自動控制總結：第六章、線性離散系統

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自動控制總結：第六章、線性離散系統

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6.1離散系統的基本概念

回顧：連續系統:r(t)、c(t)和e(t)等是時間t的連續函數，這樣的系統稱為連續系統。

計算機廣泛應用於控制系統，微機是以數字方式傳遞和處理信息，控制系統中的信號定義在離散時間上的系統稱為離散系統

離散系統與連續系統既有差別，又有相似性。連續系統通過Z變換，可以將連續系統中的概念應用到離散系統。

1、信號分類：

①模擬信號：信號是時間的連續函數；

②離散信號：信號是時間上的離散序列

③數字信號：離散量化信號，是時間上、幅值上的離散序列。

2、控制系統的分類：

①連續系統：

②採樣系統：

③計算機控制系統：

3、連續系統與採樣控制系統的區別

（1）相同點：

①採用反饋控制結構

②由被控對象、測量元件和控制器組成

③控制系統的目的相同;

④系統分析的內容相同

（2）不同點：

信號的形式（採樣器、保持器）

採樣控制的優點：精度高、可靠、有效抑制干擾、通用性好。

採樣周期：一個非常重要、特殊的參數，會影響系統的穩定性、穩態誤差、信號恢復精度！

4、採樣開關的工作方式

採樣開關的工作方式，指採樣速度和採樣開關的周期性採樣之間的相位問題

採樣誤差信號e*(t)是通過採樣開關對連續信號e(t)採樣後得到的

採樣開關經過一定的時間T閉合一次，採樣時間為τ，τ<T。T為採樣周期，?s=1/T及ωs=2π?s分別為採樣頻率和採樣角頻率

（1）採樣的方式：

①等周期採樣：採樣時刻為nT(n=0、1、2…),T 為常量

②多階採樣：採樣時間是周期性重複的

③多速採樣：用兩個具有不同採樣周期的採樣器對信號同時採樣

④隨機採樣：採樣時間是隨機變數

（2）常見的採樣系統：

數字計算機作為控制器的控制系統
多點巡迴檢測與控制系統

6.2採樣過程及採樣定理

1、採樣過程

採樣器（採樣開關）：將連續信號變為脈衝序列的裝置

採樣過程：對連續信號採樣後變為時間上離散的脈衝序列的過程；

注意，這裡矩形的寬是時間τ而不是T。由於τ時間內,e(t)變化甚微，可近似為寬度為 τ ,高度為e(nT)的矩形脈衝序列

T：採樣周期， τ：採樣時間，τ <<T，n：整數

2、採樣定理

為了從採樣信號中不失真地復現原連續信號,離散系統設計者必須遵循採樣定理;

採樣定理(香農定理)：

若採樣器輸入信號e(t)帶寬有限，且有直到ωm (rad/s)的頻率分量，當採樣周期T滿足下列條件T≤ $frac{2π}{2w_{max}}(s)$

那麼e(t)就可以從e*(t)中恢復過來。

fs和ws稱為採樣頻率和採樣角頻率

因此條件可以表示為ws>2 $w_{max}$

其中 $w_{max}$ 為最大角頻率

理解香農採樣定理的證明：

設連續信號為e(t)，那麼經過採樣後所對應的離散信號為e*(t)，我們知道 $δ_{T}(t)=sum_{k=0}^{∞}{δ(t-KT)}$ ，因此它的傅里葉級數形式為： $δ_{T}(t)=sum_{n=-∞}^{+∞}{C_{n}e^{jnw_{s}t}}$

（這裡不知道這個傅里葉級數形式怎麼來的朋友，要看看高數或者積分變換，因為 $δ_{T}(t)=sum_{k=0}^{∞}{δ(t-KT)}$ 這個是偶函數，因此級數形式是只有cos那一部分，sin那部分為0，因此我們可以在原來基礎上加上isin那一部分，那樣就可以變化成這個指數形式了。）

