從1+1談起
來自專欄正經物理學人
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這篇文章是我在寒假寫的。當時其實是我們院刊《物理學刊》要我們交稿件了，我又正好有靈感，就寫了這一篇文章。可惜最後可能是由於我寫的內容不適合發在那上面，加之這篇文章又太長，還是沒被採用。放到這上面以後自己看看吧。
這篇文章的寫作起因，是我在期末複習周在複習《數學物理方法》的時候，讀到希爾伯特空間，這時，我抑制不住內心的興奮，因為我發現不止是廣義傅里葉積分，矩陣和向量也可以由它來衍生出來。當我更加一步思考的時候，我提出了這樣一個問題，是否可以從1+1開始，把我們學過的重要數學知識全部整合起來呢？然後我發現，我們完全可以這樣做，廢話不多說，現在就讓我們來試試看吧。
- 四則運算
我們從孩提時代，關於數學最深刻的印象，就是1+1=2了吧。現在把這個等式從右邊往左邊看，我們發現，可以把一個數改寫成兩個數的和。這裡，先恭喜我們發現了逆向思維，以後的反證法，反推法，都是逆向思維的體現。接下來，什麼是減法呢？如果我們知道某個數與1的和為2，那麼這個數是什麼呢？這裡就是引入減法的契機，由此我們發現了2-1=1。這裡我們再歡呼一下，我們又發現了一個重要的思維模式，改變未知量，已知原函數求像函數，已知像函數求原函數，就可以看成是數學家們這一思想的體現，當然，你也可以看成是數學家用了逆向思維。那麼，雖然我們有了加法和減法，但它們實際上是不是一種東西呢？引入負數這個概念，我們就可以明確的知道，減法，實際上就是加上負數罷了，這樣，我們可以把加法和減法全部看成加法。
那麼，什麼是乘法呢？如果有小學細心聽課的朋友會知道，乘法是加法的簡便運算，當我們考慮多個相同的數相加的時候，就能引入乘法。比如，3個5相加是3*5，5個3相加是5*3。恭喜這裡你又發現了乘法交換律。不過我們到這裡還不滿足，因為乘法是加法的簡便計算，乘法交換律實際上應該是可以由加法的一些規律來導出的。我們來看看吧。我們把乘法形式先寫成加法形式，3+3+3+3+3=5*3=3*5=5+5+5。還記得前面的一個結論嘛？我們可以把一個數改寫成兩個數的和，不停運用這個結論，可以一直推廣到一個數可以寫成n個數之和。這樣，我們可以這樣寫，5=3+2，5=3+2，5=3+1+1，然後我們再用2+1=3，就可以寫出3+3+3+3+3=5+5+5=5*3=3*5。這其中，我們就用到了加法交換律和我們通過觀察得來的結論。這裡，再次恭喜我們，學會了遞推。同時，我們發現了一個重要的方法，這個方法早就有數學家闡述過了，即任何一個特例都彌足珍貴的，它包含了推廣到一般結論的所有方法。（這裡我竟然忘了是哪個數學家說的了，我沒有搜到原話，所以這裡我就憑記憶來寫了，大概意思理解就好）我們只通過2=1+1這個特例，就能總結出一些適用性較廣的結論，這其實也提醒了我們怎麼學數學。多總結一些結論，看能不能發現一些有趣的東西。
那麼，什麼是平方呢？聰明的我們馬上就知道了，通過乘法是加法的簡便計算，我們可以知道，平方其實就是相加的數和其相加的個數一樣。比如2個2 相加，就是。那麼運用上面發現的遞推，我們是否可以發現3次方呢？我們來試試吧。我們可以把寫成，然後再依據乘法是加法的簡便運算，我們可以再把這個東西寫成。讓我們來看看這些式子，，。通過類比這兩個公式，再遞推一下，你能看出等於什麼嘛。（證明留作習題，滑稽）這裡，我們就不僅解決了平方，還知道了n次方。那麼再使用逆向思維，我們就可以看出，除法，是乘法的逆運算。然後再引入分數的概念，我們就又可以把除法看作乘法了。一個數除以一個數，可以看作乘上它的倒數。（這裡我沒有考慮到0，因為特意敘述一下0很麻煩，大家知道就好了，這裡我就不講了）
