爵爺壯心不死，但已慢慢凋零——阿蒂亞對黎曼猜想的證明為何是失敗的？

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來自專欄量子星圖7 人贊了文章

作者：葉天明

北京時間 2018 年 9 月 24 日，菲爾茲獎與阿貝爾獎得主，邁克爾·阿蒂亞爵士在海德堡獲獎者論壇上現場宣講了他關於黎曼猜想的證明，而證明的預印本文章也已公開。然而，5頁的論文里，只列出了10個數學公式；45分鐘的宣講里，只有一頁PPT與證明過程有關。過於天真的想法，過度缺失的細節，使得數學界對該證明的反應相當負面。許多數學家對阿蒂亞的證明「不予置評」，甚至把它當成了一場笑話。本是一代宗師烈士暮年壯心不已，摘取數學皇冠的傳奇史詩，卻淪為了一地雞毛的鬧劇。

邁克爾·阿蒂亞爵士

數學皇冠的新挑戰者和老去的國王

2018年9月，阿蒂亞公開宣稱已解決黎曼猜想，將會在海德堡論壇進行宣講。黎曼猜想已證明的消息一瞬間引爆了整個科學界，如能成功證明歷時160年尚未攻破的黎曼猜想，不但數學界將迎來一次偉大的突破，眾多數學定理也將因此得證；而邁克爾·阿蒂亞將躋身於歷史上最偉大的數學家之列，加冕當代數學之王的桂冠，並得到克萊研究所的100萬美元獎金。

黎曼猜想是數學中一個關於素數分布的猜想，核心是證明黎曼Zeta函數的所有非平凡零點均落在複平面的Re(s)=1/2這條直線上。由於黎曼猜想與數學和物理中許多重要結果有關，證明了黎曼猜想就能隨之推出幾乎一千多條定理，反之則一千多條定理將隨之埋葬，因此黎曼猜想被稱為「猜想界的皇冠」。從1859年黎曼提出猜想以來，歷史上有許多數學家嘗試摘取這座皇冠，但無一例外均被驗證為失敗。然而新的挑戰者卻不太一樣，他本身也是戴有多項王冠的20世紀數學王座之一——邁克爾·阿蒂亞爵士。

邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929.04.22--），英國數學家，劍橋大學博士，先後在普林斯頓、劍橋和牛津任教，曾獲得菲爾茲獎和阿貝爾獎，曾被授予爵士和英國皇家學會院士。阿蒂亞爵士是20世紀數學界最偉大的數學家之一，研究橫跨代數幾何、復幾何、代數拓撲、數學物理和弦論等，在幾十年的研究生涯中摘取了多項「數學王冠」，包括拓撲K理論、阿蒂亞-辛格指標定理、阿蒂亞-博特不動點定理等，其中指標定理被譽為20世紀最偉大的定理之一，涉獵領域之豐富、研究理論之深刻當世罕見。

儘管從榮譽來看，阿蒂亞證明黎曼猜想堪稱眾望所歸；但是眾多桂冠的背後，不但是89歲高齡的耄耋之軀，還是遠離數學前沿多年，不熟悉最新工具的「數學界古董」。人們在敬佩阿蒂亞勇攀高峰的同時，也對阿蒂亞的精力和能力提出了疑問。人們不禁質疑，現在的阿蒂亞能證明黎曼猜想嗎？

阿蒂亞演講中唯一的一頁證明

「上帝魔數」的詭證，立於物理危崖之上的數學證明

在萬眾矚目下，阿蒂亞於9月24在海德堡論壇完成了45分鐘的演講，然而對於最關鍵的證明部分，阿蒂亞卻只用了3分鐘時間，用一張PPT輕輕帶過，只介紹了他的基本思路——利用推演精細結構常數的Todd函數，靠反證法證明黎曼猜想。阿蒂亞證明黎曼猜想的論文也只有5頁，只有寥寥幾個公式，幾乎沒有推導細節。

儘管黎曼猜想非常高深，但是阿蒂亞的PPT和論文具有大量槽點，對於普通的數學工作者也顯而易見。首先，阿蒂亞就用了大量未經證明的「斷言」替代了嚴格的「證明」。比如阿蒂亞斷言了Todd函數所具有的一些性質，比如在Re(s)=1/2單調遞增且收斂於精細結構常數的倒數等。儘管有的數學家習慣天馬行空地給出證明大框架，但也可能在細節上犯錯誤。例如望月新一發展「宇宙際幾何」對於ABC猜想的證明，就在近日被舒爾茨和斯蒂克斯指出了錯誤。更何況阿蒂亞如此「偷懶」地省略了全部證明過程，更令人難以接受。基於阿蒂亞給出的Todd函數收斂的結果，目前已有物理學家開展了計算，普遍反映計算結果與論文所言並不吻合，說明阿蒂亞的直覺很可能是不正確的。

