自然底數e「自然」在哪裡？

4 人贊了文章

自然底數e「自然」在哪裡？

讓我用一個在邏輯上能夠真實發生的故事，開始說明自然底數e是多麼的自然。

有一種每天能、而且只能分裂出1株細菌b1的細菌b0。

分裂出新細菌b1這件事的發生時間，均勻分布在24小時中的每一秒。

假定分裂出的細菌b1沒有分裂能力。

假定這一天D1開始時，我們有一組細菌b0，數量是Q（假設Q是一個很大的值）。到這天結束時，我們得到的細菌總量是2Q。

現在改變劇本：

允許分裂出的每株細菌b1具備和b0一樣的分裂能力（即：從它出生的第0秒開始，在隨後的24小時內，能、而且只能分裂出1株細菌b2，分裂出新細菌b2這件事的發生時間，均勻分布在隨後的24小時中的每一秒）；

我們還允許由細菌b1分裂出的細菌b2，以及b2以後所有的細菌bn都具備和b0一樣的分裂能力（即：從它出生的第0秒開始，在隨後的24小時內，能、而且只能分裂出1株細菌b(n +1)，分裂出新細菌bn+1這件事的發生時間，均勻分布在隨後的24小時中的每一秒）。

新的一天D2開始時，我們還是有一組細菌b0，數量是Q（假設Q是一個很大的值）。當這天結束時，我們得到的細菌總量將是一個隨機變數，這個隨機變數有一個確定的期望，這個期望就是2.71828*Q（自然底數e倍的Q）。

這個能夠真實發生的故事，能夠說明自然底數e是個很自然的常數。

確保這個自然事件的「自然性」有2處核心特徵。

特徵1：單個細菌的分裂行為完全相同：既不存在時間差異（每24小時分裂且只分裂x次，即：每一秒發生分裂的概率都一樣，單個細菌有時間穩定的分裂行為），也不存在代際差異（不論是bN代細菌中的第幾代，都具備完全相同的無差別的分裂能力）；

世界上的任何事情，只要蘊含了上面這2個核心特徵，那麼在描述這件事時，就一定少不了e。如：鸚鵡螺、對數螺線、銀行複利、Poisson分布、正態分布、指數曲線、菌群生長……

形形色色的需要e參與的自然現象看起來可以有很大不同，但都只不過是在特徵1或特徵2的基礎上做了一些變化。

特徵1，單個個體的分裂行為可以有不同含義，如：「本金的年利率是1」，或者是「每年每條螺線增生出2條螺線」，又或者是「每隻兔子每年生3隻兔子」。

對象群體的分裂行為也可以有不同含義，如：「今天存入的本金年利率是1，一個月後，新增利息能夠產生的利息的年利率仍舊是1（不允許變成0.9）」，或者是「今年新生的這2條螺線中的每條螺線，到了明年都能各自再生2條（不允許變成3條）螺線出來」，又或者是「今年新生的這3隻兔子中的每隻兔子，到了明年都能各自再生3隻（不允許變成4隻）兔子出來」。

特徵2，對象群體的分裂行為也可以有不同變化：相鄰2代群體的數量以階乘級數遞減，或者以p級數遞減（在本故事中，增加約束條件：每株細菌只能分裂2次，2次之後，該細菌喪失分裂能力，只保持存活狀態。若干天后的菌群總量的期望雖然仍舊與e相關，但演算法不再是階乘級數，而是p（>1）級數）。

以Poisson分布為例，看看它怎樣契合這2個核心特徵。

Poisson分布用於描述單位空間（單位時間、單位面積、單位體積等）內，隨機事件發生的次數。所有事件獨立同分布，單個事件的行為完全相同，具備特徵1。當n個事件發生時，發生（n+1）個事件的概率等比減少（等比級數），具備特徵2。所以，Poisson分布函數中出現了e的身影。

特徵1和特徵2揭示的是一種固定的模式，這個模式蘊含很多能夠唯一描述該固定模式的數對，而自然底數e這個數對（群體數量在1個單位時間內增長到e = 2.71828倍，「1個單位時間」對應「1個增長倍數」）也只是該模式下，眾多數對中的一個，比如，另外一個數對也能夠唯一描述該固定模式：群體數量增長1倍消耗E = 0.69314（=ln2）個單位時間。這個數對看起來好像也很好。我們為什麼沒有選擇這個數對，取e=0.69314？目前的這個選擇（e=2.71828）有什麼獨特優勢？

自然底數e其實是人們為描述自然增長現象，而遴選出來的「一般等價物」，這個「一般等價物」具備方便的兌換特性（e = 2.71828是便於交易的金幣，E = 0.69314是不便於交易的山羊，儘管本質上，山羊和金幣都可以用於交易）。