我們現在已經知道了四則運算，那麼我們綜合一下，那麼四則混合運算又該如何理解呢？其實通過上面的討論，我們已經知道，其他的運算，都可以由加法來推導出來。但考慮到乘法寫成多項加法很麻煩，我們這裡選取乘法和加法作為基本運算。運用整體思維，其實我們可以把所有四則混合運算看作是兩個數先作乘積，然後再把這些乘積相加。譬如，其中的(1+2)就運用了整體思維，還運用到了前面我們的，一個數可以改寫成兩個數相加，運用逆向思維。同理，兩個數相加，實質上，也可以看作是一個數。這個理論還可以推廣（推廣留作習題）。至於為什麼要這樣看，當然是為以後從中引出那啥（聰明的讀者可能猜出來了）埋下伏筆啊，滑稽。
- 數列
現在我們再來看看1+1=2。前面我們已經知道，多個相同的數相加就是乘法，那麼我們再來變化一下這個式子，看能發現什麼。譬如，我們構造這樣一個式子，1+2+3+4+5，這個式子的變化規律是什麼呢？每一項都比前一項多出1。我們選取n作為項數，如此，我們就可以表示出每一項，進而求出前n項的和。這樣，我們發現了等差數列。但等等，只是知道是這樣，確實比較無趣，現在我們來考慮這樣一個問題，你能應用它嗎？自己構想出的問題，比書上的例題，其實有趣得多。我們來試試吧。關於這個問題，我想到了樓梯，樓梯的高度，就是等差的，運用等差數列的和，我們可以求出樓梯每階階梯的高度之和。你可能會說，求出高度有什麼有呢？這裡我們不妨再聯繫一下實際。我們求出高度之後，就可以根據階梯的特點，求出需要的材料的多少，進而根據市場上的價格，求出我建這些東西需要的成本。這不就引到了我們最關心的問題，錢嘛？做做這樣的思維訓練是有趣的，而且通過自己構造問題，你遇見實際問題時就不會不知所措了。你可以把這個作為模型，來類比，遷移。笛卡兒就曾寫道：「我所解決的每一個問題都將成為一個範例，以用於解其他問題。
根據上面的分析，等比數列就同樣可以由1+2+4+8來導出。在此我就不贅述了。這裡我想到提一個我今天一早想到的一個問題，雖然似乎與數列無關，但我覺得比較有趣，就寫下來讓大家看看，倘若一個細胞一生能分裂n次，每次分裂的間隔時間都是一樣的，不考慮其他情況，那麼這一個細胞剛完成最後一次分裂時，有幾個細胞?聰明的讀者一下就知道了，這是。但是現在呢？我們再用圖來表示一下。這裡我為了節約篇幅，直接說了，這就是楊輝三角。我們觀察看看，第一排就是表示初始時的細胞數1，我們用n表示分裂次數，那麼這排就是n=0的情形。第二排表示第一次分裂後的情形，如此遞推。而我們又知道楊輝三角其實是研究的二項式係數。如此，我們就可以用一個簡單的例子把它們聯繫起來了。其實我覺得還可以繼續再推導下去，但本人數學水平不夠，這個問題大家可以試試，看看能不能自己獨立推導出二項式的係數。舉這個例子，主要還是想說明，試著用不同的方法去做一道題，可能你會從不同的做題方式中發現新的東西，或者把本來看起來不相關的內容聯繫起來。
- 函數
我們終於講到這個可以說最重要的章節了，函數。繼續觀察1+1=2。我們不能總是用語言敘述如果我們知道某個數與1的和為2，那麼這個數是什麼。為了方便，我們用x代表這個未知數吧。來看看x+1=2，x=1。觀察x=1，你知道這是什麼嘛？這不就是常函數的形式嘛！當然，這與我們知道的常函數不太一樣，我們通常意義上的常函數，應該是y=1，不過這問題不大。通過上面的思路，我們再推廣一下，x+y=2，y=-x+2，出現了，這便是我們最熟悉的一次函數。那麼，假如我們再推廣一下，寫下呢？我們可以看出，這個東西是一個三元一次方程。（這裡，本來想把坐標系和函數分開來寫的，但是我發現函數與坐標系無法割裂開來敘述，而談到坐標系又不得不談談數形結合，所以這段可能會有點長，會一路講到微積分。放心，都是簡單的知識，應該）那麼這個三元一次方程，在空間坐標系中表示什麼呢？