其次，阿蒂亞過於執念於數學和物理的「巧妙聯繫」，基於物理的數學證明缺乏根基。阿蒂亞的思路非常激進，繞開了幾十年來大部分黎曼猜想的部分研究成果，借鑒的則是狄拉克等人研究的量子場論，例如他斷言Todd函數收斂於物理最重要的常數——精細結構常數，這是一個體現原子光譜精細結構的無量綱量，被稱為「上帝魔數」。阿蒂亞對於溝通黎曼猜想和量子場論的嘗試固然有價值，但立於物理學的數學證明很可能被挑戰。比如近年天體物理界對於精細結構常數的精確測量發現，這個常數很可能隨著時間變化而緩慢增大，早期宇宙的精細結構常數比現在比現在小大約百萬分之7。那麼，Todd函數究竟是收斂於早期宇宙還是現在宇宙的精細結構常數呢？

無論是大框架上證明思路缺乏說服力，還是基於物理的推導很可能出現錯誤，都使得阿蒂亞關於黎曼猜想的證明失去了人們的信任。除非阿蒂亞或是後繼研究者能沿著這條路補全細節，做出有價值的進展，否則這篇黎曼猜想的證明，只能是如立於危崖一般搖搖欲墜。

阿蒂亞在海德堡論壇上的演講

廉頗已老，一地雞毛？如何評價阿蒂亞爵士

在科學界經歷了這一場一地雞毛的鬧劇後，剩下的問題就是：如何評價阿蒂亞對於黎曼猜想的研究，以及如何重新評價阿蒂亞爵士本人？

首先，我們要對阿蒂亞爵士在89歲高齡勇於挑戰黎曼猜想致以最大的敬意。阿蒂亞已經是20世紀最偉大的數學家了，完全可以保持數學界的崇高地位，但他願意放下過往的榮譽成就，挑戰最重要最困難的問題。而且在數學學科高度分散的今天，上一個獨立解決大猜想的還要追溯到解決費馬大定理的威爾斯，哪怕是解決龐加萊猜想的佩雷爾曼也利用了漢密爾頓的里奇流技術。阿蒂亞嘗試獨立發展新技術嘗試證明的舉動，無異於單槍匹馬揮劍屠龍的勇士，充滿了浪漫主義和老派騎士精神。無論是更像打敗巨人歌利亞的大衛，還是更像沖向風車的堂吉訶德，阿蒂亞都是英倫最具風骨的騎士。

然而我們也要承認，阿蒂亞已經不再是那個數學國王了。就像在嘗試證明黎曼猜想之前，阿蒂亞也曾嘗試給出六維球面沒有復結構，有限群分類等問題的新思路，但都遭到過對應領域學者的質疑，只是這次證明黎曼猜想第一次引起了大眾的關注，而海德堡演講過後，恐怕也讓科學界大多數人難以再相信阿蒂亞的工作了，廉頗已老，令人十分遺憾。

儘管在媒體的宣傳中，大眾還是對爵爺保持了足夠的尊重，但是過度強調精神上的偉大，對數學領域的發展並不是好事。任何人挑戰數學猜想的精神都值得鼓勵，但更重要的是研究者必須為自己公布的研究成果負責。一個普通的數學家的不成熟的理論，是很難引起社會的廣泛關注的，而成名數學家有過往榮譽為其背書，但也更應該為人們的信任和期待負責，例如多傾聽年輕數學家的意見，寫出更負責的論文，不過度誇大自己的研究成果等。

老驥伏櫪，志在千里；爵士暮年，壯心不已。哪怕爵爺熱愛數學的心還在，我們也不得不承認，他的技術和意識已經隨著年華逝去而慢慢凋零。我們期待阿蒂亞探索的新方向也許能突破人們的期待，為後人研究給予啟發；同時我們也期待，未來有更多傑出的數學家投身黎曼猜想等數學重大問題，傳承阿蒂亞等前人的火炬，繼續在數學的道路探索前進。

參考文獻：

[1]Michael Atiyah, The Riemann Hypothesis

編輯：蜜汁醬