自然對數的底「e」到底是怎麼來的？

10-10

自然對數的底「e」到底是怎麼來的？

來自專欄「數學與邏輯」之美313 人贊了文章

從我第一次知道「e」，在我的頭腦中就產生了一個疑問，人們到底是怎麼發現「e」這個常數的呢？小時候，我曾經問過許多人，但是都沒有給出讓我心裡踏實的回答。教科書上給出的是e的極限形式的定義， $e=lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{1}{n})^n}$ ，可是這並沒有解決「它是怎麼來的」這個問題，各種存在的極限那麼多，憑什麼人們要特別定義這個極限呢？
對比另一個著名常數 $pi$ ，給人們的感受就非常直觀。 $pi$ 是圓的周長與直徑的比值，它不隨著圓的大小而發生變化，很容易理解人們定義這樣一個常數。
作為一個數學愛好者，總想著有機會找到兒時的一些有趣問題的答案。經過一些偶然的和特意的努力，我把個人了解到的、對這個有趣問題的解釋和大家分享。

其實，人們認識到e的過程還是很曲折的，不像認識並理解 $pi$ 那樣簡單明了。有的普及文章認為，人們是通過「利滾利」的高利貸，並不斷縮短計息周期而發現e的。從我了解的數學歷史情況來看，應該不是這樣。事實上，利滾利的極限應該是在人們發現了e之後才認識到的，而不是相反。

人們認識到e，還要從認識到對數說起。我們今天知道，對數是指數的逆運算，可是，人們最早認識並樸素的定義出對數的時候，還完全沒有意識到這是指數的逆運算。人們是為了簡化計算（特別是天文計算）而發現對數的！

一、神奇的「加減術」

今天，當我們計算一些複雜數字的時候是很容易的。智能手機中的計算器app、一些辦公室常用的計算器等，都可以非常方便的計算加減乘除和開方、乘方的結果。可是，如果我們把時鐘調回500年前，那時的人們要想計算一些複雜數字還是很不容易的。

比如，要手工計算0.258819*0.984808的結果，需要多次計算乘法、加法。當然，只算一次這樣的數還可以，如果有成百上千次的類似手工計算，顯然是讓人崩潰的。

聰明的人們在認識到三角函數以後，就利用三角函數表和三角函數之間的關係，發明了一種將乘除計算轉化為加減計算的方法，被稱之為「加減術」。還以上面兩個數字相乘為例：

已知 $2sinAcdot cosB=sin(A+B)+sin(A-B)$
查三角函數表得， $0.258819approx sin15^circ$ ， $0.984808approx cos10^circ$
於是得到 $0.258819 imes 0.984808approx sin15^circ imes cos10^circ=frac{1}{2}(sin25^circ +sin5^circ)$
再查三角函數表得， $sin25^circ approx 0.422618$ ， $sin5^circ approx 0.087156$
於是，人們將乘除法的計算通過查找三角函數錶轉化為了加減法的計算，得到
$0.258819 imes 0.984808approx frac{0.422618+0.087156}{2}=0.254887$
這個計算結果和直接用計算器計算得到的結果0.254887021752是一致的。

通過這種「加減術」，在大量計算的時候，人們可以節省一半以上的工作量。這在當時那個時代，是一種巨大的進步。當然，這個進步的基礎，是要製作出足夠精確的三角函數表。

二、約翰.納皮爾（John Napier）的偉大貢獻——發明對數

約翰.納皮爾是蘇格蘭數學家、天文學家，出生於1550年，過世於1617年。他為了簡化天文計算，一直潛心研究簡化計算的方法。大概在1594年，他從一個國王的御醫那裡了解到了丹麥天文學家、數學家第谷採用的「加減術」，受到了啟發，並最終給出了關於「對數」的構想。他的關於對數的著作《奇妙的對數表說明書》（英文名《A Description of the Wonderful Table of Logarithms》，原文名《Mirifici logarithmorum canonis descriptio》）於1614年6月出版，他也因此一舉成名。

