Functional Analysis Week 6

10-14

來自專欄從分析到概率到幾何3 人贊了文章

本周因為期中考試只有一節課的內容要整理了

整體上還是和弱拓撲相關的一些東西

引理：強拓撲下的凸閉集在弱拓撲下仍然是閉的

證：令 $K$ 為一凸閉集，令 $x_0in K^c$ . 那麼 $exists delta >0$ 使得 $B_delta(x_0)subset K^c$ , 由於開球是凸的，我們可以用凸分離定理得到 $Lambdain X^*$ 和 $cin mathbb{R}$ 使得 $Lambda(x)>c,forall xin B_delta(x_0)$ 且有 $Lambda(x)le c,forall xin K$ , 由此得到 $Lambda^{-1}((c,+infty))$ 在弱拓撲下是開的，同時包含 $x_0$ 而且與 $K$ 不相交，即說明 $K^c$ 是弱拓撲下開的，那麼 $K$ 是弱拓撲下閉的

定義：令 $X$ 為實向量空間，定義 $Ssubset X$ 的凸包 $mathrm{conv}(S)={sum_{j=1}^nlambda_j s_j|ninmathbb{N},s_jin S,0lelambda_jle1,sum_{j=1}^nlambda_j=1}$

引理（Mazur）：令 $X$ 為一個實賦范向量空間， ${x_j}_{j=1}^infty$ 為一弱收斂序列 $x_j ightharpoonup x_infty$ , 那麼 $x_inftyin overline{mathrm{conv}}({x_j}_{j=1}^infty)$

證明：由於 $K=mathrm{conv}({x_j}_{j=1}^infty)$ 是凸的，那麼容易證明 $overline{K}=overline{mathrm{conv}}({x_j}_{j=1}^infty)$ 也是凸的，那麼用前面的引理得知其在弱拓撲下仍然是閉的，由 $x_j ightharpoonup x_infty$ 得到 $x_inftyin overline{mathrm{conv}}({x_j}_{j=1}^infty)$ .

引理（單位球面的弱閉包）：令 $X$ 為一個無窮維實賦范向量空間，令 $S_1(0)={xin X||x|=1}$ , $overline{B_1(0)}={xin X||x|le 1}$ , 那麼 $S_1(0)$ 弱拓撲中的閉包是 $overline{B_1(0)}$ .

$overline{B_1(0)}$ 是強拓撲中的閉凸集，於是在弱拓撲中是閉的，因此 $overline{S_1(0)}^wsubsetoverline{B_1(0)}^w=overline{B_1(0)}$ , 由此我們只需要證明 $overline{B_1(0)}$ 的內部 $B_1(0)$ 是 $overline{S_1(0)}^w$ 的子集。令 $pin {B_1(0)}$ , 令 $U$ 為弱拓撲下的一個鄰域 $U={x||f_j(x-p)|<epsilon,f_jin X^*,j=1,...,N}$ , 由於 $X$ 是無窮維的， $exists vin S_1(0)$ 使得 $f_j(0)=0,forall j$ （這是由於如果不存在這樣的 $v$ , 我們考慮映射 $au$ 如下定義 $X omathbb{R}^N:(f_1,...,f_N)(x)mapsto(f_1(x),...,f_N(x))inmathbb{R}^N$ , 那麼 $mathrm{Ker}( au)={0}$ , 於是有 $mathrm{dim}(X)=mathrm{dim}(X/mathrm{Ker}( au))=mathrm{dim}( mathrm{Im}( au))$ , 而 $mathrm{Im}( au)subsetmathbb{R}^N$ , 這說明 $X$ 是個有限維的，與題設產生矛盾）. 那麼考慮 $p+tv,tin mathbb{R}$ , 則 $|p|< 1$ 當 $t=0$ 且 $|p+tv| oinfty$ 當 $t o infty$ , 用介值定理得到 $exists t_0in mathbb{R}$ 使得 $|p+t_0v|=1$ , 即 $p+t_0vin S_1(0)$ , 同時 $f_j(p+t_0v-p)=f_j(t_0v)=0<epsilon,forall j$ , 這說明 $p+t_0vin U$ , 由於 $U$ 是一個任意的鄰域都有 $Ucap S eemptyset$ ，即說明 $p$ 在弱拓撲下可以被 $S$ 中的元素無限靠近，即 $pin overline{S_1(0)}^w$ , 即證

這個引理讓我糾結了相當一會兒，因為我第一眼看上去這是一個非常奇怪的結論...後來想了一下確實也是有道理的，這裡最重要的是一定要分清楚上面的開球閉球單位球面單位球面閉包到底是哪個拓撲空間的，在強拓撲下 $S_1(0)$ 本身就是閉的因為它是一個連續函數（範數）值域中閉集 $1in mathbb{R}$ 的原像，那其閉包也是自己本身就沒什麼意思了，但是在弱拓撲下，強拓撲中的閉集不一定還是閉集（雖然弱開集仍然是強開集），按照前面引理的要求它還得是凸的才行，那麼單位球面的凸閉包是什麼呢？當然就是單位閉球咯，這樣看這個定理就沒有那麼讓人頭暈了...（雖然還是很暈但是至少從這個地方開始弱拓撲開始表現出非常多神奇的性質了）