我們都知道，這表示平面。我們可以再問一句，x=1在空間坐標系中表示什麼呢？也是平面。那麼x+y=2在空間坐標系表示什麼呢？不好意思，還是平面。類比一下，我們可以知道，在平面直角坐標系中，x=1是直線，x+y=2也是直線。我們發現，同樣的式子，在不同維度的坐標系中，對應著不同的幾何圖形，而且我們可以進一步發現，高維空間（空間坐標系）可以輕易表示出低維空間（平面直角坐標系）中的式子（x+y=2），而低維空間（平面直角坐標系）無法表示出高維空間（空間坐標系）中的式子（x+y+z=2）。這裡我想到了線性代數里的一個結論：n+1個n維向量一定線性無關。（我稍微查閱了一下線性代數的書籍，這裡似乎有點跳躍，但你回去翻翻書，回想一下線性相關和線性無關的定義，應該可以理解的）這樣，我們用一個簡單的例子，就理解了線性代數中一個重要的結論。這裡我們先把這點放下，等到了後面的希爾伯特空間再說。
然後既然我們說到了坐標系，就不得不談一下數形結合。這裡我想聊聊我們一般忽視的東西，不等式。不等式就是數形結合的典範。觀察，我們試圖用數軸來表示出的話，我們就可以發現，這是一條射線。當然，類比下，你現在也知道了，表示一條線段。推廣一下，是什麼呢？半平面，當然，半平面好像不是我們所熟悉的，我們再加兩條線，與。這三條線構成了一個區域。那麼現在我問你，的最大值是什麼？你馬上就知道，這是一個線性規劃問題了。從中我們可以得出什麼結論呢？不等式可以確定出一個區域，這個區域，或是射線，或是直線，或是空間中任意一部分。（三維時的情形在此不贅述）我為什麼要講不等式？因為不等式可以作為定義域，積分區域。根據數形結合的思路，我們可以重新理解下多元函數。
經過前面的啰嗦，現在我們可以來秀操作了。用數形結合的觀點來看多元函數。我們最開始學習的函數可以看成是數軸上一個點x對應於數軸上另一個點y。現在，我們用平面上一個點，對應數軸上一個點z。這是什麼？這不就是複變函數嘛，你看，通過這樣的思考，我們輕而易舉就發現了複變函數。那麼，多元函數呢？數軸上一個點，平面上一個點，空間里一個點。一共有9種組合，你們可以自己試試。這其中我想特別說明一下，數軸上一個點，對應空間里一個點的情況。這是什麼？這是一元向量值函數。空間上一個點，我們可以寫成，其中，，其中的t其實就可以用數軸上一個點表示。這樣，我們就串聯了我們學過的各種函數。
數列，可以看作一些特殊的函數，這些特殊函數的自變數為整數。函數，可以與方程聯繫起來，我們最開始所學的函數，就可以看成是一個特殊的二元方程。而方程，在少於等於三元時，我們都可以用坐標系中的幾何圖案來表示。當方程的未知數逐漸增多時，我們原先的坐標系無法表示出高一維的方程，所以需要的坐標系的維度也會增加，這樣繼續下去，其最終的結果就是希爾伯特空間。
- 級數
這次我們從前面四則混合運算的結論出發，來導出級數。我們可以把所有四則混合運算看作是兩個數先作乘積，然後再把這些乘積相加。而數，可以看成函數自變數取特定值後的函數值。我們可以把裡面的數，換成函數，觀察式子，我們得到啟示，可以把一個函數，用其他函數的和來表示出來。在這裡，我們還要用逼近的思想。為了描述曲線的變化趨勢，在誤差允許時，我們可以在曲線某點畫一條與曲線相切的直線（這就是導數）。如果要更精確，我們可以試著在曲線某點的鄰域來畫出無數條直線，來逼近這條曲線。這個思路也是級數里的思路，在某點的鄰域我們用少部分冪函數可能無法很好地符合我們想要表示的函數，但當這些冪級數足夠多的時候，我們完全可以說它們是相等的。你觀察一下泰勒展開公式，捨去右邊含有二階導數及以上的項，即把它們看作高階無窮小以捨去，稍微變形一下，你就可以發現，這不就是初中我們學導數時的定義嗎？當然，現在大學了，你可以輕易看出，這裡缺個極限。實際上，逼近，就是極限中蘊含的思想。這樣，我們可以由極限這一思想，引出級數和導數。