式子中：ws為採樣角頻率，ws=2π/T，Cn為復氏係數，Cn=1/T

所以e*(t)= $frac{1}{T}sum_{n=-∞}^{+∞}{e(t)e^{jnw_{s}t}}$ ，應用拉氏變換後(複數的位移定理)可以得到

E*(s)= $frac{1}{T}sum_{n=-∞}^{+∞}{E(s-jnw_{s})}$

由於其幾點都在s平面的左半平面，因此用jw代替上式，就可以得到離散傅氏變換

E*(s)= $frac{1}{T}sum_{n=-∞}^{+∞}{E[j(w-nw_{s})]}$

下面進行比較

連續信號e(t)的傅氏變換為E(jw)，因此它的頻譜為|E(jw)|，是一個單一的連續頻譜

而離散傅氏變換的E*(s)= $frac{1}{T}sum_{n=-∞}^{+∞}{E[j(w-nw_{s})]}$ 其頻譜圖是

是無數個以採樣頻率ws為周期的無限個頻譜之和，從圖上我們可以看，加入wm是在?的ws處，那樣剛好是臨界狀態，而wm＞ $frac{1}{2}$ ws時，

就會出現這種情況，此時在-wm和wm處就會產生重疊，導致失真了，因此要想從採樣器中得到完整的原來e(t)，必須滿足wm≤ $frac{1}{2}$ ws

也就是ws≥2wm

3、採樣周期的選擇

理論上，採樣周期T選得越小，即採樣角頻率ωs選得越高，信息獲得的越多，控制效果越好; 但是，T過短，難以實現較複雜的控制規律，且實際意義不大。而T過長，控制誤差大，動態性能降低，甚至導致系統不穩定;

因此採樣周期T參考選擇；

T的選取，主要取決於系統的性能指標

①頻域閉環:閉環頻率響應有低通濾波特性．輸入頻率高於ωr時，信號快速衰減，可認為通過系統的控制信號最高頻率分量為ωr 。

②頻域開環：近似有ωc＝ωr，頻率分量超過ωc的分量通過系統後被大幅度衰減

③隨動系統的採樣角頻率近似為ωs=10ωc

T=2π/ωs ,採樣周期公式可表示為 T= $frac{π}{5}*frac{1}{w_{c}}$

時域指標:T可以通過tr，ts選取，按經驗公式確定

T= $frac{1}{10}t_{r}$ ，T= $frac{1}{40}t_{s}$

6.3信號恢復與信號保持

保持器將離散信號變成連續信號的元件

保持器有外推功能，外推作用即現在時刻的輸出取決於過去時刻離散信號的外推,用公式描述

m=0，為零階保持器；m=1，為一階保持器；m=m，為m階保持器。

而我們一般採用零階保持器

零階保持器：

最簡單、使用最廣泛；採用恆值外推規律，即將前一採樣時刻nT的採樣值e(nT)不增不減地保持到下一個採樣時刻(n+1)T，

特點：

①輸出信號是階梯波，含有高次諧波。

②相位滯後

其傳遞函數為： $G_{h}(s)=L[1(t)-1(t-T)]=frac{1-e^{-Ts}}{s}$

零階保持器的幅頻特性

註：

①幅值隨角頻率ω的增大而衰減，有低通濾波特性

②除了主頻譜外，還有高頻分量；

③零階保持器將產生相角滯後，滯后角 ∠ $G_{h}(jw)=-frac{wT}{2}$

6.4 Z變換理論

（1）Z變換的定義

回憶：線性連續系統的性能，用拉氏變換分析

而線性離散系統的性能，用Z變換分析。

Z變換是採樣函數拉氏變換的變形，又稱為採樣拉氏變換，是研究線性離散系統的重要數學工具。

回憶：拉氏變換 F(s)=L[f(t)]= $int_{0}^{∞}f(t)e^{-st}dt$

其離散形式為 f*(t)= $sum_{n=0}^{∞}{f(nT)}δ(t-nT)$

拉氏變換的離散形式F*(s)= $sum_{n=0}^{∞}f(nT)e^{-nTs}$

這時我們令 $e^{Ts}=z$ ，所以有F(z)= $sum_{n=0}^{∞}f(nT)z^{-n}$

對Z變換注意兩個地方：

①z是復變數, s也是復變數，分別表示為s=σ＋jω

$z=e^{Ts}=e^{Tσ}*e^{jTw}=|z|e^{jθ}$

其中 $|z|=e^{σT}$ ，θ=wT

②f(t)與?* (t) 有相同的Z變換，即Z[f(t)]＝Z[?* (t) ]=F(z)

