從薛定諤方程到薛定諤場

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從薛定諤方程到薛定諤場

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前言

薛定諤場是（非相對論）薛定諤方程的拉格朗日形式，本文討論它的量子化及其與二次量子化的薛定諤方程的等價關係。薛定諤場的量子化涉及到含約束體系的量子化，這是一個有啟發性的和有趣的問題，在歷史上，這個問題首先是由保羅·狄拉克解決的。

為了方便起見，文中取自然單位制 $hbar =1$ 。本文的討論不涉及相對論，儘管其中的方法可以應用到相對論量子場論和相對論量子力學中去。

${color lightblue {f 本文專業性比較強，適宜有量子力學、量子場論或量子多體理論基礎的人閱讀。}}$

最小作用量原理是經典力學的基本原理。從一個拉格朗日量 $L$ 出發，通過變分能夠得到歐拉-拉格朗日方程，

$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot q} - frac{partial L}{partial q} = 0$ ，………………………………………………………………………………………………【1】

該方程是體系的動力學方程，與牛頓第二定律等價。拉格朗日形式不但可以用來推到動力學方程，還可以用來研究體系的對稱性、微擾論等，因此是現代物理的核心工具。

現在考慮非相對論性的薛定諤方程，

$ifrac{partial}{partial t}psi(vec x, t) = -frac{1}{2m} abla^2psi(vec x, t) + V(vec x)psi(vec x, t)$ …………………………………………………………【2】

問題在於，薛定諤方程是否滿足最小作用量原理呢？換句話說，是否能找到一個拉格朗日量，其歐拉-拉格朗日方程是為薛定諤方程呢？答案是肯定的。如下形式的拉格朗日量（密度），即滿足這個要求：

$mathscr L=frac{i}{2}ig(psi^*dotpsi-psidotpsi^*ig) - frac{1}{2m} ablapsi^*cdot ablapsi - Vpsi^*psi$ ………………………………………………………【3】

這裡， $dot psi equiv frac{partial }{partial t}psi$ 。很顯然，該拉格朗日量是實的。

有了拉格朗日量以後，我們還可以藉助場論的方法，把 $psi$ 提升為場算符，從而研究薛定諤場（或叫薛定諤理論）：

$mathscr L_S=frac{i}{2}ig(psi^daggerdotpsi-psidotpsi^daggerig) - frac{1}{2m} ablapsi^daggercdot ablapsi - Vpsi^daggerpsi$ ……………………………………………………【4】

當然，既然改變了符號 $psi$ 的含義，兩個理論（薛定諤理論vs薛定諤方程）便不是一回事。我們關心的恰恰是兩者之間的關係。從【3】到【4】，我們所做的無非是量子化了 $psi$ ，因此，可以猜到，兩者之間的聯繫是二次量子化。

為此，我們首先回到薛定諤方程，並將其推廣到全同粒子多體體系：

$ifrac{partial}{partial t}|Psi(t) angle = H |Psi(t) angle$ …………………………………………………………………………………………【5】

經典的多體的哈密頓量為：

$H = sum_i frac{vec p_i^2}{2m} + V_i + xcancel{sum_{i<j} V_{ij} +cdots +sum_{i_1<i_2<cdots<i_n}V_{i_1i_2cdots i_n} + cdots}$ ……………………………【6】

其中，相互作用項被分成了單體相互作用、兩體相互作用乃至 $n$ 體相互作用。這是多體系統的一個顯著特點。換句話說，薛定諤方程里的相互作用勢 $V$ 可以是動力學的，即依賴於粒子本身。為了簡單起見，這裡僅討論單體勢。

為了描述全同粒子多體體系，我們首先要選擇一組表象。我們可以選擇福克（動量）表象，並用產生、消滅算符來定義它：

$|vec k_1, vec k_2, cdots, vec k_n angle equiv frac{1}{sqrt{n_1!n_2!cdots n_l!}}(a^dagger_{vec k_1})^{n_1}(a^dagger_{vec k_2})^{n_2}cdots (a^dagger_{vec k_l})^{n_l}|0 angle$ ，…………………………【7】

其中產生消滅算符滿足對易關係：

$[a_{vec k}, a^dagger_{vec k}] = (2pi)^3delta^3(k-k), \ [a_{vec k}, a_{vec k}] = 0, quad [a^dagger_{vec k}, a^dagger_{vec k}] = 0.$ ………【8】

