第一章基礎概念 1-2

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第一章基礎概念 1-2

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這一章講基礎概念。1.1講 GaAs系統，這個系統提供了高質量的二維導體通道並且在介觀輸運實驗中廣泛使用；1.2總結自由電子模型；1.3討論不同的特徵長度，以及他們滿足什麼條件時候，介觀實驗現象會出現；1.4討論低磁場下的性質；1.5討論高磁場的性質，有磁場時，可以給我們珍貴的電子密度和遷移率信息；1.6介紹transverse mode的概念；1.7對於degenerate conductor，也就是費米能遠大於 $k_BT$ 時，電流主要是由費米面附近電子決定，而不是整個電子海。

1 二維電子氣

最近關於介觀的電阻工作都多數都基於GaAs-AlGaAs hetero-junctions where a thin two-dimensional conducting layer is formed at the interface between GaAs and AlGaAs.

這個導電薄層里的carrier concentration在 $2 imes10^{11}/cm^2$ 到 $2 imes10^{12}/cm^2$ 之間。

其他的二維電子氣系統包括：

Si/SiO2

Graphene(因為遷移率很高，可以看作自由粒子，可以看作二維電子氣）

Surface of a topological insulator（因為只有表面導電，即電子只能在平面內面運動。同時表面的態因為受時間反演對稱性保護，微擾不能改變粒子運動狀態，電子遷移率很高，不受雜質散射等影響 @Q. Rao）

2D materials (e.g. MoS2 family)

1.1 Mobility遷移率

GaAs這麼特殊的原因就在於scattering rates很低，也就是遷移率很高。

The mobility provides a direct measure of the momentum relaxation time as limited by impurities and defects.

平衡時，電子的隨機移動不產生電流，施加一個電場 $E$ 時，給了電子一個drift velocity $V_{d}$ 。

我們想把drift velocity和電場產生聯繫。在平衡時，電子因為電場得到的動量和失去的動量應該相等。我們有：

$(??v_{d})/??_{??} = [????/???? ]_{????????????????????} = [????/???? ]_{??????????} = eE$

$??_{??}$ 是momentum relaxation time

所以我們有了mobility的定義：

$?? ≡ |frac{??_??}{E}| = frac{|??| ??_??}{m}$

對於塊狀的半導體，降溫時候，the momentum relaxation time increases at

first due to the suppression of phonon scattering. But it does not increase any further

once the phonon scattering is small enough that impurity scattering becomes the dominant mechanism.

不摻雜的話，可以提高遷移率，但是conduction電子也會減少，所以不是很有用。

2 Effective mass, density of states etc.

2.1 Single Band Effective mass equation

Electronic conduction in semiconductors can take place either through electrons in the conduction band or through holes in the valence band.

因為電導可以理解為來自費米面上電子的擴散，所以把費米面切過的能帶叫導帶即可。所以接下來的計算就用導帶進行。

The dynamics of electrons in the conduction band is described by the single-band effective mass equation (not Schrodinger equation)

$[??_??+frac{(??? abla +?? extbf{A})}{2m}^2+??(??)]Ψ(??) = EΨ(??)$

這裡的 $??(??)$ 是因為space-charge產生的電荷，不是晶格的勢能。只是一個記號，書中唯一的例子是parabolic potential。

這個方程的解不是真的波函數，是平滑版本的，在原子尺度上沒有變化。

我們假設 $U(r) = 0$ ， $extbf{A}=0$ 以及 $E_c=constant$ .此時方程的解是平面波

$Ψ(??) = e^{ikr}$

不是Bloch波，因為沒有考慮晶格勢能。

2.2 Subbands

S. Datta, Electronic transport in mesoscopic systems (Cambridge 1995) page 7

考慮上面圖中的二維電子氣，電子可以自由的在xy平面運動，但是存在 $??(z)$ 。當 $extbf{A}=0$ 時，電子的波函數可以寫為：

$Ψ(??) = ??_?? (??)exp?(????_?? ??)exp?(????_?? ??)$

有色散關係：

$E = ??_??+??_??+?^2/2??(??_??^2+??_??^2)$

$n$ 是subband index， $??_??$ 是 $n$ 所對應的cut-off energy。這個band最低的能量。

在溫度很低，carrier density很低時候，只有最低的subband被佔據。所以我們可以完全忽略 $z$ 方向的存在，把這個體系當做 $xy$ 平面。方程改寫為：

