，所有通過最小化作用量得到的經典路徑才可以會被觀察到，其他一切都互相抵消。