這樣，福克空間的波函數定義為： $Psi(vec k_1, vec k_2, cdots, vec k_n; t) equiv langle vec k_1, vec k_2, cdots, vec k_n|Psi(t) angle$ 。在動量表象，可以很容易地寫出哈密頓量【6】的算符形式，

$H = int frac{d^3k}{(2pi)^3} Big[ frac{vec k^2}{2m} + widetilde V(k) Big] a^dagger_{vec k} a_{vec k}$ ………………………………………………………………………【9】

為了得到位型空間的波函數，引入算符：

$psi(vec x) = int frac{d^3k}{(2pi)^3}, a_k e ^{-ivec kcdot vec x}$ ，………………………………………………………………………………【10】

其滿足：

$[psi(vec x), psi^dagger(vec x)] = delta^3(x-x)$ ………………………………………………………………………………【11】

這樣以來，量子多體體系的哈密頓量【9】可以寫作：

$H = int d^3x, Big[- frac{1}{2m}psi^dagger abla^2psi + Vpsi^daggerpsi Big]$ …………………………………………………………………【12】

位形空間的多體波函數可定義為： $Psi(x_1, x_2, cdots, x_n) = langle x_1, x_2, cdots, x_n| Psi angle$ 。

此節討論的算符皆定義在薛定諤繪景，因此不含時。這些關係可以視為海森堡繪景在 $t=0$ 時成立。推廣到海森堡繪景的一般時刻時，可定義，

$psi(vec x, t) equiv e^{-iHt} psi(vec x) e^{iHt}$

在海森堡繪景中，【11】、【12】仍然成立，唯獨【11】需要修改作等時對易子：

$[psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)] = delta^3(x-x)$ ………………………………………………………………………… 【11b】

$mathscr L_S=frac{i}{2}ig(psi^daggerdotpsi-psidotpsi^daggerig) - frac{1}{2m} ablapsi^daggercdot ablapsi - Vpsi^daggerpsi$ ……………………………………………………【4】

如果我們從薛定諤場【4】出發，應該也可以得到【11】【12】，在場論中，這一步驟叫做量子化。薛定諤場的量子化與薛定諤方程的二次量子化的等價性，證明量子場論的量子多體的本質。當然該等價性我們仍需證明。

場量子化的最基本方法是正則量子化。首先求取廣義動量：

$pi = frac{partial mathscr L}{partial dotpsi} = +frac{i}{2}psi^dagger, \ pi^dagger = frac{partial mathscr L}{partial dotpsi^dagger}= -frac{i}{2}psi$ …………【13】

不幸的是，在該理論中廣義動量不依賴於時間導數項 $dot psi, dotpsi^dagger$ ，並且不獨立於廣義坐標 $psi, psi^dagger$ 。原則上講，此時我們無法指定初始時刻的正則對易子。例如，在如下的正則對易關係中，(a)和(c)是矛盾的，並與【11b】不符：

$[psi(vec x, t), pi(vec x, t)] = idelta^3(vec x-vec x), qquadqquad (a) \ [psi^dagger(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)] = idelta^3(vec x-vec x), quadqquad (b) \ [psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)] = 0, qquadquad;qquadqquad (c) \ [pi(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)] = 0 qquadqquadqquadqquad (d)$

無論如何，做勒讓德變換，得到相應的廣義哈密頓量為：

$H = int d^3x, Big[ frac{1}{2m} abla psi^dagger cdot ablapsi + Vpsi^dagger psiBig]$ …………………………………………………………………【14】

【14】與【12】僅差一個表面項，這是我們想要的二次量子化的哈密頓量，不過正則對易關係仍然有問題。

為了讓問題更尖銳，我們可以考慮如下拉格朗日量：

$mathscr L = ipsi^dagger dotpsi -frac{1}{2m} ablapsi^daggercdot ablapsi - Vpsi^daggerpsi$ ……………………………………………………………………【15】

該拉格朗日量不是實的，但僅跟【4】相差一個時間導數項 $ifrac{partial }{partial t}ig(psi^dagger psiig)$ 。廣義動量為：

$pi = i psi^dagger, \ pi^dagger = 0$ ………【16】

此時，正則動量仍然不是獨立的。但若強行施加正則對易子，

$[psi(vec x, t), pi(vec x, t)] = idelta^3(x-x) ; Rightarrow ; [psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)] = delta^3(x-x)$ ………………………【17】