納皮爾用來描述他所定義的對數的方式是很有意思的，到今天，人們也沒有弄清楚到底是基於怎樣的思考，納皮爾竟然用幾何運動相關的模型來描述對數。以下是納皮爾用來描述對數的「運動模型」：

納皮爾構造了兩個粒子的運動，粒子b在一條無窮長的射線上做勻速運動；粒子 $eta$ 在一條固定長度線段上做變速運動，其運動速度在數值上與 $eta$ 粒子到線段終點的距離相同。兩個粒子的初始運動速度相同。（參見下圖）

納皮爾構造運動模型定義對數的示意圖【此圖來源於Kathleen M. Clark (The Florida State University) and Clemency Montelle (University of Canterbury)在MMA上的文章《Logarithms: The Early History of a Familiar Function》】

納皮爾定義，在某一時刻b粒子所運動的距離（例如上圖中的y=AG）是 $eta$ 粒子到線段終點距離（對應上圖中的 x= $eta omega$ ）的「對數」。後來，人們把這個「對數」關係叫做納皮爾對數。
下面，我們用現代數學來計算一下，到底「納皮爾對數」是個啥？
設 $eta$ 粒子運動的線段長度為 $p_0$ ，那麼 $eta$ 粒子一開始距終點的距離就是 $p_0$ ， $eta$ 粒子運動的初始速度也是 $p_0$ ，根據納皮爾的設定，b粒子運動的初始速度（也就是b粒子的持續運動速度）也是 $p_0$ 。
再設 $eta$ 粒子在t時刻距終點的距離（也就是t時刻 $eta$ 粒子的速度）為 $x=p(t)$ 。
於是，t時刻 $eta$ 粒子所走過的路程就是 $p_0-p(t)$ ，對這個路程微分就得到了t時刻 $eta$ 粒子的速度，這個速度應該等於 $p(t)$ 。由此列出的微分方程如下，
$frac{d(p_0-p(t))}{dt}=-frac{dp(t)}{dt}=p(t)$

把這個微分方程變換一下，得
$-frac{dp(t)}{p(t)}=dt$
兩邊做不定積分，得
$-int_{}^{}frac{dp(t)}{p(t)}=int_{}^{}dt Rightarrow -ln(p(t))=t+C$
將t=0時 $p(0)=p_0$ 帶入，計算得到 $C=-ln(p_0)$ ，於是有
$t=ln(p_0)-ln(p(t))=ln(frac{p_0}{p(t)})$
再看b粒子，它在t時刻走過的路程為 $y=p_0cdot t$ ，於是我們可以得到y與x的關係為
$y=p_0cdot t=p_0cdot ln(frac{p_0}{p(t)})=p_0cdot ln(frac{p_0}{x})$ ... ...（1）
這個關係就是納皮爾給出的「納皮爾對數」。我們由此定義納皮爾對數為
$NapLog(x)=p_0cdot ln(frac{p_0}{x})$

如果我們再把式（1）變換一下，得到
$frac{y}{p_0}=ln(frac{p_0}{x})=-ln(frac{x}{p_0})=frac{log_{e}{(frac{x}{p_0})}}{log_{e}{frac{1}{e}}}=log_{frac{1}{e}}{frac{x}{p_0}}$
也就是說，納皮爾對數其實是以 $frac{1}{e}$ 為底數的對數。

納皮爾費這麼大勁搞出來的納皮爾對數，是要用來化簡計算的。納皮爾大約從1590年就研究納皮爾對數，花了20多年的時間，在1614年才發表其結果，主要原因是大部分時間都用來計算並製作納皮爾對數表了。由此可見，那個時代，算數即是一項重要工作，也是一項艱難的工作，今天的我們是很難有切身體會的。