（2）Z變換的求法

①級數求和法：

f(t）的離散函數為?* (t) , ?* (t) 展開

逐項拉氏變換，得

替換後

這個方法是?* (t) Z變換的級數表達式，不過需要知道f(t) 採樣時刻nT（n=0,1,2,…）的值f(nT），則可求得Z變換的級數展開式

②部分分式法

f(t) 的拉氏變換為F(s)，其部分分式之和為

F(S)= $sum_{i=1}^{n}{frac{A_{i}}{s-p_{i}}}$

其中Ai為常係數，pi是極點，n是極點數

求出 Pi 及 Ai ，可求出F(s)對應的Z變換F(z)

F(Z)= $sum_{i=1}^{k}{frac{A_{i}z}{z-e^{-p{i}T}}}$

③留數計演算法

F(s)的全部極點已知, 留數計演算法公式為

F(z)=Z[f*(t)]= $sum_{i=1}^{n}{res[F(p_{i})frac{z}{z-e^{p_{i}T}}]}=sum_{i=1}^{n}{R_{i}}$

$R_{i}=res[F(p_{i})frac{z}{z-e^{p_{i}T}}]$

F(s) 有q階重複極點,留數為：R= $frac{1}{(q-1)!}lim_{s ightarrow p_{i}}{frac{d^{q-1}}{ds^{q-1}}[(s-p_{1})^qF(s)frac{z}{z-e^{p_{i}T}}]}$

1、Z變換的性質

①線性定理

設：f(t)= $sum_{i=1}^{n}{a_{i}f_{i}(t)=a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)+++a_{n}f_{n}(t)}$

則：F(z)= $sum_{i=1}^{n}{a_{i}F_{i}(z)=a_{1}F_{1}(z)+a_{2}F_{2}(z)+++a_{n}F_{n}(z)}$

函數線性組合的Z變換，等於各函數Z變換的線性組合

② 平移定理

t<0時，f(t)的值為零， f(t)的Z變換為F（z）則：Z[f(t-kT)]= $z^{-k}F(z)$

原函數延遲的採樣周期數為k，象函數則乘 $z^{-k}$ 。運算元 $z^{-k}$ 的含義表示時域中時滯環節，把脈衝延遲k個周期。

③初值定理

f(t)的Z變換為F（z），並且 $lim_{z ightarrow ∞}{F(z)}$ 存在，

那麼：f(0)= $lim_{z ightarrow ∞}{F(z)}$

④終值定理

f(t)的Z變換為F（z），f(nT)序列為有限值（n=0,1,2,…），並且極限 $lim_{z ightarrow ∞}{F(nT)}$ 存在，則函數序列的終值： $lim_{n ightarrow ∞}{}$ f(nT)= $lim_{z ightarrow 1}{(z-1)F(z)}$

（這個定理經常用於分析計算機系統的穩態誤差！！）

⑤複數偏移定理

f(t)的Z變換為F（Z），則

⑥卷積和定理

設c(kT)= $sum_{n=0}^{+∞}{g[(k-n)T]}r(nT)$

式中n=0，,2,…為正整數，當n為負數時

C(nT)=g(nT)=r(nT)=0

則有C(Z)=G(Z)R(Z)

式中 C(Z)=Z[c(nT)] ， G(Z)=Z[g(nT)] ， R(Z)=Z[r(nT)]