得到的結果倒也是正確的（對比【11b】）。然而，亦有矛盾出現：

$[psi^dagger(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)] = idelta^3(x-x) e 0.$ …………………………………………………………………【18】

追究問題的根源，來自於我們沒有正確地處理廣義動量 $pi, pi^dagger$ 不獨立於廣義坐標 $psi, psi^dagger$ 這件事。量子化的本質是挑出獨立的動力學變數（廣義坐標與廣義動量）並施加恰當對易關係的手續。若挑出的動力學變數之間存在依存關係，則不能施加正則對易關係。這樣的體系叫做約束體系。狄拉克提出了量子化這樣的體系的一般方法。

當然，狄拉克量子化（Dirac quantization）並非是必需的。只要能夠挑出恰當的獨立動力學變數，再施加相應的對易關係（並不一定是正則對易關係），也是可以完成量子化的。此外，施溫格的作用量原理（action principle）、梵蒂芙等人提出的路徑積分量子化、梵蒂芙-翟奇方法也是基於相同的原理，但具有不同的形式，最終結果也是等價的。

狄拉克量子化又稱為狄拉克-伯格曼量子化，本質是在哈密頓形式中應用拉格朗日乘子法。假定體系的哈密頓量為 $H$ ，存在 $r$ 個約束 $phi_1(p, q), phi_2(p, q), cdots, phi_r(p, q)$ ，則定義所謂的基本哈密頓量（primary Hamiltonian)：

$H_P = H + sum_a lambda_a phi_a$ ………………………………………………………………………………………【19】

經典運動方程為：

$egin{split} dot q =,& -frac{partial H_P}{partial p}, \ dot p =,& + frac{partial H_P}{partial q}, \ phi_a =,&, 0. quad (a=1,2,cdots, r) end{split}$ ………………………………………………………………………………【20】

拉格朗日乘子 $lambda_a = lambda_a(p, q)$ 由所謂的約束自洽條件決定： $dotphi_a = 0$ 。

任意物理量 $f$ 的運動方程為：

$dot f = {f, H_P}_{PB} = {f, H}_{PB} + sum_a lambda_a {f, phi_a}_{PB}$ ，…………………………………………【21】

這裡引入了泊松括弧 ${f, g}_{PB} equiv frac{partial f}{partial q_i}frac{partial g}{partial p_i} - frac{partial f}{partial p_i}frac{partial g}{ partial q_i}$ 。

應用到薛定諤場，我們將【13】視為兩個約束：

$phi_1(pi, pi^dagger, psi, psi^dagger) = pi - frac{i}{2}psi^dagger, \ phi_2(pi, pi^dagger, psi, psi^dagger) = pi^dagger + frac{i}{2}psi.$ ……【22】

基本哈密頓量為：

$H_P = H + lambda_1 phi_1 +lambda_2phi_2$ ………………………………………………………………………………【23】

兩個約束給出自洽條件：

${phi_b, H}_{PB} + sum_a lambda_a {phi_b, phi_a}_{PB} = 0$ ……………………………………………………………【24】

引入 $omega_{ab} equiv {phi_a(vec x, t), phi_b(vec x, t)}_{PB}$ ，易得：

$omega_{ab} = egin{pmatrix} 0 & -i \ +i & 0 \ end{pmatrix} otimesdelta^3(x-x)$ ，…………………………………………………………………【25】

此矩陣有逆，

$omega^{ab} = egin{pmatrix} 0 & -i \ +i & 0 \ end{pmatrix} otimes ig[ delta^3(x-x) ig]^{-1}$ ，……………………………………………………………【26】

可以由此得到拉格朗日乘子為，

$lambda_a = - sum_b omega^{ab}{phi_b, H}_{PB}$ ………………………………………………………………………………【27】

正則量子化是將泊松括弧對應到對易子： ${f, g}_{PB} o frac{1}{i}[f, g]$ 。前面已經說過了，在有約束的情況下正則量子化不再正確。我們需要將泊松括弧推廣。注意到在薛定諤場中，根據【21】、【27】，力學量 $f$ 的時間導數可以表示為：

$dot f = {f, H}_{PB} - sum_{a,b} {f, phi_a}_{PB} omega^{ab}{phi_b, H}_{PB}$ …………………………………………………………【28】