納皮爾取 $p_0=10^7$ ，並由此逐一計算了x從10000000開始，使得納皮爾對數值y為0、1、2、3、......的一系列x值，形成了納皮爾對數表。之所以取 $p_0=10^7$ ，是因為納皮爾還深深受到三角函數表的影響，當時的割圓術計算三角函數取值的表中，可以把圓分為 $10^7$ 份，計算精度大概也是小數點後6～7位。而且納皮爾在自己的對數表中，還把 $frac{x}{p_0}$ 對應回正弦函數。按照納皮爾的工作，我大概整理了納皮爾對數表的示例如下。

納皮爾費盡心血整理的對數表，可以用來簡化乘積開方運算。比如上圖中，如果需要計算 $sqrt{8184478.5 imes 2135938.9}$ ，那麼就可以找到這兩個數的納皮爾對數，分別是2003456和15436788，然後將這兩個納皮爾對數求和再除以二，得到(2003456+15436788)/2=8720122。之後再去納皮爾對數表中找到納皮爾對數為8720122對應的x，得到4181093.8，這個數字就是要計算的開方結果，和我們用計算器計算得到的開方結果4181093.8765非常接近。

至於為什麼是這樣，根據上面得到的納皮爾對數的現代數學關係，學過指數和對數的中學生應該就可以推導得出了，我就不再贅述了。

當然，與納皮爾同時期的一位瑞士的教師比爾吉（Joost Bürgi，1552-1632）也曾經（實際上可能更早些）製作出了對數表。不過，他的成果是在1620年發表的，比納皮爾晚了6年。不像納皮爾，比爾吉是通過代數的方法得出對數關係的。

關於誰才是對數的發明人，數學史學家們有過一些爭論，但是現在主流的觀點認為，納皮爾正式發表成果在先，而且納皮爾的著作傳播得更廣，納皮爾對數的概念也更加深刻一些，因此，公認納皮爾為對數的發明人。當然，也有認為納皮爾和比爾吉都是對數的發明人的。

三、e在哪裡？是如何出現並逐步確認的呢？

有朋友會問了，你說了這半天，e到底在哪裡呢？

其實納皮爾在手工計算對數的時候，所用到底數（當然，那時候完全沒有底數這個概念）就是 $(1-10^{-7})^{10^{7}}$ ，有了現代數學概念，我們很容易知道這個數非常接近1/e。事實上，前面已經介紹了，本質上納皮爾對數就是以1/e為底數的一種對數。只不過納皮爾還沒有清楚的認識到偉大的「e」。

比爾吉在他的對數表中所涉及到的底數是 $(1+10^{-4})^{10^4}$ ，這個數字非常接近e了。當然，比爾吉也沒有認識到偉大的「e」。

所以，e被人們認識並不是一蹴而就的。

當然，考究歷史非常困難，我們今天很難確定「e」被人們認識的準確過程。

首先，在1665-1668年，大科學家牛頓、尼古拉斯·麥卡托分別獨立得到了e的無窮級數，也即 $e=frac{1}{0!}+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+...$ （當時還沒有明確地用字母e來表示這個數字）。麥卡托還在1668年出版的《Logarithmotechnia》（《對數術》）中提到了「自然對數」這個名字。

其次，在卡約里的《數學符號史》中提到，1690-1691年間，萊布尼茲給惠更斯的信中提到了今天e這個常數，不過當時萊布尼茲使用的字母是b。這說明當時e的表示方式尚未得到確定，大家各自用自己想用的字母來表示e。

之後，在大數學家歐拉的1727-1728年手稿中，專門使用了字母e表示了這個常數，並且給出了這個常數的數值2.7182817...。在1731年11月25日，歐拉寫給哥德巴赫的信中，又一次明確提到了e，並且指出e是使雙曲對數（就是今天的自然對數）值為1的那個數（「e denotes that number whose hyperbolic logarithm is = 1.」）

到了1742年，終於由英國數學家瓊斯給出了實數範圍內對數的定義，這也正是我們今天關於對數的定義：已知a是不等於1的正數，如果a的b次冪等於N，那麼b叫做以a為底的N的對數。