我們目前主要學過冪級數和傅里葉級數。想必大家都比較熟悉，在此不贅述。我只想說明一下勒讓德多項式。在學習勒讓德多項式中，我們遇到了正交，完備的概念。這裡書上已經清楚地說明了，大家仔細研讀一下。在此我就照書上說一下，我們選取一系列的函數作為希爾伯特空間的基，我們選取的基必須是完備的，即基的個數不能低於空間的維數（想想前面的n+1個n維向量必線性無關），這其中，我們選取的基需要是正交的，這裡的正交，在基的數量為2或3時，就表現為垂直。在多於3時，就需要表現為滿足一個積分式等於0。我們原先所了解的平面直角坐標系和空間坐標系，就可以看作是我們選取一些相互垂直的單位矢量作為基構建坐標系。
接下來我說說我的想法，在廣義傅里葉積分中，我們用函數作為基，而我們原先所學的坐標系，都是由一些向量作為基的，那麼這兩者為什麼不能統合在一起呢？它們應該是同一樣東西啊。試著用向量運算中的標量積來看看。我們知道，兩個向量的標量積是一個數，舉例說明一下，例如，這裡的向量用了坐標來表示。倘若我們把其中的換成的話，再乘一乘，這好像就有點類似於我們的泰勒展開的一部分，把右邊這樣寫成無窮級數，左邊的18再改寫成一個函數的話，就是我們的熟悉的泰勒展開了。我們再來思考一下，把右式再改寫成，，這樣，我們就可以清晰地看到，其中出現了我們所熟悉的單位向量，這樣，我們可以把級數與向量用標量積聯繫起來。我們再來觀察向量的坐標表示，這不就是一個有序實數對嗎？我們記得，有序實數對其實可以用來表示空間中一個點。這樣，我們就知道，n維的向量其實可以對應一個n維空間中的一個點，當然這裡的點不是我們幾何意義上的點，而是點的概念在n維空間的推廣。這樣，我們就又回到了希爾伯特空間。
- 積分
上面我們談級數的時候，我們引出了極限和導數。通過把導數寫成微商的形式，我們又發現了微分。在微元法這一思想指導下，我們清楚，積分就是求連續的變化積累所得的結果，這個連續的變化產生的結果可以是面積，可以是體積，可以是長度等等。那麼問題來了，不連續的變化怎麼辦呢？我們想到了分段函數，通過分段函數，我們可以分別研究各自的範圍內滿足的函數，它們相互獨立，但總的結果，是它們的合成，這裡的合成可以是向量的合成，也可以是標量的合成（這裡我們為什麼要提向量呢？我們通常所說的積分得出的結果不是標量嗎？如果你學過光學，翻翻你的光學書，看看惠更斯-菲涅耳原理，它的意思不就是把向量拿來積分嗎？當然，一些簡單的向量積分實際上可以轉化為複變函數的積分，從而讓我們計算出來，利用歐拉公式就可以做到，在此不敘述）在物理中，我們可以想到什麼呢？波的獨立傳播定律，力的合成與分解，簡諧振動等。這就引出另一種重要的思想，隔離法。
接下來我想談談我們學過的積分。我們學習了多少種積分呢？最開始的一元函數的定積分，到後面的重積分，曲線積分與曲面積分，當然，還有我們後來在複變函數論中學習過的複變函數的積分。前面我們知道，不等式可以確定出一個區域，那麼等式可以表示出一個區域嗎？當然可以了，不就可以表示出一個平面區域嗎？我們還知道，方程少於等於三元時，我們就可以用數形結合。那麼現在看看積分區域，我們所做的題中是怎麼給出積分區域的呢？可以用方程的形式，這個形式常見於曲面積分，當然，這東西也可以表示成隱函數。積分區域也可以用不等式的形式的形式，這個常見於閉合曲線積分。接下來，我們注意一下曲線積分和複變函數的積分，這提示我們，積分值與積分路徑有關。那麼問題來了，我們所學的一元函數的定積分，似乎和路徑並無關係啊？怎麼沒有關係呢？我們應該還記得這樣一個公式，。什麼意思？本來的積分路徑，是從A(a,0)到B(b,0)的長度為b-a的線段，或者說得更直接一點，向量。