構造「一線三直角」尋找解題突破口

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在初中幾何綜合題中，「一線三直角」模型是指一條直線上，有三個直角頂點，利用這三個直角，可以很方便地構造出兩個全等的直角三角形，從而解決線段、角之間的等量轉換問題，將原本孤立的各幾何關係聯繫起來。它有許多的變式，本次研題選取的是「角線分離」型。

題目

已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且關於x的一元二次方程(b+c)x2-2ax-(b-c)=0有兩個相等的實數根

（1）判斷此三角形的形狀；

（2）若a=b，設點P為邊AB上任一點，PE⊥BC於E，M為AP的中點，過A作BC的平行線，MD⊥ME交此平行線於D，當點P在線段AB上運動時，求MD:ME的值。

解析：

第（1）題是一元二次方程根的判別式的簡單應用，同時也為下一問埋下伏筆，△=(-2a)2-4(b+c)[-(b-c)]=4(a2+b2-c2)=0，從而得到a2+b2=c2，利用勾股定理逆定理判斷這是一個直角三角形，且AB為斜邊；

第（2）題，a=b告訴了我們△ABC是一個等腰直角三角形，於是可用特殊角一下子多了起來，再加上兩個垂直條件，觀察MD和ME位置，符合「一線三直角」的模型，對比如下：

和標準「一線三直角模型」相比，只需要在點M處作一條垂線即可，如下圖：

這樣我們的目標就很明確了，證明△DGM≌△MHE，根據作圖條件和題目中的MD⊥ME，這兩個三角形的對應角相等很容易得到，證明哪條邊相等呢？注意到M為AP中點，觀察梯形APEC，MH恰好是它的中位線，因此點H也為EC中點，同時△AGM也可以證明是一個等腰直角三角形，從而GM=AG，AG=CH，CH=HE，完成等量轉換得出GM=HE，最終由全等三角形得到MD=ME，於是比值為1

反思：

在引導學生利用某些解題模型解題時，啟發順序是先聯想已經解決的問題，例如經典的「一線三直角」圖形，然後將它與待解決的問題圖形對照，從新圖中找到舊圖的痕迹，然後通過輔助線，將新圖轉換成舊圖，即化歸。這個過程不能反過來，在平時講題時，如果在舊圖中修改，使其成為新圖的樣式，學生往往會出現上課跟著熱鬧，稍作變換，練習便不會了，究其原因，是學生沒能完成化歸的過程，沒有學會利用舊知解決新知，在上例中，之所以進行對比，就是要引導出學生思考為什麼要在點M處作垂線（或平行於AC），而不能在一線三直角模型中，將直角DME從AC拖開，形成新的圖形。

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