Eng1：漫談能量系列：機械功、仿射空間與平移群、Riesz引理與對偶空間
來自專欄數學物理私塾課
6 人贊了文章
能量是物理學的核心概念，支撐著物理學的方方面面。這一系列的文章將把能量作為一個專題來討論，在審視基礎的問題時運用不同的角度和工具，讓讀者對能量有更深的體會。
Wiki的能量詞條
In physics, energy is the quantitative property that must be transferred to an object in order to perform work on, or to heat, the object. Energy is a conserved quantity; the law of conservation of energy states that energy can be converted in form, but not created or destroyed.
這裡的幾條要點都可以延伸出豐富的內容：
- 能量是數量，是不隨坐標系（基）變換的標量，是
-階的張量；ref.
MP4：對偶、逆變與協變
MP23：張量積、張量、張量叢
- 能量轉移通過功實現；ref.
MP18：反對稱、外積、外代數、微分形式
MP24：再論外代數、外形式、外微分
- 能量守恆；ref.
MP16：Hamilton力學
在這一系列中，我們以能量為主線來重新探討相關的概念。一貫的風格，先從圖像明確的中學物理講起。
回顧中學物理的機械功
中學物理定義機械功為力和位移的內積
顯然力 是Euclide空間
中的向量。需要注意的是位移(displacement)。將問題簡化到受力質點，質點的位置(position)
也是Euclide空間
中的向量。位移和位置之間有微妙的區別，值得特別討論。參考：
[Arnold, 1989] Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd Edition. Springer.
英文版
中文版
注意到做功只與位移相關，位移與質點的位置相關，然而獲得位移的信息並不要求位置所在的空間有一個原點(origin)，原點暗示群的結構。這種比Euclide空間（作為線性空間） 更弱的空間稱為仿射空間(affine space)。
仿射空間及其平移變換群
這裡略微描述一下仿射空間，並非嚴格定義。若點集 關聯了一個線性空間
，它們之間定義二元運算加法
如下
即線性空間中的元 構成對點
的變換，變換到
中的另外一點
。如果這裡的加法
對應著加群
使得加群的各種性質在以上變換中也能保持，即
以及取加群的單位元
有：
- 單位元：
- 結合律：
- 交換律：
- 單滿：
則
是
的單滿映射
這樣的點集 稱為仿射空間(affine space)，而線性空間
在以上變換上構成仿射空間的平移(translation)變換群，群運算即
中的加法。
將這些概念應用到位置和位移的關係中，即：位置是一個 維仿射空間
，其平移變換群為
。現在我們看到，仿射空間上沒有加法運算也沒有原點，不能構成加群。然而，仿射空間有減法，減法作為二元運算實現了以下映射
即，仿射空間兩點之差是一個平移。兩個位置之差是位移。
仿射空間及其平移變換群的關係，在物理上是廣泛存在的。由於過於廣泛，我們常常在概念上忽略了它們的細微差異。中學生，如果不能掌握明確的代數概念，不能區分仿射空間及其變換群，就需要背記許多相關卻有微妙差別的概念：
位置（仿射空間）vs.位移（平移）
溫度（仿射空間）vs.溫差（平移）
電壓（仿射空間）vs.電勢差（平移）
...
進一步，為何中學物理中可以任意建立勢能函數，而不用關係其間相差一個常量？為何不定積分後面總是要加上一個任意常數的符號 ？這一類的求差問題，都和仿射空間及其變換群有關。
變數、改變數、差分、微分
我們從中學的概念中挖出了仿射空間及其平移群，這不是全部。仍然以位置和位移的關係為例，兩個位置(變數)之差是位移(改變數)，記為：
在差分方程（最簡單的動力系統）中，如果 具有固定的取值，或者
是另外一個固定取值的變數的函數，譬如固定時間差
產生的位移改變數
，那麼
作為序列是一個差分(difference)。
長期以來，我們習慣於把位置 和位移
放在一個空間中考慮而沒有在概念上區分。實際上
的結構相當豐富，譬如平移群中有了原點
和範數
的概念，這樣可以對平移向量的函數求極限：
向原點求極限：
按範數求極限：
在 中這些極限往往可以等價，我們不具體區分。當函數就是改變數本身時：
現在我們有了平移的微分，中學物理中常叫做位移元。
歸納以下，如果變數 是一個仿射空間
的元，那麼變數的改變數
、差分
、微分
都屬於平移變換群
。
Riesz引理和對偶空間
現在用更清晰的概念來描述 維機械功問題，令力
是Euclide空間
中的向量，質點的位置
是
維仿射空間
中的點，位移
是
中的（所謂無窮小的）平移變換，那麼機械功的定義可以重寫為：
這裡的 區別於
是因為
作為微分（微分形式、微功、功元）要區別於
。注意這是一個雙線性映射，根據過去我們在微分幾何中學習的經驗，
和
的形式明顯具有對偶性，實際上：
力和位移是互為對偶的物理量
定義域 的左右兩個Euclide空間雖然重合，但並非同一個空間。右邊那個空間更確切地說是對偶空間。令
為線性空間
的對偶空間，泛函分析中可以證明在有限維他們是同構的：
我們要把以上內積的定義域 過渡到對偶空間
，聯繫兩者的是泛函分析中重要的Riesz引理：
實Hilbert空間 的對偶空間
中任意一個對偶向量
都構成一個映射：
那麼存在唯一的 使得：
上式實際上體現了兩個不同定義域的映射：
反映的是
反映的是
Riesz引理的意義在於，它藉助Hilbert空間的內積結構，建立了對偶向量和向量的一一對應，從而可以把內積的定義域從 過渡到對偶空間
。於是，在Riesz引理的支持下，我們可以把機械功定義為：
這是一個標準的 維向量和
維
-微分形式的相互作用形式，它揭示出機械功和微分幾何的本質聯繫。我們進一步可以將其視作微分形式之間的一種映射關係，即：
本質上，它是路徑曲線積分形式的局部表述：
如果力 是標量勢的梯度：
則構成保守力，即：
推薦閱讀：