數學結果告訴你足球的賽程安排並不能做到完全公平

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作者：Marianne

翻譯：山寺小沙彌

審校：Nothing

2007年，白蘭恩足球俱樂部在挪威超級聯賽中笑到了最後。球迷們欣喜若狂，他們都覺得勝利歸屬於於巴西球員阿蘭齊尼奧。只有阿蘭齊尼奧沒有為白蘭恩效力過，他曾效力於白蘭恩的對手斯塔貝克。所以，這到底是怎麼回事呢？

在白蘭恩勝利背後隱藏著許多球迷都熟悉但卻又很少被拿出來談論的現象。在天賦異稟的阿蘭齊尼奧的幫助下，斯塔貝克在整個賽程中所向披靡，擊敗了一個又一個對手。在26輪的比賽中，白蘭恩幸運的遇上了剛被斯塔貝克擊敗的對手。「這被認為是白蘭恩的一個優勢：他們可以有組織地對抗實力較弱的球隊，」來自根特大學的運籌學教授Goossens說道。由於輸掉的球隊與之前對手的比賽中可能有紅牌或停賽的產生，所以他們的實力被削弱了，而且他們在失敗後士氣低落。」因此，這個賽程讓白蘭恩很容易成為冠軍。」

一般來說，在一輪比賽中，A隊先和X隊打，打完之後B隊再和X隊打，這種情況下A隊會給B隊帶來延滯效應。如上文提到的例子所示，這種效應可能會給B隊帶來優勢，但也會導致不利。Goossens解釋道：「作為一個中間球隊，你可以在第一場比賽中提升士氣，因為你和一個弱隊打了一場比賽，拿下比賽並且滿懷信心地遇上下一個球隊。」在這種情況下，X隊將會受益，而B隊也會受到影響。但無論誰受益，賽程應該合理安排，以避免一連串延滯效應在相同的兩支隊伍中不斷發生，就像挪威聯賽中發生的那樣。

自2006年以來，Goossens和Frits Spieksma一直負責安排比利時職業聯賽。當他們接手這項工作時，他們已經意識到了延滯效應帶來的影響，他們決定看看其他足球聯盟是如何處理的。考慮到許多與足球相關的因素，如金錢、大家的關注、球員的努力等，答案卻是令人驚訝的：許多歐洲聯盟以最糟糕的方式處理了這一問題。

旋轉時鐘

許多主要的聯賽，包括德甲聯賽，西班牙的西甲聯賽和葡萄牙的葡超聯賽，都使用了一種整潔而非常古老的幾何方法來進行賽程安排。這種時鐘方法是由英國數學家托馬斯·彭迪恩柯克曼於1850年發明的，用來解決所謂的「女生問題」。

下面是它的原理。如果賽程包括n個隊伍（n為偶數），則首先將前n-1個隊圓形排列。然後將最後一個隊伍放在圓心處，按如下所示的方式兩兩配對（這個方法適用於任何的偶數n）：

這樣就能得到賽程的第一輪。然後保持這些字母的位置不變，順時針旋轉這些線，於是就得到了如下的結果：

這就是賽程的第二輪。接著就是一直順時針旋轉這些線來得到所有的賽程安排。在最後一輪，你得到的結果如下：

這種方法得到的結果是一個n-1輪完整的賽程表，其中每個球隊只和其他球隊進行一場比賽並且沒有衝突。

Round 1 Round 2 Round 3 Round 4 Round 5 Round 6 Round 7

A-H A-C A-E A-G A-B A-D A-F

B-G B-H B-D B-F C-G B-C B-E

C-F D-G C-H C-E D-F E-G C-D

D-E E-F F-G D-H E-H F-H G-H

一旦賽程的骨架出來以後，你還要考慮主客場的影響，妥善安排回程的比賽，將真實的隊伍名稱替代上述的字母，以滿足可能擁有的其他約束條件，例如，兩個球隊共享一個體育場，就不能在同一天進行主場比賽。使用旋轉時鐘法也可以確定主客場的比賽，但是我們將忽略這些額外的任務，將主要的關注點放在如何創建考慮了延滯效應的賽程表。