從上述歷史過程可以看到，e被人們認識是伴隨著對數被人們日益清楚的認識而自然而然發生的。歷史上人們至少從兩個角度不斷推進對e的認識的。

（一）在製作對數表的過程中更加深入認識e

可能有朋友問，問什麼納皮爾要選擇 $p_0=10^7$ 這麼大呢？這是因為如果選擇太小的 $p_0$ ，那麼製作出來的對數表的數據密度就會很低，很多數字從中找不到，不能很好的發揮計算工具的作用。

比如，如果選擇2為對數的底數，那麼對數值為1-10這10個數字的時候，對應的指數原值就從 $2^0=1$ 快速增長到 $2^{10}=1024$ ，那麼如果希望用到798這樣的數字，就找不到接近的對數原值了。

因此，選擇對數的底數製作對數表的時候，理想情況是選擇一個比1稍大一點點的數。後來，人們在製作對數表的時候，就越來越傾向於選擇 $1+frac{1}{10^{n}}$ 這樣的底數。n選擇的越大，數據密度（某種意義上也體現了計算精度）就越大，利用價值就越大。

於是，就必然出現 $y=log_{(1+10^{-n})}{x}$ 的對數。當y取到 $10^n$ 時，反推出來的x就會等於 $(1+frac{1}{10^n})^{10^n}$ 。人們自然就會發現，隨著n不斷增加，這個數越來越趨向於一個確定的值，從而認識到這個數列存在極限，也就是e。

（二）為了使微分或求導更加方便而認識e

另一個角度是在研究對數函數的微分時候認識到e的。

令 $y=log_{a}{x}$ ，當我們求y的導數的時候，會得到

$frac{dy}{dx}$

$=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{log_{a}{(x+Delta x)}-log_{a}{x}}{Delta x}}$

$=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{1}{Delta x}}log_{a}{frac{x+Delta x}{x}}$

$=lim_{Delta x ightarrow 0}{log_{a}{(1+frac{Delta x}{x})^{frac{1}{Delta x}}}}$

$=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{1}{x}log_{a}{(1+frac{Delta x}{x})^{frac{x}{Delta x}}}}$

$=frac{1}{x}log_a{lim_{Delta x ightarrow 0}{(1+frac{Delta x}{x})^{frac{x}{Delta x}}}}$

於是，又一次出現了類似的極限 $lim_{Delta x ightarrow 0}{(1+frac{Delta x}{x})^{frac{x}{Delta x}}}=lim_{n ightarrow infty }{(1+frac{1}{n})^{n}}$ 。

當然，大家都知道，這個極限就是e。因此，如果把對數的底數a取為e的時候，就會得到最簡潔、自然的形式， $(log_e x)=frac{1}{x}$ 。於是，人們把 $log_e x$ 定義為 $ln x$ ，並取名叫做自然對數，因為這樣取底數得到的導數最簡潔、最自然。

無論通過哪個角度，人們最終認識到了自然對數的底數——e。隨著數學不斷發展，人們日益發現e的身影無處不在，e的作用偉大而神奇。終於，e在人類認識到的各種常數中脫穎而出，成為了和圓周率 $pi$ 齊名的偉大的數學常數！

四、尾聲——對數發現的特殊性、e的極限的證明、e的廣泛存在

（一）對數發現的特殊性

對數的發現過程中，最奇怪的一點就是，當時歐洲的代數學還十分「落後」（指相對於現在），連指數、底數這些基本的概念都還沒有建立，因此，人們根本不是基於 $a^x=b$ 這樣的代數關係發現對數的。事實上，納皮爾是從幾何運動的角度發現了對數關係的；比爾吉是從代數的級數對應角度發現對數關係的。

我們今天很容易理解的對數，初中學生就已經開始學習的對數，在那個年代是非常深奧、複雜的數學概念和理論。有數學史學家曾經指出「對數的發現早於指數的應用這個事實，是數學史上的反常現象之一。」

