重新認識《幾何原本》——致那些年我們白學的幾何（上）

來自專欄長尾說相對論7 人贊了文章

光速不變的假設

在上一篇文章《如何徹底搞懂狹義相對論里的「光速不變」？》里我詳細給大家介紹了光速不變的三種情況以及作為狹義相對論基礎的光速不變，在文章的前面花了很多筆墨介紹這些情況，到了後面才跟大家說「光速不變」的一個假設，我怕大家會輕視這句話的意思。其實理解這個非常的重要，因為這是一個大框架大前提，如果這個大前提沒有搞清楚，或者沒有達成共識，就很有可能出現一些你說你的我說我的這樣不在一個頻道上的對話。

比如，上篇文章寫完之後有一點讓我很吃驚：居然有人拿光速不變來反對相對論，說光速不變是錯的，所以相對論的是錯的。首先我要聲明一下，我對所有質疑權威、反對權威都是持積極態度的，科學從來都是在不斷的質疑中前進的，但是，我們在質疑他們的時候，起碼得和他們在同一個頻道上，我們起碼得懂一般的科學體系是怎麼建立起來的，起碼得搞懂哪些是因哪些是果，哪些是預設的條件，哪些是嚴密推理出來的定理，不然就貽笑大方之家了。貽笑大方倒也沒什麼，但是這樣白白浪費了許多自己的時間精力就不划算了。

本來這篇文章我打算寫光速不變只是一個假設的，但是考慮到這個情況貌似有點嚴重，所以我決定追本溯源，從大家都知道的歐幾里得的幾何學說起就，讓大家對現代科學體系的建成有一個更加直觀的了解，這樣就不會再鬧「用光速不變來反相對論」的笑話了。

有人可能感覺奇怪，相對論就相對論，你說愛因斯坦或者牛頓麥克斯韋都可以理解，跟歐幾里得的幾何學有什麼關係？就算要說幾何，廣義相對論的幾何用的也是黎曼幾何啊，跟歐式幾何有啥關係。

要說相對論和歐式幾何吧，大的關係還真沒有，但是，歐幾里得的幾何學幾乎是所有現代科學（物理學也好、數學也好，甚至包括一些哲學心理學等等等等）範式的方法論基礎。這句話特別重要，我請大家牢記。

我們的幾何

我先請大家回憶一下自己當年是怎麼學習幾何（我們現在常說的幾何都是默指歐幾里得的幾何）的，記得沒錯的話我是初一的時候學校開始教幾何（如果這裡有小學生沒有回憶就請展望一下~），我們那時候學幾何，老師是先講了一些基本的幾何概念，比如直線、線段、圓、三角形、直角等等等等，然後基於這些基本的概念將一些幾何的性質，學習重要的定理，把這些定理記下來，習題做熟了準備考試的時候用，把這些定理公式性質都記熟用熟了就算把這一塊幾何學好了。

然後，隨著我們的年級不斷的升高，我們認識的幾何圖形越來越複雜，從開始的簡單的三角形、矩形、圓慢慢拓展到多邊形、圓錐、橢圓、立方體等等等等，但是基本的學習方法沒有變：都還是以定理為中心，以證明為中心，能夠熟練的掌握一種幾何體的各種相關的性質定理，在立體幾何里能發現那些不知道為什麼要這樣劃，但是跟神一樣一出現就能解決問題的輔助線就算幾何學好了。

這樣不斷的學習下去，你對幾何圖形的性質了解的越來越多，你以為你對歐幾里得的精髓的把握越來越准，但是，你卻忽略了一樣非常重要的東西，這樣東西另無數大科學家瘋狂著迷，伽利略也好，牛頓和愛因斯坦也是。

愛因斯坦說：「一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麼他是不會成為一個科學家的。」我們現在再回過頭想想，我們小時候學幾何的時候，真的有感受到過這種愛因斯坦說的感動么？

很少有人會有（如果你有，那麼你非常的幸運）這種感動，因為這種歐幾里得幾何身上最可貴最美的東西，恰恰是我們學校編寫幾何教材，老師教授幾何的時候不會講，恰恰給忽略了的東西。那麼，這種東西到底是什麼呢？

科學的範式

我先跟大家說5句話，你們判斷一下這些話是對的還是錯的，還是一看就知道是對是錯。

1、任兩點都可以用一條直線相連

2、線段可以無限延長成一條直線

3、可以以任意點為頂點，任意長度為半徑畫一個圓

4、所有的直角都相等

5、過直線外一點，有且只能做一條直線與已知直線平行

好了，我的五句話說完了，你們覺得這些話是對是錯，你們認可不認可？可能有人看完之後感到一陣失落，好歹是長尾高能預警了要說的話，想著怎麼著也應該是有點難度的命題讓我來判斷吧，沒想到是這樣幾個只要學了初中幾何，不，只要學了初一的幾何，阿不，就算沒學幾何也知道這肯定的對的命題。因為這五句話都太簡單太「顯而易見」了，而且與生活的經驗是如此的相符，誰要覺得這5句話有問題那肯定是腦袋有病。