而在量子力學中，力學量 $f$ 的時間演化是： $dot f = frac{1}{i}[f, H]$ 。因此，對於約束系統來說，比較恰當的量子化手續是如下：

${f, g}_{DB} equiv {f, g}_{PB} - sum_{a,b} {f, phi_a}_{PB} omega^{ab}{phi_b, g}_{PB} ; o ; frac{1}{i}[f, g]$ …………………………………【29】

這裡，新定義的括弧 ${cdot, cdot}_{DB}$ 叫做狄拉克括弧。可以證明，狄拉克括弧滿足泊松括弧的所有關係，如反對稱性、雅可比等式。

對於薛定諤場而言，最基本的狄拉克括弧為：

$egin{split} {psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)}_{DB} =,& -idelta^3(x-x), \ {psi(vec x, t), pi(vec x, t) }_{DB} =,& frac{1}{2}delta^3(x-x), \ {pi(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)}_{DB} =,& frac{i}{4}delta^3(x-x), \ {psi(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)}_{DB} =,& 0, \ {psi(vec x, t), psi(vec x, t)}_{DB}=,& {pi(vec x, t), pi(vec x, t)}_{DB} = 0. end{split}$ …………………………………………………【30】

按照狄拉克量子化，應將狄拉克括弧對應到正則對易子：

$egin{split} [psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)] =,& delta^3(x-x), \ [psi(vec x, t), pi(vec x, t) ] =,& frac{i}{2}delta^3(x-x), \ [pi(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)] =,& -frac{1}{4}delta^3(x-x), \ [psi(vec x, t), pi^dagger(vec x, t)] =,& 0, \ [psi(vec x, t), psi(vec x, t)]=,& [pi(vec x, t), pi(vec x, t)] = 0. end{split}$ ……………………………………………………………【31】

可以驗證，這些關係都是自洽的，並且可以從第一個對易關係得到，而且【31】與【11b】也是自洽的。這樣以來，我們完成了薛定諤場的量子化。

總結：

薛定諤場的拉格朗日量為： $mathscr L_S=frac{i}{2}ig(psi^daggerdotpsi-psidotpsi^daggerig) - frac{1}{2m} ablapsi^daggercdot ablapsi - Vpsi^daggerpsi$
薛定諤場是薛定諤方程 $ipartial_t psi = -frac{ abla^2}{2m}psi+Vpsi$ 的量子多體理論
薛定諤場的量子化需要進行約束量子化
經過量子化，場算符滿足對易關係：

$[psi(vec x, t), psi^dagger(vec x, t)] = delta^3(x-x)$ 。

相應的哈密頓量為：

$H = int d^3x, Big( -frac{1}{2m} abla^2 psi^dagger psi + Vpsi^dagger psiBig) \ =intfrac{d^3 k}{(2pi)^3} Big( frac{k^2}{2m} + widetilde V(k)Big)a_{vec k}^dagger a_{vec k}$

附錄一、電磁耦合

一個場是無聊(boring)的，現考慮將薛定諤場耦合到電磁場。薛定諤場是複數場，具有 $U(1)$ 規範對稱性，因此其電磁耦合可以通過規範變換即最小耦合原理生成：

$partial_mu o partial_mu + ie A_mu, \ Rightarrow ; partial_t o partial_t + iephi, ; abla o abla+i evec A$

拉格朗日量為：

$mathscr L_{SQED} = frac{i}{2}ig(psi^daggerdotpsi-psidotpsi^daggerig) - frac{1}{2m}( abla-ievec A)psi^daggercdot( abla+ievec A)psi - phi psi^daggerpsi +mathscr L_{EM}$ ，

此處，我們用靜電勢 $phi$ 取代了任意勢 $V$ 。根據諾特定理，薛定諤場的電流為：

$ho =e psi^daggerpsi, ; vec J = frac{ie}{2m}ig( ablapsi^daggerpsi - psi^dagger abla psi ig)$

${color white { {附錄：} \ ullet;; 電磁耦合, \ ullet;; 微擾論：費曼規則 \ ullet;; 自旋：薛定諤-泡利場 \ ullet;; 相對論：狄拉克場、克萊因-高登場、光錐 \ ullet;; 路徑積分、 ext{Schwinger parametrization}} }$