正如上面表格中的顏色所顯示的，F隊帶給了A隊5次延滯效應。考慮到在這個例子中總共只有7輪比賽，所以這可不是好的賽程安排。要了解在整個錦標賽中，延滯效應會對比賽產生什麼樣的影響，我們可以創建一個個延滯效應有關的表格。與第X行和列Y對應的條目是X隊給Y隊帶來的延滯效應的次數。我們這個例子中的延滯效應表顯示了一個非常漂亮的模式，但它不是我們想要的。在7組配對中，某一個隊總的給另一個隊帶來了5次延滯效應。

延滯效應似乎在某種程度上影響著比賽的結果，所以Goossens和Spieksma，以及Erik Lambrechts和Annette Ficker，決定對這個理論進行更深入的研究。他們發現，並在數學上證明了，當涉及到延滯效應時，旋轉時鐘法可能是糟糕得不能更糟糕的方法。

這是相當令人震驚的結果。「這是足球以及其他運動項目中最常見的賽程安排，但這樣的安排非常糟糕的，我想我們可以為比賽的相對公平做點什麼」Goossens說到。在學術文獻中，延滯效應在20世紀80年代首次被提到，但由於某種原因，它並未受到足夠的重視。「人們要麼沒有意識到這一點，要麼他們意識到這一點，但他們不知道它的名字或者術語。」

最壞的結果

旋轉時鐘法帶來的最糟糕的影響是什麼？衡量延滯效應的影響的可行的方法是將影響的次數求平方和。（我們對表中數字的平方進行求和的原因是，只計算數字本身就會給出相同的結果。）在上面的例子中，這個值是196。Goossens和他的同事證明了使用時鐘方法產生的賽程表得到的延滯效應值總是最大的。相反地，任何具有最大的延滯效應值的表都可以用時鐘方法生成，例如通過改變字母在圓中排列的方式。

為了讓你能更直觀的認識到延滯效應是多麼糟糕，我們考慮n = 20支球隊的比賽。最著名的時間表（在盡量避免延滯效應的影響的情況下制定的）得到的延滯效應的值是380。而旋轉時鐘法與之對應的值是5548。對於n = 24，兩者分別是644和10212，這是多麼巨大的差異啊！

爭取平衡

旋轉時鐘法肯定是行不通了。理想情況下，我們希望有這樣一個賽程表：在這個時間表中，某個球隊在整個賽程中所施加給其他球隊延滯效應應該是均勻分布的，也就是說，每個球隊都能精準確定其他球隊給自己帶來延滯效應的次數。這樣的賽程表就相對均衡了。在這種均衡的賽制里，延滯效應值為：n(n-1)，而用時鐘方法得到的值為：((n-3)2+3)(n-1)。

然而，要做到相對平衡是說起來容易做起來難。在所涉及的球隊達到24支的比賽，我們只能找到n=4，8，16，20，22這些數目球隊的平衡的賽程表。對於其他n的取值，我們要麼知道一個平衡的表不存在，要麼不知道它是否存在，或者存在的它是什麼樣。下面的表格告訴我們每個n都適用哪個選項。更一般的說，存在平衡表的n值一般是2的幾次冪，但也有例外的，如20和22。很令人驚訝的是，在足球比賽的賽程安排里竟然也存在著未解決的數學問題。

為了生成可供選用的賽程表，Goossens建議使用一些數學方法，這些方法是專門設計用來解決一些約束問題的，比如所謂的整數規劃。一旦這樣的方法給了你一個可供挑選的花名冊，你就可以將它與時鐘方法相結合從而獲得更加平衡的賽程表。這樣就可以盡量的減少延滯效應的值，並保留旋轉時鐘方法的一些優點。

在2007年潰敗之後，挪威出台了一項明確的規則，以確保賽程表是相對合理平衡的。在比利時是沒有明確規定的，但只要Goossens負責賽程安排，我們就可以很確定，延滯效應的影響肯定會被考慮進去並得到較好的解決。在世界各地和不同的體育運動中，人們對延滯效應的認識是否會增加還有待觀察。但有一件事是可以肯定的：讓一個數學專家來做你的日程安排會是一件好事。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/football