數學家的思維：推廣
來自專欄 fulyMath
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聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」
個人對數學一點粗淺的理解。本文較長，不喜者可略去哈。
在解決問題時，如果一個數學概念不能滿足新的問題情境，這個時候數學家會考慮將舊的概念進行推廣。而「推廣」也是一個最基本的數學素養。
那麼做推廣，首先應該滿足兩個原則：（1）推廣後的概念應該包容之前的概念。（2）推廣應該抓住事物的本質。也就是說推廣其實是抽象的高級應用，將事物的本質抽取出來，從而做成適用性更廣的數學概念。
下面我們用數學中最常見的「希爾伯特賓館」問題來闡述推廣這一重要的數學思維。
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希爾伯特賓館（1）：有一個可數無限多房間的賓館，且已經客滿了。那麼此時又來了一位客人，問是否還能安排這位客人住下。
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在實際生活中，賓館的房間是有限多個的，如果客滿，那麼再也不可能安排下其他客人入住了。然後希爾伯特賓館的房間數無限多個的。那麼無限多個的房間怎麼可能會客滿呢？你是否有這樣子的疑問呢？所以在解決這個問題時，我們要弄清楚無限多個房間的客滿是個什麼意思。這就牽涉到我們需要對客滿這個概念做推廣。
那麼怎麼來推廣這個概念呢？這就要從我們熟知的有限多個房間的客滿情況出發，提取其本質。有限多個房間的客滿有兩個含義：（1）每一個房間都住人了；（2）沒有空的房間了。那麼我們看這兩個含義哪一個才是客滿的本質呢？首先這兩個含義對於有限多個房間來說是等價的含義，因為可以互相推導出來，那麼我就看哪一個可以擴充到無限多個房間的情況。顯然是第一個含義可以。也就是說我們定義，客滿的含義就是賓館每一個房間都住人了。那麼這個定義巧妙的避開了房間數目是有限還是無限的情況，而且抓住了客滿這一現象的本質。
因此我們就將客滿這個定義進行了推廣，也就是推廣後的客滿就表示賓館每一個房間都住人了。無論是無限多還是有限多，都可以適用。
好，下面我們推廣成功後。再繼續看這個問題。那麼此時新來了一個客人，是否還能安排下呢？其實是可以的。我們可以這樣子安排。首先讓所有的客人都走出房間，然後原第一個房間的客人住進第二個房間，原第二個房間的客人住進第三個房間，依次類推，原第k個房間的客人住進第k+1個房間。這樣子我們就把原第一個房間給騰出來了。把新來的客人安排進去即可。圖示如下：
那麼大家想想為什麼客滿了，新客人還可以進去呢？這是因為房間是無限的，而我們的這種安排依然能保證我們推廣後的這種客滿的情況。其實這就是有限跟無限的區別。
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希爾伯特賓館（2）：有一個可數無限多房間的賓館，且已經客滿了。那麼此時又來了一個旅遊團，而且這個旅遊團的人數也是可數無限多個的，問是否還能安排這個旅遊團住下。
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接下來我們來研究希爾伯特賓館的第二個問題，如上所述。那麼你能否安排這個旅遊團住下呢？這個時候，問題得關鍵在於原先已經客滿的賓館能不能騰挪出可數無限多個房間。其實在每個房間都住了人的這種客滿的定義下，這是完全可以做到的。因此這樣的客滿的定義永遠不會說沒有空房間了，而只是告訴你每個房間都有人而已，那麼在無限多個房間下肯定是可以經過騰挪，總能產生新空間的。
我們的騰挪方式為，首先讓原來房間的客人都走出房間，原第1房間的客人住進第2個房間，原來第2個房間的客人住進第4個房間，依次類推原來第k個房間的客人住進第2k個房間。那麼經過這種方式騰挪，不僅保證了原來的客人都能住進去，而且還騰挪出所有編號為奇數的房間，而奇數是可數無限多個的。這些房間就可以安排那個旅遊團的客人住進去了。如下所示
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希爾伯特賓館（3）：有一個可數無限多房間的賓館，且已經客滿了。那麼此時又來了1萬個旅遊團，而且每個旅遊團的人數也是可數無限多個的，問是否還能安排這個旅遊團住下。
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接下來我們進一步看希爾伯特賓館問題3，這個問題又升級了，在於旅遊團的數目變成了1萬個。那麼解決問題得關鍵在於，要騰挪出1萬個類似於問題2情況下的那種可數無限個房間。那麼這能不能做到呢？