4、Z反變換

Z反變換是已知F（Z），求f(nT)的過程，即

f(nT)= $Z^{-1}[F(z)]$

而我們只能求出序列的表達式，而不能求出它的連續函數！！

求解方法：

①長除法

②部分分式法（因式分解法，查表法）

先把變換式寫成F(Z)/Z，然後展開成部分分式： $frac{F(z)}{z}=sum_{i=1}^{n}{frac{A_{i}}{z-z_{i}}}$

然後兩端乘以Z，從而得到：F(z)= $sum_{i=1}^{n}{frac{A_{i}z}{z-z_{i}}}$

最後查Z變換表

③留數法

由Z變換的定義

兩端同乘 $z^{n-1}$

由複變函數理論

Res[F(Z) $z^{n-1}$ $]_{z→p_{i}}$ 表示函數F(z) $z^{n-1}$ 在極點pi處的留數

曲線C是包含F(z) $z^{n-1}$ 全部極點的任意封閉曲線

若Zi為q重極點

6.5採樣系統的數學模型

1、差分方程

常係數線性差分方程的求解方法有兩種：一種是基於解析法的Z變換法，一種是基於計算機求解的迭代法

2、線性離散系統的脈衝傳遞函數

Z變換是為了求出線性離散系統的脈衝傳遞函數。

（1）脈衝傳遞函數的定義

零初始條件下，線性系統輸出脈衝序列的Z變換與輸入脈衝序列的Z變換之比為系統的脈衝傳遞函數（或z傳遞函數）。即

G(Z)= $frac{C(z)}{R(z)}$ = $frac{輸出脈衝序列的Z變換}{輸入脈衝序列的Z變換}$

系統的離散輸出信號

c*(t)=Z-1[C(Z)]= $Z^{-1}$ [G(Z)R(Z)]

局限性：

①原則上不反映非零初條件下系統響應的全部信息;

②只適合描述單輸入單輸出系統;

③只適線性定常離散系統

（2）開環系統的脈衝傳遞函數

開環離散系統由幾個環節串聯組成時，脈衝G(z)的求法與連續系統的G(s)情況不完全相同。

兩個開環離散系統的組成相同，但採樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈衝傳遞函數也會不同。

對開環系統的脈衝傳遞函數，應注意串聯各環節之間有無採樣器。

①有採樣器

D(Z)=G1(Z)R(Z)

C(Z)=G2(Z)D(Z)=G1(Z)G2(Z)R(Z)

G(Z)=C(Z)/R(Z)=G1(Z)G2(Z)

脈衝傳遞函數等於兩個環節的脈衝傳函之積

②無採樣器

我們先把G1(S)和G2(S)先乘起來

所以就得到

G(Z)=G1G2(Z)

兩個串聯環節之間沒有採樣開關，脈衝傳遞函數為這兩個環節傳遞函數積的Z變換。

具有零階保持器的開環脈衝傳遞函數

寫法一：我們直接把中間看成一個整體，所以 $G(z)=R(z)G_{h}G_{0}(z)$

寫法二：G(Z)= $frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})Z[frac{G_{0}(s)}{s}]$

兩個方法是等效的

採樣拉氏變換的兩個重要性質

①採樣函數的拉氏變換具有周期性

G*(s)=G*(s+jkωs)

