刪失和截斷

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刪失和截斷

來自專欄生存分析

1.introduction

實驗有開始觀測時間（start of study）和結束觀測時間（end of study），我們關心的事件發生時刻用 X 表示，實驗對象因其它原因而丟失的時刻為 $C_{r}$ 。實驗對象到達end of study，這個時刻均為 $C_{r}$ ，因其它原因死亡的時刻也稱為 $C_{r}$ 。 $X leq C_{r}$ 時，我們仍可以正常觀測到事件 X 的發生； $X geq C_{r}$ ，即對象在事件 X 發生之前就丟失，這樣，我們就無法觀測到事件 X 發生的具體時間值，稱為刪失了。

用 $(T,delta)$ 表示實際情況， $delta = 1$ 表示實驗期間觀測到X的發生， $delta=0$ 表示實驗期間已經刪失了，整個實驗期間都沒有觀測 X 的發生。 $T=min(X,C_{r})$ 為這個實驗對象停止觀察的時間。

2.right censoring

[1]type I censoring

(1)type I censoring

刪失時間在end of study

(2)progressive type I censoring

有多個 sacrifice 時間導致刪失。sacrifice 模擬的動物中非致死疾病的。

(3)generalized type I censoring

start of study 的時間不同。

[2]type II censoring

(1)type II censoring

實驗只進行到有 r 個（一共 n 個實驗對象）failure發生就終止，因為等到所有對象都failure可能要很長時間。所以我們得到的是前 r 個最小的 X ，故在後面進行統計推斷的時候會用到順序統計量。隨機變數 $T_{(r)}$ 指第 r 個對象發生 failure 的時間。

(2)generalized type II censoring

同 I 型擴展刪失類似，共 n 個實驗對象，已知 ${(r_{i},n_{i})}$ 。第一次直到 $r_{1}$ 個failure發生，再sacrifice $n_{1}-r_{1}$ 個對象，本次剩餘 $n-n_{1}$ 個對象；第二次直到 $r_{2}$ 個failure 發生，再... ...

隨機變數 $T_{(r_{1})},T_{(n_{1}+r_{2})},....$

[3]competing risks censoring

我們對某些cause感興趣，但實驗對象卻被另一些competing risks 刪失（如死亡），導致無法觀測到感興趣的cause發生。

第4章詳細講了這個。

lifetime, failure, event均特指我們關心的事件的發生時刻。

3.left or interval censoring

[1]left censoring

右刪失指時刻 $C_{r}$ 之後研究對象丟失而failure又發生在 $C_{r}$ 之後，因此我們無法觀測到failure發生。左刪失指時刻 $C_{l}$ 之前研究對象的信息丟失，且failure發生在 $C_{l}$ 之前，因此我們無法準確知道failure發生在 $C_{l}$ 之前的哪個時刻。

用 $(T,varepsilon)$ 表示實際情況， $varepsilon = 1$ 表示實驗期間觀測到X的發生， $varepsilon=0$ 表示實驗期間已經刪失了，整個實驗期間都沒有觀測 X 的發生。 $T=max(X,C_{l})$ 。

[2]interval censoring

同其它刪失類似，區間刪失指在 $(L_{i},R_{i})$ 研究對象丟失，而 failure 又剛好發生在這個區間，於是我們無法知道 failure 具體發生在 $(L_{i},R_{i})$ 中的哪個時刻。

4.truncation（截斷）

觀察期(observational window)， $(Y_{L},Y_{R})$ 。研究對象均在 $(Y_{L},+infty)$ ，稱為左截斷。同理右截斷。這樣左截斷在估計時一定是條件分布 $P( X| X>Y_{L})$ 。

左刪失時，我們知道 failure 一定發生在 $C_{r}$ 之前；但左截斷，我們沒有採集在截斷數據左側研究對象，不知道他們的任何信息，其failure 可能發生截斷時刻前也可能在截斷時刻後，但我們仍不關心這個對象。

5.likelihood construction for censored and truncated data（建立刪失數據和截斷數據的似然函數）

一個重要的假設是lifetime 和censoring time 是相互獨立。否則，就需要引入特殊的方法來建立。

exact event time observations告訴我們 event 發生這個時刻，這種數據對於總體的 event 分布的估計最有用。但其它刪失截斷數據也能提供部分信息，直接丟掉是浪費的。

right-censoring observation 告訴我們有一個 event X 發生在 $C_{r}$ 之後；left-censoring observation 告訴我們有一個 X 在 $C_{l}$ ；interval-censoring observation，... ...

truncated observation 告訴我們 X 的條件分布。

用式子表示對應的概率：

[1]刪失數據的似然函數

式3.5.1

[2]截斷數據的似然函數

[3]對於右刪失數據，用 $(T,delta)$ 來表示似然函數

將兩種情況結合在一起寫為， $P(T,delta)=[f(t)]^{delta}[S(t)]^{1-delta}$ ，於是似然函數為，

又由 $f(x)=h(x)S(x)$ ，可將上式改為，

6.counting processes

除了上面用似然函數來估計參數，也可以利用隨機過程中的知識來進行非參數估計。這裡主要講隨機過程中的鞅(martingale)在生存數據中的應用。

[1]

計數過程 $N(t)$ ，有 $N(0)=0,N(t)<infty$ ，右連續， $N(t)$ 每次只+1。

如右刪失數據， $N_{i}(t)=I[T_{i} leq t,delta_{i}=1]$ 是一個計數過程，在對象 i failure 後變為1； $N(t)=sum_{i=1}^{n}N_{i}(t)=sum_{t_{i}leq t}delta_{i}$ 也是一個計數過程，在對整個研究對象進行計數。這兩個過程都滿足計數過程的條件，因此都是計數過程。

用 $F_{t}$ 表示 t 之前發生的事情， $F_{t^{-}}$ 表示 t 到離時刻 t 之前但很接近發生的事情。

右刪失數據，且假設 $X_{i}$ 與 $C_{i}$ 相互獨立，則 t 時刻 i 對象發生 event 的概率為，

$dN(t)=N[(t+dt)^{-}]-N(t^{-})$ 表示在 t 時刻一瞬間發生的event數量。 $Y(t)$ 為 $T_{i}geq t$ 的對象數量，即 t 時刻還存在的對象。則 t 這瞬間發生 event 的期望數量為，

把 $lambda(t)=Y(t)h(t)$ 稱為計數過程中的 intensity process。

稱 $Lambda(t)=int_{0}^{t}lambda(s)ds$ 為cumulative intensity process，且有 $E[N(t)|F_{t^{-}}]=E[Lambda(t)|F_{t^{-}}]=Lambda(t)$ ，這用了積分。一旦知道了 t 之前發生的事情， $Y(t)$ 就固定了， $Lambda(t)$ 也不隨機了。