線性代數講義04 | 什樣的方程組才有解？兼談「矩陣的秩」

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上一講我們通過引入「極大線性無關組」的概念、得到的結論是：一個線性方程組中真正「有效的方程個數」，應該是這個方程組中各項係數與常數項構成的向量組中，極大線性無關組中向量的個數。

當方程組中「有效」方程個數等於未知變數個數時，方程組有唯一解；當方程組中「有效」方程個數小於未知變數個數時，方程組有無窮多個解。但是最後，我們進一步的問題是：「方程有多少個解」這個問題預設了一個前提，即「方程組必須有解」。

這一講，我們的主題即是要回答：

Q | 在什麼樣的情況下一個線性方程組的解才會存在。

• 這是《線性代數》系列講義的第04篇，本文整理自以下課程：

線性代數入門：從方程到映射?

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我們回頭再看本系列第02篇講義【點擊查看】中給出的第二個例子：

——這是一個無解的線性方程組。通過之前的討論，我們已經可以清晰地看到：它之所以沒有解，原因在於在經過Gauss消元法的操作之後，方程組中出現了 這樣與事實明顯相悖的式子，我們現在來運用第三部分中的知識來重新研究這這個例子，並解釋清楚在什麼樣的情況下一個線性方程組的解才會存在。

為了講清楚這個問題，我們先來引入一個新的定義：矩陣的秩。

矩陣的秩

將一個矩陣的按行分開，把每一行視作一個向量、稱為矩陣的「行向量」；一個矩陣全部的行向量組成的向量組中可以找到一個極大線性無關組，這個極大線性無關組中所含向量的個數稱為該矩陣的「行秩」。

同樣地，如果把這個矩陣按列分開，可以得到矩陣的全部「列向量」，計算全部列向量的極大線性無關組所含向量個數，稱為矩陣的「列秩」。

在一般的線性代數教材里 ，還有關於矩「子式秩」的定義，我們可以比較容易地證明矩陣的行秩等於列秩、不太容易地證明行秩還等於子式秩。

——總之，一個矩陣的行秩、列秩、子式秩這三個量是永遠相等的，我們統一地將它們稱為「矩陣的秩」。

關於第二個方程組「無解」的進一步解釋

我們之前介紹了方程組的「係數矩陣」和「增廣矩陣」，現在我們分別寫出第二個線性方程組相對應的這兩個矩陣：它的係數矩陣 和增廣矩陣 分別是：

我們現在從「矩陣的秩」的角度來重新認識一下方程組最後出現的 這個式子的實質：在經過Gauss消元法的操作之後，從係數矩陣來觀察： 的最後一行全部變成了0；但是從增廣矩陣的角度來觀察：Gauss消元法的操作之後， 的最後一行還剩下了一個位置是 。

這說明：如果我把$A$的行向量分別記作 、 和 的話，可以知道： ——換言之，它的係數矩陣的三個行向量是線性相關的， 可以被 和 和線性地表示出來——而我們可以檢驗：前兩個行向量構成了全部行向量的極大線性無關組，也就是說： 的秩等於 ；

但是按照同樣的操作， 的三個行向量 、 和 之間並不能完全消除任何一個，事實上、如果計算 ，我們不難得知： ，——也就是說， 、 和 之間本身就是線性無關的，換言之： 的行秩為 。

簡而言之，這個方程組「係數矩陣的秩不等於增廣矩陣的秩」，這是第二個方程組無解的主要原因。

我們最後再重新回到方程組本身來看一看。

係數矩陣就是方程組等號左邊未知元係數組成的矩陣、增廣矩陣則加上了方程組等號右側的常數項。「係數矩陣的秩不等於增廣矩陣的秩」——就是說，我們使用Gauss消元法對整個方程組進行化簡，到最後時，係數矩陣——即方程組等號左側部分——某些行完全被消成 ，然而這些行對應的方程等號右側還不是 ，這就造成我們這個例子中出現 的本質。

這就是大家在《線性代數》教材中看到的「線性方程組解的存在性判別條件」的基本內涵。