②離散信號可從離散符號中提出來

$[E^*(s)G_{1}(s)G_{2}(s)]^*=E^*(s)[G_{1}(s)G_{2}(s)]^*$

（3）閉環系統的脈衝傳遞函數

連續系統:閉環與開環傳遞函數之間有確定的關係，可以用典型的結構圖來描述閉環系統。

離散系統:採樣開關的位置不同，結構形式就不一樣，沒有唯一的典型結構圖，因而閉環脈衝傳遞函數沒有一般的計算公式，只能根據具體結構而具體求取

閉環脈衝傳遞函數是閉環離散系統輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比，即

Φ(z)= $frac{C(z)}{R(z)}$

（注意，不一定每一個系統都可以寫出閉環脈衝傳遞函數）

有干擾信號的採樣系統

（先把R(s)置零）

C(S)= $G_{2}(s)N(s)+G_{2}(s)G_{1}E^*(s)$

$E^*(s)=-C^*(s)$

$C^*(s)=frac{G_{2}N^*(s)}{1+G_{1}G_{2}^*(s)}$

$C(z)=frac{G_{2}N(z)}{1+G_{1}G_{2}(z)}$

如何根據結構圖求取Z變換我把它放在習題部分

6.6線性離散系統的穩定性與穩態誤差

1、數學基礎：

z平面的單位圓映射到s平面為虛軸

z平面單位圓內的點（|z|= $e^{σt}$ <1）映射到s平面位於左半平面的點（σ <0)；

z平面單位圓外的點（|Z|= $e^{σt}$ ＞1）映射到s平面位於左半平面的點（σ ＞0)；

因此閉環系統穩定的充要條件：閉環脈衝傳遞函數的全部極點都必須在Z平面的單位圓內（對應的就是s平面的左半平面）

對應的 $|z_{i}|<1$ （i=1,2,3----n）

2、離散系統的穩定性判據

勞斯判據用到離散系統，必須引入z域到 w域的線性變換，使Z平面上的單位圓，映射成w平面上的左半平面，這種新的坐標變換，稱為雙線性變換，或稱為w變換。

（其實就是因為很多時候，求取用|Zi|<1的方法很難求解）

雙線性變換法：設Z= $frac{w+1}{w-1}$ ，那麼：w= $frac{z+1}{z-1}$

所以變換之後，就可以對那個關於Z的特徵方程轉換成w的特徵方程，此時我們就可以直接使用勞思判據就可以了。

3、線性離散系統的穩態誤差：

（1）計算方法：

①用Z變換終值定理求穩態誤差

②用誤差脈衝傳遞函數求穩態誤差

如

$Φ_{e}(z)=frac{E(z)}{R(z)}=frac{1}{1+G(z)}$ ，E(z)= $frac{1}{1+G(z)}*R(z)$

系統穩定， $frac{1}{1+G(z)}$ 的全部極點都在Z平面的單位圓內。應用Z變換終值定理，得穩態誤差（用Z變換終值定理）

e(∞)= $lim_{z ightarrow 1}{E(z)}$ = $lim_{z ightarrow 1}{(z-1)*frac{1}{1+G(z)}*R(z)}$ （很重要的公式）

為了與連續系統相對應，我們把G(Z)中含有v個z=1的極點稱為v型系統，

（1）單位階躍輸入時的穩態誤差

r(t)=1(t) R(z)= $frac{z}{z-1}$

所以由之前那條式子可以得出

$e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{z}{1+G(z)}}=frac{1}{K_{p}}$

定義靜態位置誤差係數

Kp= $lim_{z ightarrow 1}{[1+G(z)]}$

採樣系統為Ⅰ型系統時,（再提醒一下，這裡Ⅰ型系統不是有一個 $frac{1}{s}$ ，而是 $frac{1}{s-1}$ ）

$K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞$ ， $e_{sr}(∞)=0$

採樣系統為Ⅱ型系統時

$K_{p}=lim_{z ightarrow 1}{G(z)}=∞$ ， $e_{sr}(∞)=0$

（2）單位斜坡輸入時的穩態誤差

r(t) ，R(z)= $frac{Tz}{(z-1)^2}$

$e_{sr}(∞)=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=lim_{z ightarrow 1}{frac{Tz}{(z-1)[1+G(z)]}}=frac{T}{K_{v}}$

定義靜態速度誤差係數及穩態誤差

$K_{v}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)G(z)}$ ， $e_{sr}=frac{T}{k_{v}}$

（之所以這樣定義是因為z趨向於1的時，z-1的那部分趨向於0，所以不管它）

採樣系統為0型系統時，

$K_{v}=0$ ， $e_{sr}(∞)=∞$

採樣系統為Ⅱ型系統時

$K_{v}=∞$ ， $e_{sr}(∞)=0$

（3）單位加速度輸入時的穩態誤差

r(t)= $frac{1}{2}t$ ，R(z)= $frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}$

$e_{sr}=lim_{z ightarrow 1}{frac{(z-1)R(z)}{[1+G(z)]}}=$ $lim_{z ightarrow 1}frac{T^2}{(z-1)^2G(z)}$

靜態加速度誤差係數及穩態誤差

$K_{a}=lim_{z ightarrow 1}{(z-1)^2G(z)}$ ， $e_{sr}=frac{T^2}{k_{a}}$

總結：

振蕩周期 $T_{k}$ 與 $θ_{k}$ 有關， $θ_{k}$ 越大 $T_{k}$ 越小；

$T_{k}$ = $frac{2πT}{θ_{k}}$

$θ_{k}$ 是pk所在點的幅角

大家可以評論相關自動控制的問題，我也會耐心給你們解答的(#^.^#)

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