後來的積分路徑，就變成了B(b,0)到A(a,0)的長度為b-a的向量了。由於積分路徑的改變，積分值的正負都發生變化了，怎麼能說沒有關係呢？這樣，我們可以知道，積分，與積分路徑，積分區域，被積函數都有關係。只是一元函數的定積分中，一般不考慮積分路徑，畢竟就兩種。重積分中，重點考慮積分區域，不考慮積分路徑。曲線積分中，重點考慮積分路徑，不考慮積分區域。這裡，問題來了，我們能不能對一個曲線積分考慮積分區域呢？如果可以，需要什麼條件？當然我們現在都知道，格林發現了這點，格林公式，便是把閉合曲面積分轉化為二重積分。關於積分的內容，就講到這裡了，接下來把積分與希爾伯特空間聯繫起來。
繼續聯繫我們的加法，我們可以發現，所謂積分，不就是加法嘛？我們應該還記得，積分最開始，就是把一個面積無限劃分，把它表示成一個級數，然後取了一個極限，引入一個新的符號，積分。所謂積分，就是在空間中劃分出一份區域，然後研究各個小的區域的影響，最後把各個小區域的影響加起來（當然這裡的加，不是我們四則運算中的加），得出結果。這個區域可以是曲線，曲面，可以是部分空間，也可以是閉合曲線，閉合曲面。（當然，並不是所有積分區域你都能畫出來）而多元函數的積分，可以看成是在一個希爾伯特空間中進行如上操作。
- 矩陣
這是最後一站了，寫完這一節，我們就終於可以正式引出我們想要的希爾伯特空間了。我們還記得，矩陣的引入，是為了解決多元線性方程組的求解問題。多餘的內容我就不說了，書上已經詳細說明了，這裡我想講講矩陣的秩這個東西。在學習矩陣的秩的時候，我想說明的一點是，為什麼係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩等於n元線性方程組的元數時，我們能得到唯一解？在通過化簡得出矩陣的秩以後，我們就可以把矩陣再寫回方程組的形式。通過觀察方程組我們可以直觀地看出，秩與方程的解的關係，有興趣的同學可以試試。在這裡，我想說明的就是，注意定義的理解，定義實際上就是一種思路，你對定義的理解程度，可以轉化為你的解題能力，在定義的基礎上，我們結合具體的例題，就可以加深我們對定義的理解。之所以想講這一點，是由於，我在學習理論力學的過程中，遇見轉動慣量張量的時候，我產生了困惑。為什麼轉動慣量可以寫成矩陣的形式。現在仔細思考後，我才明白，如果換種思路，來看看角動量的那三個分量方程的話，我們就能理解了。我們把看作未知量，全部看成是常數。然後你會發現，這不就是一個三元線性方程組嘛，只要是多元線性方程組，不就可以寫成矩陣的形式嘛？
在這裡，既然提到了轉動慣量，我們就再談談，實對稱矩陣的對角化。在線性代數中我們了解到，實對稱矩陣一定可以對角化。那麼在物理中，這個定理是怎麼體現的呢？我們的轉動慣量是一個實對稱矩陣，意思是，我們總可以通過選取適當的坐標系，使慣量積為0。反過來再理解實對稱矩陣的對角化，我們可以發現，矩陣的變換，其實可以看作是對坐標系進行一定的變換，這樣，我們就又回到了坐標系。
接下來，我想說說二次型的標準化。我們可不可以用一個簡單的例子，發現二次型是可以標準化的呢？當然可以了。考慮，我們可以令。這樣，我們就可以得到，。把這個式子從右往左看，你就可以發現，這不就是一個二次型的標準化嗎？而且你還發現，二次型的標準化需要用的方法，就只是換元而已，只不過我們是用矩陣來研究而已。現在，我們再來提提前面所說的，我們可以把所有四則混合運算看作是兩個數先作乘積，然後再把這些乘積相加。現在在矩陣的基礎上，再來讀讀這句話，你發現了什麼？這不就是矩陣的乘法嗎？分別相乘再相加。這啟示我們，完全可以把方程，寫成矩陣相乘的形式。你回頭看看線性代數二次型的標準化那節，是不是把二次型寫成了矩陣相乘的形式呢？