$[??_s+frac{(??? abla+?? extbf{A})}{2m}^2+??(x,y)]Ψ(x,y) = EΨ(x,y)$

此處的 $??_??=??_??+??_1$ 。

在本書接下來的討論中，我們就這樣幹了。

但是對於一個10nm厚的金屬薄膜，會有幾十個被佔據的subbbands。所以此時還是要把它看成三維的。

2.3 Band Diagrams

對於沒有磁場時候的自由電子氣，我們把只考慮 $xy$ 平面的Single Band Effective mass equation

$[??_s+frac{(??? abla+????)}{2m}^2+??(x,y)]Ψ(x,y) = EΨ(x,y)$

中的 $U=0$ 以及 $extbf{A}=0$ .

對於一個面積歸一之後的解為：

$Ψ(??,??) =frac{1}{sqrt{s}} exp?(????_?? ??)exp?(????_?? ??)$

本徵值為

$E = ??_??+frac{ ?^2}{2??} (??_??^2+??_??^2)$

2.4 Density of States

我們首先看看能量小於 $E$ 有多少個態。我們使用周期性邊界條件要求 $??_??$ 和 $??_y$ 取離散的值。

$??_?? = ??_?? (2??∕??_?? )$ 以及 $??_y = ??_?? (2??∕??_?? )$

對於色散關係 $E = ??_??+ frac{?^2??^2}{2??}$

每一個態佔據的面積是 $2??/??_?? ×2??/??_?? = (4??^2)/??$

所以一共有 $??_?? (??) = 2(for;spin) ×frac{(????^2)}{(4??^2∕??)} = frac{S??^2}{2?? }=frac{????(E???_??)}{(???^2 )}$

對於能量求導得：

$N(E) ≡ frac{1}{S}frac{d}{dE} ??_?? (??) =frac{m}{???^2} ??(?????_??)$ , $??$ 是the unit step function。

所以The two-dimensional density of states is constant for all energies exceeding the subband energy $??_??$ .

2.5 degenerate conductors and non-degenerate conductors

平衡時候，半導體中state的分布服從費米分布

$??_0 (??) = (frac{1}{1+exp?[(?????_??)/??_?? ??})$

在band中，也就是 $E > ??_??$ 時候，可以對方程進行化簡，使得數值計算更加方便。

高溫時， $??_0 ≈ exp[-(?????_??)∕??_?? ??]$ ，叫the non-degenerate limit

低溫時， $??_0 (??) ≈ ??(??_?????)$ ，叫degenerate limit

S. Datta, Electronic transport in mesoscopic systems (Cambridge 1995) page 15

在本書中，我們主要討論後一種情況，degenerate limit 。

平衡時候單位面積的電子密度 $??_??$ （per unit area）可以寫為：

$??_?? = ∫??(??) ??_0 (??)????=??_?? (??_?????_??)$

$??_??≡??∕???^2$

所以低溫時候的電導完全由費米面附近的電子決定。可以計算出費米面附近電子的wavenumber是：

$??_?????_??= frac{?^2 ??_??^2}{2??} ? ???_?? =sqrt{2??(??_?????_??)}$

所以 $??_??= sqrt{2????_?? }$

對應的速度是： $v_f= frac{p_F}{m}=frac{ hbar k_f}{m}$

Q. RAO回答了很多關於拓撲絕緣體的問題。。。感謝。。。

Content created：2018年6月13日

Last updated：2018年6月29日

第一章 基礎概念 1-2

1 二維電子氣

1.1 Mobility遷移率

2 Effective mass, density of states etc.

2.1 Single Band Effective mass equation

2.2 Subbands

2.3 Band Diagrams

2.4 Density of States

2.5 degenerate conductors and non-degenerate conductors

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