紀念納皮爾的文集的序言中寫道「這項發明是孤立的，它沒有藉助其他智力工作，也沒有遵循原有的數學思想路線，就突然闖到人類思想中來了。」

（二）關於e的極限存在的證明

作為一篇數學科普文章，既然提到了e的極限定義公式，如果不給出些證明，似乎不太夠意思。下面，提供一個相對巧妙的方法，證明 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{1}{n})^n}$ 存在。因為只有這個極限存在，才能定義其為常數e。

第一步，我們證明一個不等式，
對於任意滿足b>a>0的實數a和b，不等式 $b^n-a^n<(b-a)nb^{n-1}$ 成立。
這是因為 $b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+b^{n-3}a^2+...+bcdot a^{n-2}+a^{n-1})$
又因為a<b，所以將上式中第二個括弧內的a全部換成b，必會使結果變大，從而待證明不等式成立。
再將此不等式整理為 $a^n>b^{n-1}[ b-(b-a)n ]$ ...... （2）
第二步，設整數n>1，令 $a=1+frac{1}{n}$ ， $b=1+frac{1}{n-1}$ ，此時仍滿足b>a>0的前提條件，則式（2）仍成立。將其帶入式（2），得到

$(1+frac{1}{n})^n>(1+frac{1}{n-1})^{n-1}$
這說明 $(1+frac{1}{n})^n$ 隨著n單調遞增。
第三步，令 $a=1$ ， $b=1+frac{1}{2(n-1)}$ ，帶入式（2），得到
$2>(1+frac{1}{2(n-1)})^{n-1}$ ，兩邊平方，得到
$4>(1+frac{1}{2(n-1)})^{2(n-1)}$
因為n是大於1的任意整數，說明此數列有上界。
單調遞增數列有上界，則極限必存在。

由此，我們可以定義 $e=lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{1}{n})^n}$ 。

（三）與e有關的各種數學定理、公式

與e有關的數學定理、公式太多了，可以說多如牛毛、數不勝數。這也是為什麼e已經成為科學各學科領域中最重要的常數之一了。

1、歐拉公式

$e^{ipi}+1=0$ ，歐拉公式，號稱最優美數學恆等式，它將e、 $pi$ 、i、1和0組合在了一起，簡潔、優美，含義深刻。

2、素數定理

$lim_{x ightarrow infty}{frac{pi (x)}{x/ln x}}=1$ ，或者 $lim_{x ightarrow infty}{frac{pi (x)}{int_{2}^{x}frac{dx}{ln x}}}=1$ 。這兩個式子是等價的， $pi(x)$ 是小於等於x的素數的個數。這個公式中雖然沒有顯式出現e，但是出現了ln，其實就是隱式的出現了e。素數和e的這種聯繫很奇特，要知道素數是整數範疇的概念，屬於離散數學，而e是分析範疇，屬於極限和連續領域。它們之間居然有這麼緊密的聯繫，很不尋常。

3、高斯正態分布

正態分布的概率密度 $f(x)=(sqrt{2pi}cdotsigma)^{-1}cdot e^{-frac{(x-a)^2}{2sigma^2}}$ ，其中a是正態分布的平均值， $sigma$ 是標準差， $sigma^2$ 是方差。正態分布用處太廣泛了，而且根據中心極限定理，任何大量的獨立變數之和都趨於正態分布。這裡面e當仁不讓的佔據著核心地位。

除了數學領域，物理學領域也有大量的公式和定律中出現e。例如麥克斯韋速率分布定律、氣體在重力場中的玻爾茲曼分布、布朗運動規律、放射性元素衰變等等等等。

e是一個美妙而神奇的常數，而且是不容易被發現和認識到的常數。感謝歷史上諸多偉大的數學家，使我們了解了這樣一個神奇的常數，並且推動著科學不斷向前發展。