理解「振動理論」（一）

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理解「振動理論」（一）

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今年剩下的時間，寫一寫振動理論的內容，振動這裡概念比較多，數學上又引入了複數（歐拉公式），積分變換（諧波分析）的內容，對初學者不容易理解其含義，所以後續就叫做「理解振動理論」系列吧。之前寫過一系列「彈性Elasticity」的內容，彈性和振動是兩個基礎的版塊，現在寫另一個版塊。

預備知識

（1）復指數常用在受迫振動中的原因

$L$ 為一個線性微分算符， $L(x)=f_1$ ， $L(y)=f_2$

由於線性的特性： $iL(y)=L(iy)=if_2$

則有： $L(x+iy)=L(z)=f_1+if_2$

則原先通過 $L(y)=f_2$ 求解 $y$ 的過程變成了在 $L(z)=f_1+if_2$ 中求解 $z$ 的過程

因為： $y=Im[z]$

在振動中，這裡這麼做的巧妙之處在於利用了歐拉公式：

$e^{iomega t}=cos(omega t)+isin(omega t)$

可以成功的把三角函數轉化為指數函數，便於尋找「解的形式」

（2）單自由度無阻尼自由振動的預備體系

一、含有粘性阻尼的單自由度系統的受迫振動

以下方程，首先不引進複數的概念，直接用牛頓定律建模：

$mddot x= P_0sinomega t-cdot x-kx$

（ $m，c，k$ 分別為質量，粘性阻尼係數，剛度）

經過移項整理，可以得到：

$mddot x+cdot x+kx= P_0sinomega t$

在，數學中，這樣一類方程稱作「二階線性常係數非齊次常微分方程」，其通解的構成分為兩部分，對應的齊次方程的通解，以及非齊次方程的特解。

二、含有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動

那麼，首先應該研究的是上述方程的所對應的齊次方程：

$mddot x+cdot x+kx= 0$

對上述方程做一系列變形，並且定義一些新的物理量：

$ddot x+frac{c}{m}dot x+frac{k}{m}x= 0$

最常規的， $frac{k}{m}=omega_n^2$ ，其中 $omega_n$ 無阻尼自由振動的固有頻率。

另外， $frac{c}{m}=2n$ ，定義 $n$ 為衰減係數（後續會引出這個稱法的含義）。

有了新的定義，方程變為：

$ddot x+2ndot x+omega_n^2x= 0$

還可以進一步的定義一個概念 $zeta=frac{n}{omega _n}$ ， $zeta$ 稱之為相對阻尼係數（也可以叫它「阻尼比」同樣的，後續會引出這個稱法的含義）。方程此時變為：

$ddot x+2zetaomega_n dot x+omega_n^2x= 0$

在通用的高等數學教材中，對於「線性常係數二階常微分方程」的求解方法，是直接給出特徵方程，給出解的形式，要求學生記憶。在振動理論中，喜歡設出「解的形式」，再通過待定係數，進一步確定通解（在數學上，有解的唯一性定理，可以保證這一做法的合理性）。

例如這裡，可以採用通過令 $x=e^{st}$ 這種形式來獲取通解，帶入方程得：

$(e^{st})s^2+(2zetaomega_n e^{st})s+(omega_n^2e^{st})= 0$

約去不為零非指數函數，得到特徵方程：

$s^2+(2zetaomega_n)s +omega_n^2= 0$

求解此方程，得到：

$s_{1,2}=frac{-2szetaomega_npmsqrt{4zeta^2omega^2_n-4omega_n^2}}{2}$

$=-zetaomega_npm omega_nsqrt{zeta^2-1}$

接下來，根據阻尼比的值，來確定運動的形式。

這裡說「運動的形式」，而不是「振動的形式」，是因為有可能不發生振動，直接恢復平衡狀態，這樣的狀態稱之為「過阻尼狀態」或者「臨界阻尼狀態」。數學上，對應著方程的兩種實根解的情況。而出現複數解，則對應著振動狀態，稱之為「欠阻尼狀態」。

（1） $zeta>1$ ，即過阻尼狀態：

$x=e^{-zetaomega_nt}(c_3e^{( omega_nsqrt{zeta^2-1})t}+c_4e^{ -( omega_nsqrt{zeta^2-1})t})$

如果令： $omega^{*}=omega_nsqrt{zeta^2-1}$ ，則解可以改寫為：

$x=e^{-zetaomega_nt}(c_3e^{omega^{*}t}+c_4e^{ -omega^{*}t})$

$=e^{-zetaomega_nt}[c_1(frac{e^{omega^{*}t}-e^{ -omega^{*}t}}{2})+c_2(frac{e^{omega^{*}t}+e^{ -omega^{*}t}}{2})]$

$=e^{-zetaomega_nt}[c_1sh(omega^*t)+c_2ch(omega^*t)]$

這裡湊出雙曲正弦函數和雙曲餘弦函數方便對結果進行考察。

對於過阻尼系統，運動迅速衰減至平衡位置，不產生振動，位移中的兩個待定常數由初始的位移和初始的速度決定。

（2） $zeta=1$ ，即臨界阻尼狀態：

其通解為： $x=e^{-zetaomega_nt}(c_1+c_2t)$

現在，解釋一下之前所定義的物理量：

$zeta=1Leftrightarrow n=omega _n$

$c_{cr}=2nm=2omega _n m=2sqrt{mk}$

稱之為臨界阻尼狀態的阻尼係數（系統自身的質量與剛度決定）。

$zeta=frac{2n m}{2omega _n m}=frac{c}{c_{cr}}$

因此， $zeta$ 稱之為阻尼比。

（3） $zeta<1$ ，即欠阻尼狀態（振動）：

其通解為： $=x=e^{-zetaomega_nt}[c_1cos(omega_nsqrt{1-zeta^2})t+c_2sin(omega_nsqrt{1-zeta^2})t]$

做如下定義： $omega_d=omega_nsqrt{1-zeta^2}$ ，則，通解可表示為：

$x=e^{-zetaomega_nt}[c_1cos(omega_d)t+c_2sin(omega_d)t]$

以上的三類情況中，都有一個減函數 $e^{-zetaomega_nt}$ ，其指數的係數含 $zetaomega_n$ ，因此 $n=zetaomega_n$ 則稱之為「衰減係數」。

阻尼的出現，對振動的影響有兩方面，一方面是振幅，另一方面則是振動的頻率。

三、求特解——在受迫振動中引用複數：

$mddot x+cdot x+kx= P_0sinomega t$

$ddot x+2zetaomega_n dot x+omega_n^2x= frac{P_0}{m}sinomega t$

在第二個標題下，已經找出了其對應的齊次方程的通解，接下來，尋找非齊次方程的特解。將上述的方程改寫為以下形式：

$ddot x+2zetaomega_n dot x+omega_n^2x= frac{P_0}{m} Im[e^{iomega t}]$

上述的方程是給右邊的復指數函數取虛部作為非齊次項，但是，如果直接用復指數函數進行求解，則解的結果也是一個複函數，但真實的位移應該是複函數的虛部，這是線性問題的特性（在本文的預備知識中已經做過簡要的概述）。

因此，可以直接求解這樣的復指數方程：

$ddot x+2zetaomega_n dot x+omega_n^2x= frac{P_0}{m} e^{iomega t}$

因為這樣一來，本身非常難找的「解的形式」，變得容易尋找。