MP26：力學與電磁學中的外微分(2)：Maxwell方程組、電場與磁場、Hodge星運算元

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接上講

MP25：力學與電磁學中的外微分(1)：鏡像、極/軸向量、叉乘、nabla運算元/外微分運算元?

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電場與磁場

在中學物理看來，電場

$E = E_xi + E_yj + E_zk$

和磁場

$B = B_xi + B_yj + B_zk$

都是向量場， ${i,j,k}$ 為 $mathbb{R}^3$ 的自然基。

回憶一下中學物理，電場 $E$ 視作電勢 $U$ 的梯度：

$E = ext{grad}(U) = abla U$

前面講到，梯度運算元運算的結果是微分形式：

$ext{grad} = abla : Omega^0(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^1(mathbb{R}^3)$

電勢作為標量場是一個 $0$ -微分形式，於是更加嚴格地說電場 $E$ 實際上是一個 $1$ -微分形式：

$E = dU = E_xdx + E_ydy + E_zdz$

其中 ${dx,dy,dz}$ 是 $1$ -形式 $Omega^1(mathbb{R}^3)$ 的自然基。

我們知道電場是滿足鏡像的，而磁場被視為軸向量(axial vector)。更加嚴格地說軸向量的磁場是一個 $2$ -形式

$B = B_x dy wedge dz + B_y dz wedge dx + B_z dx wedge dy$

其中 ${dx wedge dy, dy wedge dz, dz wedge dx}$ 是 $2$ -形式 $Omega^2(mathbb{R}^3)$ 的自然基。原因如下。

經典Maxwell方程

國際單位制中真空Maxwell方程組為：

$egin{cases} ext{rot} B = mu_0varepsilon_0 frac{partial E}{partial t} + mu_0j \ ext{rot} E = -frac{partial B}{partial t} \ ext{div} B = 0 \ ext{div} E = ho/varepsilon_0 end{cases}$

或者寫為

$egin{cases} abla imes B = mu_0varepsilon_0 frac{partial E}{partial t} + mu_0j \ abla imes E = -frac{partial B}{partial t} \ abla cdot B = 0 \ abla cdot E = ho/varepsilon_0 end{cases}$

既然電場 $E$ 實際上是一個 $1$ -微分形式：

$E = dU = E_xdx + E_ydy + E_zdz$

那麼電場繼續進行外微分運算：

$ext{rot} = abla imes : Omega^1(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^2(mathbb{R}^3)$

實際上是在對電場求旋度，根據Maxwell方程得到磁場的變化率：

$ext{rot}(E) = abla imes E = dE = -frac{partial B}{partial t}$

磁場是 $2$ -形式，其變化率也是 $2$ -形式，這符合我們對磁場的觀點。

繼續對 $2$ -形式的磁場

$B = B_x dy wedge dz + B_y dz wedge dx + B_z dx wedge dy$

進行外微分運算：

$ext{div} = abla cdot : Omega^2(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^3(mathbb{R}^3)$

實際上是在對磁場求散度，根據Maxwell方程得到零：

$ext{div}(B) = abla cdot B = dB = 0$

Hodge星運算元

注意到，一般我們理解的散度是一個標量，從nabla運算元 $abla$ 和向量（微分形式） $B$ 的內積符號，也能感受到 $abla cdot B$ 是一個標量。可是，以上外微分運算的結果應該是一個 $3$ -形式，而如何理解：

$abla cdot B = dB = 0 in Omega^3(mathbb{R}^3)$

呢？

在三維空間中，磁場 $B$ 的表現非常類似於一般的向量場，以至於在學習微分幾何之前，我們幾乎不太注意到磁場的特殊性。前面的討論充分展示了磁場 $B$ 是一個2-微分形式，可我們過去學過的物理大部分情況都把它直接作為向量場對待。究其根源，是因為三維空間中的2-微分形式與向量場有等效的關係。

定義 $n$ 維光滑流形 $M$ 上的Hodge星運算元(Hodge star operator)如下：

$star:Omega^k(M) o Omega^{n-k}(M)$

通過Hodge星運算元，可以建立起 $n$ 維光滑流形中 $k$ -微分形式和 $(n-k)$ -微分形式之間的等效關係。

磁場 $B$ 的表現非常類似於一般的向量場，是因為在 $mathbb{R}^3$ 中， $1$ -形式和 $2$ -形式等效，所以我們在初等教材中從不區分磁場和一般向量場的區別。

磁場 $B$ 沒有散度：

$abla cdot B = dB = 0 in Omega^3(mathbb{R}^3)$

是因為在 $mathbb{R}^3$ 中， $0$ -形式和 $3$ -形式等效，磁場的散度為常數 $0 in Omega^0(mathbb{R}^3)$ 相當於：

$dB = 0 dx wedge dy wedge dz$ 其中 ${dx wedge dy wedge dz}$ 是 $2$ -形式 $Omega^3(mathbb{R}^3)$ 的自然基。

在Hodge星運算元的作用下，我們可以重新定義nabla運算元和外微分的關係：

$ext{grad} = abla = d : Omega^0(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^1(mathbb{R}^3)$

$ext{rot} = abla imes = star d : Omega^1(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^1(mathbb{R}^3)$

$ext{div} = abla cdot = star d star : Omega^1(mathbb{R}^3) stackrel{d}{longrightarrow} Omega^0(mathbb{R}^3)$

前面的等效關係就十分清楚了。

Maxwell方程的進一步探討

在靜態狀況，Maxwell方程中的兩項可以寫為： $egin{cases} abla imes E = 0 \ abla cdot B = 0 end{cases}$

前面我們將電場和磁場視為：

$E = E_xdx + E_ydy + E_zdz in Omega^1(mathbb{R}^3)$

$B = B_xi + B_yj + B_zk in Omega^2(mathbb{R}^3)$

根據

$abla imes E = 0$

有

$dE = 0$

根據

$abla cdot B = 0$

有

$dB = 0$

如果我們可以把電場和磁場合寫為一個量的兩個項的形式和：

$F = B + E wedge dt$

由於外微分運算元 $d$ 的線性性，Maxwell方程中的兩個可以合併為

$dF=0$

推導到這一步將大大簡化對電磁場的理解，並引申出電磁作為整體的電磁勢。所謂勢，就是指可以被外微分的物理量，我們在分析力學和電磁學裡面已經多次遇到了。然而目前，我們還沒有解決Maxwell方程的解和光速不變性的問題，要完全展開對電磁勢的討論，需要考慮狹義相對論，在Minkowski空間上完成，今後將會再詳談。