巧用韋達定理打開思路枷鎖
來自專欄愛數學做數學
在解中考壓軸題過程中，往往會遇到各式各樣的思維障礙，這些障礙的形成一般可追溯到很早以前，可能是一次課堂中的一次走神，也可能是一次作業中的錯誤未及更改，更可能是某個定理長久未使用導致遺忘……
上述這些因素就成為了思路枷鎖，而打碎這些枷鎖，需要認真讀題、仔細回想、用心思考。讀題是為了不漏掉題目條件，很多時候學生讀題過程中，因為漏看某句話而導致思路不通的情況比比皆是，而回想則要求儘可能多地將與本題相關的解題經驗提取出來，和題目條件進行適配，從而讓自己更快找到解題思路。
韋達定理在一元二次方程這一章節中，人教版教材並沒有單獨強調，但在教學中，我們多少都會進行總結，畢竟兩根之和與兩根之積的推導過程其實也是一個熟悉公式的過程。在壓軸題中，巧妙使用韋達定理，有時會起到意想不到的作用，甚至是解題的關鍵鑰匙。
題目
拋物線L：y=-x2+bx+c經過點A(0,1)，與它的對稱軸直線x=1交於點B。
(1)直接寫出拋物線L的解析式；(2)如圖1，過定點的直線y=kx-k+4(k<0)與拋物線L交於點M、N，若△BMN的面積等於1，求k的值；
(3)如圖2，將拋物線L向上平移m(m>0)個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交於點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1於另一點D，F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點，若△PCD與△POF相似，並且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標。
解析：
(1)既然是要求直接寫，一定有直接寫的理由，也就是說這一小題根本不需要草稿紙，僅憑觀察及簡單的口算便可得到結果。拋物線L中，只有一次項係數b和常數項c不知道，而給出的點A坐標，即為拋物線與y軸交點，這個縱坐標就是c的值，同時，對稱軸x=-b/2a=1中，可以算出b=2，因此拋物線L的解析式的確可以直接寫出，y=-x2+2x+1(2)過定點的直線，這個定點我們不妨先求一下，未來某個解題步驟還需要它，將k作為公因式提出來，我們將直線解析式寫為y=k(x-1)+4，通過觀察，發現當x=1時，無論k取何值，y=4，因此這個定點坐標為(1,4)，似乎也在對稱軸上，我相信這應該不是意外。然後根據題目描述，直線與拋物線交於兩個點M、N，那麼聯立方程從而求點坐標是常規思路，先按這條路走下去，聯立的方程為x2+(k-2)x+3-k=0，難道要用這個一元二次方程來表示點M、N的橫坐標？複雜度太高了點吧？先放在這裡吧！看後麵條件還說了些什麼，△BMN的面積等於1，這顯然是個等量關係，應該是前面那個聯立方程解出的根，表示M、N坐標，從而將△BMN面積表示出來得到等式（方程）來求解，這條路是沒錯，但計算量太大，就此陷入死胡同了，計算吧？量太大，也不知對錯，不計算吧？又沒別的路可走了。
還是先把△BMN面積表示出來吧，或許能有突破口，即使沒有，撈點步驟分也值。結果發現又遇到新困難，真是舊傷未復，又添新痕。
表示三角形面積，通常情況下用面積公式或割補法，本題中顯然面積公式不好用，底和高都不好用含k代數式表示，割補法怎麼下刀？橫切還是豎切？嘗試幾回發現都有問題，這時一定要回過頭看看最初那個定點E，將直線MN畫完整，然後再觀察，我們可以將△BMN看成是由△BEN減去△BEM得到，而它們有公共底BE，而且BE可求，拋物線L的頂點B坐標為(1,2)，所以BE=2，而這兩個三角形的高，我們可以分別過點M、N向對稱軸作垂線MG、NH，下面可表示出△BMN的面積了，如下圖：
而MG、NH的長度，和點M、N的橫坐標有關，若將點M、N的橫坐標分別用x1和x2表示的話，那麼MG=x1-1，NH=x2-1，讓我們繼續推導上面的面積，如下圖：
原來面積等於兩根之差啊！這不正好可以利用前面那個聯立後未能解出來的一元二次方程了嗎？思路赫然開朗，如下圖：
(3)很顯然，兩個三角形相似，但又未指明對應邊，需要分情況討論，這種小兒科根本難不倒人嘛！可是後面有一句話令人費解，「符合條件的點P恰有2個」，難不成還有1個或3個甚至多個？先不管三七二十一，將相似三角形比例式列出來，看看是什麼樣的方程再說吧！
設點P坐標(0,p)，同時拋物線L1向上平移了m個單位，於是它的解析式變為y=-x2+2x+m+1，順便表示出C(0,m+1)和D(2,m+1)，這樣我們便可以表示出CD=2，PC=m+1-p，OP=p，OF=1，開始列兩種情況下的比例式方程了，如下圖：
第一種情況是一元二次方程，可能有兩個實數根，第二種情況是一元一次方程，只可能有一個實數根，那麼結果可能會有1個、2個、3個實數根的情況，再來讀前面那句話，應該明白它的意思了，意味著一元二次方程只可能是兩個相等的實數根，即△=0，於是思路可以繼續進行下去了，令它的△=0，解得m=2√2-1，最後求點P坐標為(0,2√2/3)
解題反思：
本題的兩個難點分別是韋達定理的使用和對「符合條件的點P恰有2個」的理解，特種是第一個難點，十分不易想到，畢竟多數同學寫到那個聯立後又不能解的方程便放棄了，韋達定理十分適用於那而些「解不出來」的一元二次方程；同時面積表示過程中，橫豎切割一旦不奏效，也會進一步放棄，而直線經過的定點E恰恰在其中起到了關鍵作用，題圖中並沒有畫出，而需要自己動手，因此，勤於作圖的同學應該在思考過程中佔到意想不到的便宜。這道習題其實對平時刻苦勤奮的學生是十分友好的，對靠小聰明的學生無疑是巨坑，依然是常規解題方法，只要平時注重反思，將它真正理解吸收了，那麼在解題過程中，才能做到思如泉湧，下筆如有神。
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