其實是可以做到的。我們這樣子騰挪。首先讓原來房間的客人都走出房間，原第1房間的客人住進第10001個房間，原來第2個房間的客人住進第20002個房間，依次類推原來第k個房間的客人住進第k000k個房間。那麼我們讓這1萬個旅遊團的每個團的第一個客人住進前1萬個房間，讓每個團的第2個客人住進10002到20001這1萬個房間里，讓每個團的第3個客人住進20003到30002這1萬個房間里，依次類推。那麼這1萬個旅遊團的客人都能入住了。如下所示
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好，現在我們來回顧我們是怎麼解決希爾伯特賓館的這3個問題的。其中關鍵就是將有限房間數下的客滿這一概念推廣到了無限房間數目，巧妙的抓住客滿的本質。也就是客滿的本質是跟房間的數目個數是無關的，客滿的本質是只要每個房間都有人住即可，無論房間數目為多少，都不是必須要求的。因此我們客滿概念的推廣是成功的。
然後在解決這3個問題時，我們給出的答案其實並不完美。為什麼呢？其實你仔細觀察這三個問題，會發現他們的問題本質都是相同的。無論是來了1個客人，來了一個旅遊團，或者1萬個旅遊團，來的人的數目本質上是相同的，也就是說來的人的數目是可數個。那麼既然本質是一樣的，也許就會有統一的安排方式呢！但是我們給出的答案（文中紅色斜體部分）卻顯得十分的臃腫。而且沒抓住問題得本質。
一個抓住問題得本質的答題思路應該是容易推廣的。
所以說我們給出的答案並不完美，因為在問題本質相同的前提下，卻推廣起來有點困難。
下面我進一步探究思考，發現問題得本質。
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希爾伯特賓館的3類問題都能得到解決，核心就是因為來的人都為可數個，換句話說來的人和原來的人加在一起還是可數個。那麼只要是可數個，我們就總能通過某種方式進行騰挪，就能把所有人給安排入住。所以按照這個思路，我們就抓住了問題得本質：只要是可數個，我們就總能夠將這些可數個人安排入住。
因此我們可以如下思考：
問題1：來了1個新客人，那麼我們讓原來所有的客人都走出房間，將這個新客人加入進去，依然是可數個，然後將新組成的這些客人依次按照第1個房間，第2個房間，第3個房間入住即可。
問題2：來了一個旅遊團，團的人數是可數個的。而原來的住滿了的客人數目顯然也是可數個的，那麼原來的客人是不是也可以看成一個旅遊團呢？顯然可以。那麼我們就讓原來的客人走出房間，組成一個新旅遊團，然後我們有兩個旅遊團了。然後我們讓每個旅遊團的第1個人住在第一對房間里，讓每個旅遊團的第2個人住在第2對房間里，依次類推。如此所有的人都能入住了。
問題3: 1萬個旅遊團。那麼我們還按照上面的思路進行推廣，將原來的客人都走出房間做為一個新的旅遊團。然後我們讓每個旅遊團的第1個人住在第一批10001個房間里，讓每個旅遊團的第2個人住在第2批10001個房間里，依次類推。如此所有的人都能入住了。
因此，我們有一個容易推廣的思路：讓原來的客人都走出房間作為一個新的集體，與來的客人構成集體隊列，每次從各個集體隊列取人來入住房間即可，依次類推，總能將所有人都安排進賓館房間。
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我們可以看到，推廣的魅力。在解決問題時，只要抓住了問題得核心或者問題得本質，然後將這個本質進行推廣。總能得到一個較好的解決問題得思路。
其實數學家在思考問題時，就是喜歡將特殊的問題放在一般化的情境里，從而發現這裡不變的因素，而總是不變的那些因素往往是解決問題得鑰匙，抓住了它們就是抓住了本質。而將那些總是變化，但對問題影響不大的因素剔除掉，就是所謂的抽象。數學家永遠在抽象和推廣的海洋中暢遊。這是數學思維的最基本的涵養。領悟了，對無論是學習還是生活都是百利而無一害的。
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如果再說的深入一點。數學的發展都是為了追求和諧，追求統一而前進的。數學家費盡心機，做概念的推廣、做定理得推廣、做知識體系的框架，都是希望能夠找到一系列簡潔的定理或者公式能夠囊括這個世界的真理。比如函數是一一對應的關係，但是映射不一定。之所以有映射這個概念存在，就是為了統一所有的對應關係，將我們知道的所有對應關係都囊括到映射這個體系下。再比如相等這個概念，在有限的情況下，只要數值一樣就叫做相等，但是在無限集合的情況下，相等這個定義就不夠用了，顯然要做推廣。那麼只要元素一一對應，就稱之為相等，顯然也是抓住了有限情況下相等的本質。畢竟兩個數值一樣，也可理解為一一對應的關係。
帶著這樣子的思考去重新審視數學，學習數學，相信以前你可能迷惑的地方會有不一樣的發現。
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