現在補充一下前面我們所說的多元線性方程組的解，對於三元線性方程組，我們還可以不用秩來理解方程的解的個數。我們前面有個結論，對於少於等於三元的方程，我們就可以嘗試用用數形結合。第一個三元一次方程組可以確定出一個平面，第二個三元一次方程組可以再確定一個平面，這兩個平面相交，可以得到一條直線，這條直線與第三個平面相交於一點，這個點的坐標，就是方程的解，這便是三元線性方程組有唯一解的情形。其他情況，感興趣的同學可以自己摸索。之所以再說遍數形結合，只是想鞏固一下，以免你們忘記。
線性代數中，提到過線性空間的概念，其中提出了兩個條件，線性無關，線性空間V中任意一個元素都可以用線性表示，這樣，就定義出了n維線性空間。現在我們通過希爾伯特空間的概念來看看。線性無關，不就是正交嗎？線性表示，不就是完備嗎？如此一來，我們就可以再聯繫希爾伯特空間。
- 希爾伯特空間
總結篇，全程高能。接下來要秀操作了。
我們選取一些函數作為基，只要這些基是正交和完備的，就能構成無窮維的希爾伯特空間，希爾伯特空間中的函數，可以表示成無窮級數的形式。利用矩陣，我們可以對希爾伯特空間進行變換，改變構成希爾伯特的基。函數，是方程的特殊形式，數列，是特殊的函數，而方程，只要是其元數是有限的，我們就可以在希爾伯特空間表示出來，這是由於高維的空間可以表示出低維的方程。又高維空間包含了低維空間，故希爾伯特空間可以划出任意有限維的空間，如果劃分出的是三維，二維，一維的空間，我們就可以考慮數形結合。而所謂函數，就是在希爾伯特空間劃分出兩個空間，這兩個空間的維數可以是不一致的，兩個空間的點存在的映射關係，就是廣義的函數。而所謂積分，就是在希爾伯特空間中划出一定的區域，在這個區域中考慮微小變化後再疊加產生的結果，當我們選取的區域是空間的時候，就是體積分，選取的區域是曲面時，就是曲面積分，選取的區域是曲線時，就是曲線積分，選取的區域的維數大於三維的時候，就抽象出我們的多元微積分。
下面聯繫一下物理，我們所說的希爾伯特空間，其實早在熱學中，就有接觸，只不過我們當時叫它相空間，相空間中每一個點，都對應了系統的一種狀態。我們推廣一下，可以看出，所有的現實生活中的客觀實在，都對應了希爾伯特空間中的一個點，當這個點不移動的時候，我們就觀察到靜止的物體，當這些點開始動的時候，就是各種各樣的物理過程，而這些點的運動有一定的規律，我們可以用一些方程來表示出這些規律，研究這些點在某些區域的運動狀況，當這些點的運動區域改變了，我們原來的方程可能就不適用了，需要新的理論。
上面我們用了很多的換元來發現新規律，我們思考這樣一個問題，為什麼換元法是如此有效呢？我們應該還記得，理論力學上學習過的簡諧振動，我們是怎麼找到簡諧振動的呢？運用換元。從這裡我們就可以看出，換元其實就是通過表象找到其最本質的東西，而其本質，往往是簡單的。不過這樣，等價就不服了，兩個東西互為充要條件，我們就可以說它等價，仔細思考一下，我們解題，其實就是在作等價變換，找到其最本質的東西，而本質，往往是簡單的。把換元納入等價中，你就可以發現，等式是等價的一種表現形式，而換元說白了就是個等式，綜合起來，我們可以發現，等價其實是我們解決問題時不經意運用的方法。
關於上面的討論，有些同學可能會有些不解，我怎麼可以僅憑几個例子就得出這些結論呢？我想說明的是，我是學物理的，我不是學數學的，那些數學上的概念我不必了解地很清楚，我只需要理解就好了。至於為什麼可以作出這些結論，我想說，難道非得等到你學完了所有的知識，你才能提出自己的見解嗎？想法可能是錯的，但僅僅因為這些，你就不提出觀點了嗎？正如莊子所說，吾生也有涯，而知也無涯，以有涯隨無涯，殆已。
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