沒錯，在初一學幾何的時候，12兩條在學直線線段的時候老師是直接這樣定義的，學圓的時候默認我們都會用圓規畫圓，所以第3條也是默認成立的，第4條老師直接告訴你直角就是90°，大於90°的叫鈍角，小於90°的叫銳角，第5條稍微麻煩一點，好像叫什麼平行公理，但是一樣非常容易理解。

也就是說，這5句話里說的東西我在初一學幾何的就在不同的地方了解了，甚至是沒學幾何的人也覺得這是顯而易見的，但是把他們這樣放在一起倒是覺得挺新鮮，為什麼要把這5句話放在一起呢？難道老奸巨猾的長尾只是隨手抓了5句話來逗我玩？

如果我告訴你這五句話是並列出現在歐幾里得的傳世名著，那本影響西方科學兩千多年的巨著《幾何原本》第一卷的，你會不會感覺到吃驚？

如果我再告訴你，《幾何原本》里的全部幾何公設就是這5句話（我對這些話做了通俗處理，第5條換了說法但是跟原來的等價，另外還有五條公理是一般的公理，是不管是不是幾何都通用的），沒有第6條幾何公設了，你會不會覺得吃驚？

如果我最後再告訴你，歐幾里得的幾何里的全部定理，你從初中到高中甚至大學學的所有平面幾何相關的定理，你用來證明幾何題目所需要的所有性質都是從這5句話嚴密的推導出來的，你會不會感到震驚？

沒錯，你沒有聽錯，就是這5句看起來非常簡單的5條公理（現在公設公理區別不是那麼大了，都習慣叫公理）就是歐式幾何的全部假設，從這5條假設歐幾里得邏輯嚴密的證明了465個命題。也就是說，如果你承認最開始的那5條簡單得不像話的公理，你就得沒有任何異議的接受他後面證明的那465個命題，後面那些命題可能很多不是很直觀，有很多甚至跟直覺常理相違背，但是它就是一個十分正確的存在，正襟危坐在那裡，嚴密的邏輯推導足以碾壓你的一切懷疑。

再來潑點冷水

上面的描述可能讓你對歐幾里得有種滔滔江水般的敬仰，覺得在兩千多年前有這麼一個人能夠從5個公理出發證明這麼多定理實在是太牛掰了。

但是，如果我告訴你《幾何原本》這本書里幾乎所有的定理在歐幾里得之前就已經知曉了，並且許多證明也是這樣，歐幾里得做的工作不過是把它們整理在一起，你會不會突然覺得歐幾里得沒什麼，甚至只是個盜用別人勞動成果的騙子？

但是，我再告訴你這些事情不光我知道，兩千多年來西方人一直都知道這個事，但是他們依然把歐幾里得把《幾何原本》封神，你會不會覺得奇怪？

如果你覺得奇怪，說明你還是不太了解真正的西方科學精神。我們回過頭來想一想，這些定理，這些三角形圓形的性質難道我們中國古代的科學家們不知道么？中國一樣在很早就發現了勾股定理，中國能比歐洲提前1100把圓周率精確到小數點後7位，你覺得那些定理我們的古人會搞不明白？墨家設計那麼多機關器械，會不懂這些幾何原理？但是，為什麼中國就沒有誕生近代科學呢？祖沖之把圓周率都算到小數點後7位了，幾何原本里的證明的那些定理我相信祖沖之基本上都知道，但是為什麼祖沖之寫不出《幾何原本》？

有人覺得我在胡攪蠻纏，說歐幾里得也沒有寫出《九章算術》啊。是，這個沒錯，但是《幾何原本》奠定了西方科學的基礎，奠定了西方科學研究的範式，有《幾何原本》，才有了牛頓的《自然哲學數學原理》，牛頓的這本書基本上就是按照《幾何原本》的標準樣式寫的，伽利略、愛因斯坦都一樣，有時候我甚至覺得：如果沒有《幾何原本》西方也誕生不了近代科學，至少要晚好多年直到有人重新把《幾何原本》寫出來。

今天先聊到這裡，後面還寫了很多，無奈文章太長，加上後面還有一個尾巴沒寫完，於是就分成上下兩篇了，下篇保證明天能發出來~

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