相比E，e有這樣一種獨特能力：它能為實數加群和實數乘群搭建一座能夠互通的橋樑。

觀察指數曲線y = e^(x)：

曲線在點x的各階導數保持不變，其含義是：從時刻x到時刻（x + delta x），群體數量的代際增長率相等（滿足特徵1）。

系統初始（x = 0）時，群體數量為1個單位（y = 1）。經過1個生命周期（x = 1），群體數量增長到2.71828個單位（y = e <> E）。

如果規定x軸為實數加群A（只考慮加運算，忽略乘運算。零元為0），規定正y軸為實數乘群B（只考慮乘運算，忽略加運算。幺元為1）。那麼函數y = a^(x)（a取任意正實數）是加群A到乘群B的一個同構映射：加群A和乘群B在映射y = a^(x)條件下同構。

要讓群A和群B同構，看起來並不需要a = e，就是說，強制要求a = e並不會有額外的好處。

這裡的群A和群B都是1維實數群，讓我們把1維實數群（直線）拓展到2維實數群（複平面），看看會發生什麼。

規定複平面為實數加群A（只考慮加運算，忽略乘運算。零元為0+0i），規定極坐標平面為實數乘群B（只考慮乘運算，忽略加運算。幺元為1）。這時，函數y = a^(x)（a取任意正實數）是加群A到乘群B的一個同態映射（不再是同構映射）：加群A和乘群B在映射y = a^(x)條件下同態。

1維變2維，同構退化成同態（這不好）。

加群A的零元在複平面上沿實軸滑動，對應乘群B的幺元在極坐標平面上沿徑向伸縮。

加群A的零元在複平面上沿虛軸滑動，對應乘群B的幺元在極坐標平面上沿軸向旋轉。

在考察2個群的性質時，如果它們同態，這很好；如果它們能同構，那就更好了。

當映射y = a^(x)時，群A和群B只同態（不同構）。既然在整個群裡面做不到同構，如果能在群的某些關鍵區域實現同構，這也不錯。

什麼區域是關鍵區域？群B在極坐標平面上的單位環。如果能為群B的幺元在旋轉一周的區域上同群A的對應區域建立同構關係，這是很價值的。

乘群B的幺元旋轉一周經過的路線長度是2*pi*r = 2*pi（幺元的模為1，幅角為0）。我們要做的，就是給該圓周上長度為2*pi這段距離上的每一個點都在群A中一一映射一個原象。這意味著：群A的零元沿虛軸滑動2*pi個單位距離，對應群B的幺元沿軸向（垂直於徑向）旋轉一周（滑動過2*pi個單位距離）。

在眾多的映射y = a^(x)中，誰能完成這個任務？只有a = e的那個映射（y = e^(x)）可以做到。

若a = E < e，y = E^(x)（x隸屬於群A，y隸屬於群B）：

當群A的零元沿虛軸滑動2*pi個單位距離，對應群B的幺元沿軸向（垂直於徑向）旋轉不到一周（2*pi個單位距離）。

若a = E > e，y = E^(x)（x隸屬於群A，y隸屬於群B）：

當群A的零元沿虛軸滑動2*pi個單位距離，對應群B的幺元沿軸向（垂直於徑向）旋轉超過一周（2*pi個單位距離）。

只有當a = E = e時，y = E^(x)（x隸屬於群A，y隸屬於群B）：

當群A的零元沿虛軸滑動2*pi個單位距離，對應群B的幺元沿軸向（垂直於徑向）旋轉恰好一周（2*pi個單位距離）。

群B的幺元旋轉一周，對應的映射是：1 = e^(2*pi*i)；

群B的幺元旋轉半周，對應的映射是：-1 = e^(pi*i)，這就是Euler恆等式。

我們剛剛究竟是做了些什麼？pi是個超越數，我們是從滿足特徵1和特徵2的眾多數對中，揀選出一個能夠在兩個群之間建立匹配pi的偽同構關係的數對，這個數對是e（它是人和pi共同揀選出的一個值）。

小結：

1）自然底數e，是所有具有個體增長穩定性和集群增長收斂性的自然現象的，眾多內稟特徵數對中的一對（它很自然，是這類自然現象的自然屬性；它也很特殊，但和它一樣特殊的數對有很多）。

2）自然底數e，是唯一能為一個加群和一個乘群建立關鍵局部同構關係的指數映射的底（它很自然，如果要在2個具有不同操作的空間的在某些局部建立一一對應關係，這個關係就是它；它也很特殊，因為是人希望為這兩個群建立這種關聯，所以是人揀選了e，自然才不關心這種關聯或那種關聯，自然應該有些不理解：你們人類在搞什麼搞？弄出這個2.71828是什麼個意思？）。