接下來討論一個更玄學的東西，令 $X$ 為賦范向量空間， $X^*$ 上有一個弱拓撲使得 $X^{**}$ 中每個元素都是連續的，我們稱為弱*拓撲，其拓撲集可以類似地定義為 $U_{p,epsilon,A}={x^*in X^*||f_j(x^*-p)|<epsilon,f_jin Asubset X^{**},j=1,...,N}$ 特別的一點是我們這裡一般取 $Asubset {i_X(x)}$

定義：度量空間稱為可分離的如果有可數的稠密子集

定理（Banach-Alaoglu）：令 $X$ 為一個可分實賦范線性空間，則 $X^*$ 中每一個有界序列都有一個收斂弱*子列

證明：令 $D={x_j}_{j=1}^infty$ 為一個可數稠密子集， ${phi_j}_{j=1}^inftysubset X^*$ 為一有界序列，那麼由有界性， $forall k$ , ${phi_j(x_k)}_{j=1}^infty$ 為一個 $mathbb{R}$ 中的有界序列，那麼有收斂子列，於是我們很容易用對角線法得到一個 ${phi_j}_{j=1}^inftysubset X^*$ 的子序列 ${phi_{jj}}_{j=1}^infty$ 使得其在 $D$ 上是Cauchy的，那麼根據前面Banach-Steinhaus定理的(ii)(iii)等價性可知 $existsphi_inftyin X^*$ 使得 ${phi_{jj}(x)}_{j=1}^infty ophi_infty(x),forall xin X$ , 即說明其弱收斂（其實甚至可以強收斂？？？）

接下來考慮推廣一個線性代數中已經非常熟悉的對偶空間的結論：令 $V$ 為n維向量空間， ${e_1,...,e_n}$ 是一個基，那麼存在 $V^*$ 的一個基 ${w_1,...,w_n}$ 使得 $w_i(e_j)=delta_{ij}$

同理我們可知對於一個一般的向量空間 $E$ , 令 ${Lambda_1,...,Lambda_n}$ 為線性無關的線性泛函，那麼存在 ${x_1,...,x_n}subset E$ 使得 $Lambda_i(x_j)=delta_{ij}$ . 實際上考慮 $(Lambda_1,...,Lambda_n):E omathbb{R}^n$ 我們知道由於 ${Lambda_1,...,Lambda_n}$ 線性無關， $(Lambda_1,...,Lambda_n):E omathbb{R}^n$ 一定是一個滿射，即有 $igcap_{j=1}^nE/mathrm{Ker}(Lambda_j)simeqmathbb{R}^n$ , 也就是說 $exists {overline{x_1},...,overline{x_n}}subsetigcap_{j=1}^nE/mathrm{Ker (Lambda_j)}$ 使得 $Lambda_i(overline{x_j})=delta_{ij}$ , 令 $e_j$ 為任意一個 $overline{x_j}$ 中的元素即可

引理：如果 ${Lambda_1,...,Lambda_n,Lambda}$ 為線性空間 $E$ 上的線性泛函並且 $igcap_{j=1}^nmathrm{Ker}(Lambda_j)subsetmathrm{Ker}(Lambda)$ , 那麼 $Lambdain<Lambda_1,...,Lambda_n>$ .

證明：假設 $igcap_{j=1}^nmathrm{Ker}(Lambda_j)subsetmathrm{Ker}(Lambda)$ ，令 $xin E$ , 並根據前面的討論選擇 ${x_1,...,x_n}$ 使得 $Lambda_i(x_j)=delta_{ij}$ , 那麼考慮 $ilde{x}=x-sum_{j=1}^nLambda_j(x)x_j$ , 則有 $Lambda_j( ilde{x})=Lambda_j(x)-Lambda_j(x)=0,forall j$ , 於是 $ilde{x}inigcap_{j=1}^nmathrm{Ker}(Lambda_j)subsetmathrm{Ker}(Lambda)$ , 故 $0=Lambda( ilde{x})=Lambda(x)-sum_{j=1}^nLambda_j(x)Lambda(x_j),forall x$ , 即有 $Lambda=sum_{j=1}^nLambda(x_j)Lambda_j$ , 說明 $Lambdain<Lambda_1,...,Lambda_n>$ .

（這一部分的處理總覺得有點奇怪...但是又看不出來哪裡有問題，書上是把這兩個地方合併成了一個引理然後雙重歸納證明的，暫時就到這裡以後發現問題再來修改吧）